新教材人教b版選擇性必修第三冊(cè)5.1數(shù)列基礎(chǔ)5.1.2數(shù)列中的遞推課件

數(shù)列中的遞推新課程標(biāo)準(zhǔn)素養(yǎng)風(fēng)向標(biāo)1.理解數(shù)列的幾種表示方法,能從函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列2.理解遞推關(guān)系的含義,能根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的前幾項(xiàng)3.理解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的含義,并掌握an與Sn的關(guān)系1.會(huì)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式,解決簡(jiǎn)單的數(shù)列問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.體會(huì)遞推關(guān)系是數(shù)列的一種表示法,并能根據(jù)遞推關(guān)系寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.掌握由一些簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的方法(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系并會(huì)應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)主題1遞推關(guān)系1.觀察圖形,根據(jù)下面的說(shuō)明,回答問(wèn)題:某劇場(chǎng)有9排座位,第一排有7個(gè)座位,從第二排起,后一排都比前一排多2個(gè)座位(如圖).寫(xiě)出前五排座位數(shù);第n排座位數(shù)an與第n+1排座位數(shù)an+1之間的關(guān)系能用等式表示嗎?若能,請(qǐng)寫(xiě)出an與an+1的等量關(guān)系.基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探提示:前五排座位數(shù)分別為7,9,11,13,15,an與an+1之間的關(guān)系能用等式an+1=an+2表示.2.觀察數(shù)列1,3,7,15,31,63,127,…,這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)有規(guī)律嗎?它們存在怎樣的規(guī)律?提示:有,首項(xiàng)為1,從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)等于它的前一項(xiàng)的2倍再加1.即a1=1,且an+1=2an+1(n∈N*).結(jié)論:數(shù)列的遞推關(guān)系(1)定義:如果已知數(shù)列的_____(或前幾項(xiàng)),且數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上的關(guān)系都可以用一個(gè)公式來(lái)表示,則稱這個(gè)公式為數(shù)列的_________.(2)通項(xiàng)公式與遞推關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系首項(xiàng)遞推關(guān)系區(qū)別聯(lián)系通項(xiàng)公式項(xiàng)an是序號(hào)n的函數(shù)式an=f(n)都是給出數(shù)列的方法,可求出數(shù)列中任意一項(xiàng)遞推關(guān)系已知a1(或前幾項(xiàng))及相鄰項(xiàng)(或相鄰幾項(xiàng))間的關(guān)系式【對(duì)點(diǎn)練】已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=3an-2,則a6=(

)【解析】選B.因?yàn)閍1=1,an+1=3an-2,所以a2=3a1-2=1,以此類推可得a3=3a2-2=1,a4=3a3-2=1,a5=3a4-2=1,a6=3a5-2=1.主題2已知Sn,求an1.數(shù)列{an}中,若Sn=a1+a2+…+an=2n-1,如何求a1?a10呢?提示:a1=S1=21-1=1,a10=S10-S9=(210-1)-(29-1)=29.2.問(wèn)題1中可以通過(guò)前n項(xiàng)和公式Sn=2n-1,求通項(xiàng)公式嗎?提示:可以.a1=S1=1,n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1,且a1=1時(shí)上式也成立,所以{an}的通項(xiàng)公式是an=2n-1.結(jié)論:1.數(shù)列的前n項(xiàng)和的概念對(duì)于數(shù)列{an},稱Sn=___________為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.2.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an關(guān)系為a1+a2+…+an【對(duì)點(diǎn)練】數(shù)列{an}中,Sn=a1+a2+…+an=2n,則通項(xiàng)公式是 (

)n=2n

n=2n-1nn=

【解析】選C.由Sn=2n,得a1=S1=21=2,n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=2不適合,所以核心互動(dòng)探究探究點(diǎn)一由遞推關(guān)系求數(shù)列的項(xiàng)【典例1】已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,以后各項(xiàng)由an=an-1+an-2(n≥3)給出.(1)寫(xiě)出此數(shù)列的前5項(xiàng);(2)通過(guò)公式bn=構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{bn},寫(xiě)出數(shù)列{bn}的前4項(xiàng).

【思維導(dǎo)引】(1)由遞推關(guān)系,將a1,a2代入求解;(2)由bn=,將a1,a2,a3,a4,a5代入求解.【解析】(1)因?yàn)閍n=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2,所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.故數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.(2)因?yàn)閎n=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,所以故{bn}的前4項(xiàng)依次為【類題通法】由遞推關(guān)系寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)的方法(1)根據(jù)遞推關(guān)系寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng),首先要弄清楚遞推關(guān)系中各部分的關(guān)系,依次代入計(jì)算即可.(2)若知道的是末項(xiàng),通常將所給遞推關(guān)系整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首項(xiàng),通常將所給遞推關(guān)系整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式,如an+1=【定向訓(xùn)練】1.已知數(shù)列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),則a4=______.

【解析】由an=2an-1+3an-2得a3=2a2+3a1=19,a4=2a3+3a2=44.答案:442.數(shù)列{an}滿足1-an=,a10=,則a1=________.

【解析】由數(shù)列{an}滿足1-an=,a10=,可得a9=-1,a8=2,a7=,所以數(shù)列的周期為3,a1=a10=.答案:【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,試寫(xiě)出a3,a4,a5,a6,a7,a8,你發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}具有怎樣的規(guī)律?你能否求出該數(shù)列中的第2018項(xiàng)?【解析】a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,….發(fā)現(xiàn):an+6=an,數(shù)列{an}具有周期性,周期T=6.證明如下:因?yàn)閍n+2=an+1-an,所以an+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an,所以an+6=-an+3=-(-an)=an,所以數(shù)列{an}是周期數(shù)列,且T=6,所以a2018=a336×6+2=a2=2.探究點(diǎn)二由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式【典例2】(1)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),則{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.

(2)若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列,且(n∈N*),則an=________.

(3)設(shè)數(shù)列{an}中,a1=1,an=(n≥2),求{an}的通項(xiàng)公式.【思維導(dǎo)引】(1)將原式an+1=變?yōu)?即,再利用累加法求解.(2)寫(xiě)出n≥2時(shí),前n-1項(xiàng)的和式,相減即得.(3)將原遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為(n≥2),然后利用累乘法求解.【解析】(1)由,得,即所以,

…

以上各式累加得:,即.答案:an=

(2)因?yàn)閿?shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列,且所以=4,即a1=16,n≥2時(shí),,兩式相減得=2n+2,所以an=4(n+1)2(n≥2)當(dāng)n=1時(shí),a1=16適合上式,所以an=4(n+1)2.答案:4(n+1)2(3)因?yàn)閍1=1,an=(n≥2),所以,an=·

·

·…·

·

·a1=·

·

·…·

·

·1=.又因?yàn)閚=1時(shí),a1=1,符合上式,所以an=.【類題通法】由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的兩種方法(1)累加法:當(dāng)an=an-1+f(n)時(shí),常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通項(xiàng).(2)累乘法:當(dāng)=g(n)時(shí),常用an=··…··a1求通項(xiàng).【定向訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】

,…,,則an=a1+ln(·

··…·)=2+lnn(n≥2).又a1=2=2+ln1也滿足上式,所以an=2+lnn.故數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=2+lnn.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在數(shù)列{an}中,若a1=2且對(duì)所有的n∈N*滿足an+1=an+2,求an.【解析】因?yàn)閍2=a1+2,a3=a2+2,a4=a3+2,…,an=an-1+2.把以上各式相加得:an=a1+2(n-1)=2+2n-2=2n.探究點(diǎn)三由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an【典例3】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-n2+n,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.【思維導(dǎo)引】先求a1,n≥2時(shí)由an=Sn-Sn-1求an,然后n=1時(shí)驗(yàn)證an是否成立,進(jìn)而得通項(xiàng)公式an.【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=-.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-n2+n-[]=-3n+.因?yàn)閍1=-適合an=-3n+,所以an=-3n+.【類題通法】由Sn求通項(xiàng)公式an的方法與步驟(1)令n=1,則a1=S1,求得a1.(2)令n≥2,則an=Sn-Sn-1.(3)驗(yàn)證a1與an的關(guān)系,若a1適合an,則an=Sn-Sn-1;若a1不適合an,則an=

【定向訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=12n-n2.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=12×1-12=11;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-[12(n-1)-(n-1)2]=13-2n,經(jīng)檢驗(yàn)n=1時(shí)也適合an=13-2n,所以an=-2n+13(n∈N*).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=an+n2-1(n∈N*).求{an}的通項(xiàng)公式.【解析】當(dāng)n=2時(shí),S2=a1+a2=a2+22-1,即a1=3,當(dāng)n≥2時(shí),Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,兩式相減得an=an-an-1+2n-1,即an-1=2n-1,即an=2n+1,又a1=3適合an=2n+1,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1.【課堂小結(jié)】

課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.數(shù)列1,3,6,10,15,…的遞推關(guān)系是 (

)n+1=an+n,n∈N*n=an-1+n,n∈N*n+1=an+(n+1),n∈N*n=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2【解析】選C.由已知得a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,an+1-an=n+1,n∈N*,故選C.2.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an= (

)

2+1

【解析】選D.因?yàn)閍n+1-an=-1.所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…