黃岡中學2010屆高三上學期八校聯(lián)考考試試題(數(shù)學文)

黃岡中學2010屆高三上學期八校聯(lián)考考試一試題(數(shù)學文)黃岡中學2010屆高三上學期八校聯(lián)考考試一試題(數(shù)學文)黃岡中學2010屆高三上學期八校聯(lián)考考試一試題(數(shù)學文)湖北省黃岡中學20XX屆高三上學期八校聯(lián)考考試一試題（數(shù)學文）一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個選項中，只有一項是切合題目要求的．1．已知向量a(1,0)與向量b(1,3)，則向量a與b的夾角是（B）A．B．C．2D．56363提示：cosa,bab11，a,b．|a||b|12232．若ab0，則以下不等式中不必定建立的是（B）．．．11B．11C．abD．∣a∣>bA．babba提示：B中ab0,b0,(ab)b0，2ba，而ab0時2ba不必定建立．3．一籃球運動員投籃命中的概率是1，他連續(xù)投籃2次，則恰有1次命中的概率是（A）A．122B．1C．1D．3311144提示：C21．2224．已知會合Ay|yx22x1,xR，By|yx1,xR且x0，則x(eRB)A（D）A．(2,2]B．[2,2)C．[2,)D．(2,2)提示：Ay|y2,By|y2或y2，eRBy|2y2，(eRB)A(2,2)．5．設p:2x11，q:(xa)[x(a1)]0，若q是p的必需而不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是（A）A．[0,1]B．(0,1)C．(,0]∪[1,)D．(,0)∪(1,)2222提示：由p得：1x1，由q得：axa1，又q是p的必需而不充分條件，因此2a1,且a11，0a1．22sin(x)6．函數(shù)f(x)2|sinx|sinx4是（B）cosxA．周期為的偶函數(shù)B．周期為的非奇非偶函數(shù)2C．周期為的偶函數(shù)D．周期為的非奇非偶函數(shù)2提示：f(x)|sinx|,xk，定義域不對于原點對稱，函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是4偶函數(shù)，又函數(shù)y|sinx|的周期為，去掉的點的周期為，因此函數(shù)f(x)的周期為，應選B．7．已知函數(shù)f(x)是定義在(0,)上的單一函數(shù)，且對隨意的正數(shù)x,y，都有f(xy)f(x)f(y)，若數(shù)列an的前n項和為Sn，且知足f(Sn2)f(an)f(3)(nN)，則a3（C）A．939D．B．C．24提示：f(Sn2)f(an)f(3)f(3an),Sn23an①，當

49n1時，a11，當n2時，Sn123an1②，由①②得：an3an1，an(3)n1，a39．2248．已知函數(shù)f(x)2sinx在區(qū)間[,]上的最小值是2，則的取值范圍為（C）34A．(,9]B．(,2]C．(,2][3,)D．(,9][6,)22323提示：若0，則x[,]，由圖象知：或，因此342或43226，即3；若0，同理可得：2，應選C．29．已知函數(shù)f(x)ax1b1x2，此中a0,1,b1,2，則使得f(x)0在x[1,0]上有解的概率為（A）A．111D．02B．C．34a,b的值有C21C214種狀況，而由圖象可知當a0a1提示：任取b1，1時不知足條件，當ba0，a1時知足條件，因此概率為1．b2b2210．設雙曲線x2y21(a0,b0)的右極點為A，P為雙曲線上的一個動點（不是極點），a2b2從點A引雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線OP分別交于Q,R兩點，此中O為坐標原點，則|OP|2與|OQ||OR|的大小關系為（C）A．|OP|2|OQ||OR|B．|OP|2|OQ||OR|C．|OP|2|OQ||OR|D．不確立提示：取特別點P(c,b2)，則直線OP的方程為yb2x，又直線AQ的方程為aacyb(xa)，直線AR的方程為yb(xa)，解得Q,R的坐標為(ac,b2)，ab2acbcb(ac,)，易得|OP|2|OQ||OR|．（若設隨意點也可得此結果）cbcb二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．．為了認識我校今年準備報考飛翔員的學生的體重狀況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻次分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1:2:3，第2小組的頻數(shù)為12，則抽取的學生人數(shù)是48．提示：由圖可知前3組的頻次為0.75，因此第2組的頻次為20.03750.75，學生人數(shù)為120.2548．60.0125

頻次組距505560657075體重12．如圖，在ABC中，H是BC上隨意一點，M為AH的中點，若AMABAC，則1．2A提示：B,H,C三點共線，AHt1ABt2AC，且Mt1t21，又AM1AHBHCt1ABt2AC，21(t1t2)1．222213．將拋物線a(x3)2y40(a0)按向量v(3,4)平移后所得拋物線的焦點坐標為1(0,)．提示：拋物線a(x3)2y40(a0)按v(3,4)平移后得拋物線的方程為：x2y，所a以其焦點坐標為(0,1)．4a14．若等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S525，a23，則a917．提示：由S5(a2a4)525(3a4)5a47，732d，d2，因此22a9a45d17．15．給出定義：若m1xm1(此中m為整數(shù))，則m叫做離實數(shù)x近來的整數(shù)，記作x，22即xm.在此基礎上給出以下對于函數(shù)f(x)xx的四個命題：①yf(x)的定義域是R，值域是(1,1]；22②點(k,0)(kZ)是yf(x)的圖像的對稱中心；③函數(shù)yf(x)的最小正周期為1；④函數(shù)yf(x)在(1,3]上是增函數(shù)；22則此中真命題是__①③．x,1x12,(m0)2提示：依題意知f(x)x1x3,(m1)，繪圖可知①③正確．1,22三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步16．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．已知等比數(shù)列a中，aa,a2b,a3c，a,b,c分別為ABC的三內角A,B,C的對n13．邊，且cosB4（1）求數(shù)列an的公比q；（2）設會合AxN|x22|x|，且a1A，求數(shù)列an的通項公式．解：（1）依題意知：b2ac，由余弦定理得：cosBa2c2b21(ac)13，．．．．．．3分2ac2ca24而cq2，代入上式得q22或q21，又在三角形中a,b,c0，a2q2或q2；．．．．．．6分2（2）24222x2|x|,x4x0x(x4)0,2x2且x0，．．．．．．9分，即又xN，因此A1,a11，an(2)n1或an(2)n1．．．．．．．12分217．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．已知O為坐標原點，向量OA(sin,1),OB(cos,0),OC(sin,2)，點P是直線AB上的一點，且點B分有向線段AP的比為1．（1）記函數(shù)f()PBCA，(,)，議論函數(shù)f()的單一性；22）若O,P,C三點共線，求|OAOB|的值．解：依題意知：A(sin,1),B(cos,0),C(sin,2)，設點P的坐標為(x,y)，則：cossin1x,01y，因此x2cossin,y1，點P的坐標為111(2cossin,1)．．．．．．．4分（1）PB(sincos,1),CA(2sin,1)f()PBCA2sin22sincos1(sin2cos2)2sin(2)，．．．．．．6分(0,54由24)可知函數(shù)f()的單一遞加區(qū)間為(,2)，單一遞減區(qū)間為48(,)；．．．．．．8分884（2）由O,P,C三點共線的1(sin)2(2cossin),tan，．．．．．．103分sin22sincos12tan24，|OAOB|(sincos)21sin2cos2tan225sin2742．．．．．．．12分518.（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．若對于x的實系數(shù)方程x2axb0有兩個根，一個根在區(qū)間(0,1)內，另一根在區(qū)間(1,3)內，記點(a,b)對應的地區(qū)為S．（1）設z2ab，求z的取值范圍；（2）過點(5,1)的一束光芒，射到x軸被反射后經過地區(qū)S，求反射光芒所在直線l經過地區(qū)S內的整點（即橫縱坐標為整數(shù)的點）時直線l的方程．解：方程x2axb0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,3)上的幾何意義是：函數(shù)yf(x)x2axb與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間(0,1)和(1,3)內，由此可得不等式組f(0)0b0bA(-4,3)f(1)0，即ab10，則在座標平面aObf(3)03ab90B1Oa內，點(a,b)對應的地區(qū)S如圖暗影部分所示，易得圖中A,B,C3C1三點的坐標分別為(4,3),(3,0),(1,0)，．．．．．．4分（1）令z2ab，則直線b2az經過點A時z獲得最小值，經過點C時z獲得最大值，即zmin11,zmax2，9又A,B,C三點的值沒有取到，因此11z2；．．．．．．8分（2）過點(5,1)的光芒經x軸反射后的光芒必過點(5,1)，由圖可知可能知足條件的整點為(3,1),(3,2),(2,2),(2,1)，再聯(lián)合不等式知點(3,1)切合條件，因此此時直線方程為：y11(1)(x5)，即yx4．．．．．．．12分3(5)19．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．已知函數(shù)yf(x)的反函數(shù)為yf1(x)，定義：若對給定的實數(shù)a(a0)，函數(shù)yf(xa)與yf1(xa)互為反函數(shù)，則稱yf(x)知足“a和性質”．（1）判斷函數(shù)g(x)x1,xR能否知足“1和性質”，并說明原因；（2）若F(x)kxb，此中k0,xR知足“2和性質”，則能否存在實數(shù)，使得aF(9)Fcos2asinF(1)對隨意的(0,)恒建立？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明原因．解：（1）函數(shù)g(x)x1,xR的反函數(shù)是g1(x)x1，xR，g1(x1)x,，而g(x1)x2,x，R其反函數(shù)為yx2,xR，故函數(shù)g(x)x1,x不R知足“1和性質”；．．．．．．4分（2）設函數(shù)F(x)kxb知足“2和性質”，k0.F1(x)xb,xR,kF1(x2)x2b，而F(x2)k(x2)b,xR，得反函數(shù)yxb2kkx2b=xb2k對xR恒建立，k由“2和性質”定義可知k1,bR,kk即函數(shù)F(x)xb，xR，在(,)上遞減，．．．．．．8分因此假定存在實數(shù)a知足22F(9)F(cosasin)F(1)，即1cosasin對隨意的90,恒建立，它等價于t2t2at80在t0,1上恒建立.t2at80，at0t0,1at8，易得a9.而t2at0知at因此a1.綜合以上有當1a9使得tfcos2asin3對隨意的0,恒建立．．．．．．．12分20．（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．已知曲線C:y4x,Cn:y4xn(nN)，從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線，交Cn于點Pn，再從點Pn作y軸的垂線，交C于點Qn1(xn1,yn1)，設x11,anxn1xn,yn1bnyn（1）求數(shù)列xn的通項公式；（2）記cn4，數(shù)列cn的前n項和為Sn，試比較Sn與37的大小(nN)；anbn32解：（1）依題意點Pn的坐標為(xn,yn1)，yn14xnn4xn1，xn1xnn，．．．．．．2分xnxn1n1xn2(n2)(n1)x112(n1)n(n1)1；．．．．．．6分13721937（2）cn，由S111n4n1，S28832，32S311155379分84848，．．．．．．32當n3時，Sn1111124342n4n1111111111142(14n2)2434234334n183114919137；．．．．．．13分8324n13221．（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．已知橢圓x2y21(abc0,a2b2c2)的左、右焦點分別為a2b2

91183694n1F1,F2，若以F2為圓心，bc為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于3(ac)．2（1）證明：橢圓上的點到F2的最短距離為ac；y（2）求橢圓的離心率e的取值范圍；P（3）設橢圓的短半軸長為1，圓F與x軸的右交點為Q，過點Q作斜2OF2x率為k(k0)的直線l與橢圓訂交于A、B兩點，若OAOB，求直線Tl被圓F2截得的弦長s的最大值．解：（1）設橢圓上任一點Q的坐標為(x0,y0)，Q點到右準線的距離為da2x0，則由橢圓c的第二定義知：|QF2|c，|QF2|acx0，又ax0a，當x0a時，daa|QF2|minac；．．．．．．4分y（2）依題意設切線長|PT||PF2|2(bc)2P∴當且僅當|PF2|獲得最小值時|PT|獲得最小值，OF2xT(ac)2(bc)23(ac)，2bc1，．．．．．．6分ac2進而解得3e2，故離心率e的取值范圍是3e2；．．．．．．8分5252yk(x1)（3）依題意Q點的坐標為(1,0)，則直線的方程為yk(x1)，聯(lián)立方程組x2y21a2得(a2k21)x22a2k2xa2k2a