二次函數(shù)與幾何圖形綜合題類型5探究角度數(shù)量關(guān)系的存在性問題試題

類5

探角數(shù)關(guān)的在問．(2015·在平面直角坐標系中，已知A，B是拋物線y＝(a>0)兩個不同的點，其中在第二象限，在第一象限．(1)如圖1所，當直線與x軸平，AOB90°，且AB＝時求此拋物線的解析式和A，B兩點橫坐標的乘積；(2)如圖2所，(1)所求得的物線上，當直線AB軸不平行，AOB仍90°時，，兩點的橫坐標的乘積是否為常數(shù)？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由；(3)在(2)的條件下，如圖3，若線2x2分交直線AB，y軸點P，，線AB交y軸點D，∠BPC＝∠OCP，求點的標．解：設(shè)線AB與y軸于點E∵AB與x軸行，根據(jù)拋物線的對稱性有AE＝BE＝1.1∵∠＝°∴＝AB＝1.2∴A(－，，B(1，．把x＝，＝代入y＝，得＝，∴拋物線的解析式為y＝，，兩點的橫坐標的乘積為x·＝－1.(2)x·＝－為常，過點A作AM軸于點MBN⊥軸點N，∴∠＝＝90°∴∠＋＝∠AOM＋∠BON90.∴∠＝∠BON.∴△AMO∽△ONB.∴

AMOM＝，即OM·ON＝AM·BN.ONBN設(shè)A(x，)，，)，∵A(x，)，，)在y＝

圖象上，∴＝，＝x.∴－·x＝y(tǒng)y＝x·∴·＝－為數(shù)．(3)設(shè)A(m，)，，)，由2)知mn＝－設(shè)直線AB的析式為y＝＋，聯(lián)立得x－－＝∵，是程的兩個根，∴＝－b.∴b＝∵直線AB與y軸于點D，則OD＝1.易知C(0，－，＝，∴＝OD＝∵∠BPC＝∠OCP，∴PD＝CD＝設(shè)P(a，－2a－，點P作PG軸于點G，則PG－，＝OG－＝－2a－3.在Rt

△PDG中由勾股定理得：＋＝PD，12即－a)＋－－＝，理得5a＋＝，解得＝舍)或a＝－.51214當a＝－時－－＝，55

33121433∴P(－，)．55422．(2016·河)如圖1，直線y－x＋nx軸于點，交y軸點C(0，4)．拋物線y＝x＋＋c過點A，33交y軸于點，－2)．點P為物線上一個動點，經(jīng)過點x軸垂線PD，過點B作BD⊥PD于點，連接，設(shè)點P的坐標為m(1)求拋物線的解析式；(2)當△BDP為等腰直角三角形時求線段PD的長；(3)如圖2，將△繞B逆針旋轉(zhuǎn)，得到eq\o\ac(△,BD)eq\o\ac(△,)′P，且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′＝∠OAC，當?shù)膶c′落在坐標軸上時，請直接寫出點P的坐．4解：由線y＝－x＋n過點4)，得n＝4，34∴＝x＋4.34當y＝時，0＝－x＋，解得x，∴A(30)．32∵拋物線y＝x＋＋經(jīng)過點，，B(0－．320＝×3∴

4＋＋，b＝－，∴

－＝

c＝－2.24∴拋物線的解析式為y＝x－x－2.33(2)∵點P的坐標為m，24∴P(m，m－m－2)，D(m，－．33若△BDP為等直角三角形，則PDBD.24①當點P在線BD上方，PD－m.33(若點P在軸左，則m<0，BD－24∴m－m＝－，331∴＝舍去，＝舍)．2(若點P在軸右，則m>0，BDm.2∴m3

47－m＝，∴m＝0(舍去)，＝.3224②當點P在線BD下方，，＝，＝－m＋m.332∴－3

41＋m＝m，∴m＝舍去)，＝32

71綜上，＝或.2271即當△BDP為等腰直角三角形時PD的長22(3)P(－5，

45＋4－5＋4)，P(5，)，332511P，)．832【提示】∵∠PBP′＝∠OACOA3，＝，43∴AC＝，sin∠PBP′，′＝.55①當點P′落在x軸時，過點′作′N⊥x，垂足為，交BD于M，∠DBD′＝∠ND′P＝∠PBP′.圖1344如圖1，ND′－MD′2，即(－m)－－m)＝535344如圖2，ND′＋MD′2，即(－m)＋m2.53545＋4－5＋4∴(－5，)，P5，)；33

圖2

圖3②當點P′落在y軸時，如圖，點′作D′