2022年中考數(shù)學(xué)考前專練 壓軸題

第10講：壓軸題

【考點(diǎn)精講】

題型一：猜想和證明

1.(2022?陜西?隴縣教學(xué)研究室一模)在學(xué)習(xí)完“圖形的旋轉(zhuǎn)”后，某數(shù)學(xué)興趣小組做了如下探究A/8C和AQEF是

兩個(gè)全等的等腰直角三角形，NBAC=NEDF=9。。,的頂點(diǎn)E與的斜邊3c的中點(diǎn)重合.將繞

點(diǎn)E作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，該過程中，線段與線段N8相交于點(diǎn)尸，線段瓦■與射線CM相交于點(diǎn)Q.

。0e

BEC

圖①圖②

(1)問題提出：如圖①，當(dāng)點(diǎn)0在線段ZC上，且/尸=4。時(shí)，ABPE和ACQE是否全等.如果全等，寫出證明過程;

若不贊同，請(qǐng)說明理由.

(2)問題解決：如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在線段CZ的延長(zhǎng)線上時(shí)，A5PE和ACQE是否有存在與第(1)問相同的關(guān)系，如

果相同寫出證明過程；如果不同，請(qǐng)說明它們的關(guān)系.當(dāng)BP=a,時(shí)，求尸，。兩點(diǎn)間的距離(用含〃的

代數(shù)式表示).

2.(2021?河南周口?三模)如圖，在等腰直角三角形48。和NDE中，AC=AB,AD=AE,連接a),點(diǎn)Af、N分

別是8。，8c的中點(diǎn)，連接MN.

(1)如圖1,當(dāng)頂點(diǎn)。在邊/C上時(shí):請(qǐng)直接寫出線段8E與線段的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

(2)當(dāng)A4DE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)時(shí)，連接8E,上述結(jié)論是否依然成立，若成立請(qǐng)就圖2情況給出證明：若不成立，請(qǐng)說明

理由.

(3)當(dāng)/C=5時(shí)，在AWE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)過程中，以。，E,M,N為頂點(diǎn)可以組成平行四邊形，請(qǐng)直接寫出4)的長(zhǎng).

1

題型二：閱讀理解

3.(2022?北京東城?一模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xQy中的點(diǎn)C及圖形G,有如下定義：若圖形G上存在48兩點(diǎn),

使得A/8C為等腰直角三角形，且乙1BC=9O。，則稱點(diǎn)C為圖形G的“友好點(diǎn)”.

⑴己知點(diǎn)。(0,0),"(4,0),在點(diǎn)G(0,4),C2(l,4),C3Q,-1)中,線段0M的“友好點(diǎn)”是；

⑵直線y=-x+b分別交x軸、>軸于尸，。兩點(diǎn)，若點(diǎn)C(2,l)為線段尸。的“友好點(diǎn)”，求b的取值范圍；

(3)已知直線y=x+d?>0)分別交x軸、y軸于E,尸兩點(diǎn)，若線段E尸上的所有點(diǎn)都是半徑為2的。。的“友好點(diǎn)”,

直接寫出d的取值范圍.

4.(2022?江蘇揚(yáng)州?一模)對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M,對(duì)于任意的函數(shù)值外都滿足

那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù).在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界.例如，函數(shù)

y=-(x-3y+2是有上界函數(shù)，其上確界是2.

(1)函數(shù)①y=d+2x+l和②歹=2x-3(x<5)中是有上界函數(shù)的為(只填序號(hào)即可)，其上確界為

(2)若反比例函數(shù)y=&(Kb,a>0)的上確界是b+1,且該函數(shù)的最小值為2,求。、6的值；

X

⑶如果函數(shù)^=-/+2?+2(-1工工《3)是以6為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的值.

2

題型三：開放探究

5.(2022?安徽滁州?二模)探索并解決問題

圖1圖2圖3

(1)【證明體驗(yàn)】如圖1,AD為A48C的角平分線，/4DC=60。，點(diǎn)E在線段45上，求證：DE平分N/O5；

(2)【思考探究】如圖2,在(1)的條件下，尸為上一點(diǎn)，連接FC交于點(diǎn)G.若FB=FC,求證：DE2=BDDG；

(3)【拓展延伸】如圖3,在四邊形中，對(duì)角線4c平分N8/。，ZBCA=2ZDCA,點(diǎn)E在/C上，ZEDC=

ZABC,若8c=5,CD=2后,AD=2AE,求ZC的長(zhǎng).

6.(2022?湖南岳陽?一模)如圖，射線和射線C8相交于點(diǎn)8,Z/I5C=a(00<a<180°),且=點(diǎn)。

是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)C和點(diǎn)8重合)，作射線并在射線上取一點(diǎn)E,使4￡C=a,連接

CE,BE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上，a=60。時(shí)，在上截取AF=CE,連接BF,證明：/\ABF也AC5￡，請(qǐng)求ZAEB

的度數(shù)，探求線段/E,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上，a=90。時(shí)，請(qǐng)寫出乙4￡8的度數(shù)，探求線段力區(qū)BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上，a=120。時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段4E,BE,C￡之間的數(shù)量關(guān)系

3

題型四：新定義問題

7.(2022?北京西城?一模)在平面直角坐標(biāo)系x°y中，對(duì)于△/I8C與。。，給出如下定義：若△//BC與OO有且只

有兩個(gè)公共點(diǎn)，其中一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)4,另一個(gè)公共點(diǎn)在邊8c上(不與點(diǎn)8,C重合),則稱A48。為。。的“點(diǎn)

Z關(guān)聯(lián)三角形”.

(1)如圖，。。的半徑為1,點(diǎn)△/OC為00的“點(diǎn)/關(guān)聯(lián)三角形”.

①在々(TO),P2這兩個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)/可以與點(diǎn)重合;

②點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最小值為；

(2)。。的半徑為1,點(diǎn)川,0),點(diǎn)8是y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸下方，△/8C是等邊三角形，且△/8C

為。。的“點(diǎn)A關(guān)聯(lián)三角形”.設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為機(jī)，求機(jī)的取值范圍；

(3)00的半徑為r,直線y=x與OO在第一象限的交點(diǎn)為N,點(diǎn)C(4,0).若平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)2,使得

A48C是等腰直角三角形，且A4BC為。。的“點(diǎn)4關(guān)聯(lián)三角形”，直接寫出/■的取值范圍.

8.(2022?江蘇常州?一模)從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出的一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的

線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，

我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“優(yōu)美分割線”.

ADB

(1)如圖，在A/8C中，CO為角平分線，NN=40。，ZB=60°,求證：C3為A/8C的“優(yōu)美分割線”；

(2)請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)三角形和它的“優(yōu)美分割線”，標(biāo)出相關(guān)角的度數(shù)；

(3)在中，乙4=30。，AC=6,CD為的"優(yōu)美分割線”，且△/CO是等腰三角形，求線段8。的長(zhǎng).

4

題型五：綜合應(yīng)用

9.(2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè))如圖1所示，直線y=，+3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)4點(diǎn)8,點(diǎn)C(l,2)在經(jīng)

過點(diǎn)48的二次函數(shù)y=oy2+6x+c的圖象上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為線段上(不與端點(diǎn)重合)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸。〃y軸交拋物線于點(diǎn)。，求尸。+］尸8取得最大值時(shí)

點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接BC并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)，E為第三象限拋物線上一點(diǎn)，連接。E,點(diǎn)G為x軸上一點(diǎn)，且G(-l,0),

直線CG與DE交于點(diǎn)F,點(diǎn)H在線段C尸上，且NC尸。+NABH=45。,連接BH交0/于點(diǎn)M,已知NGO尸=ZHBO,

求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

10.(2022?山東?模擬預(yù)測(cè))如圖1,已知△/8C,ZABC=9Q°,4C8=60。，點(diǎn)E為48邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)￡作EF_L/C

于點(diǎn)凡連接CE,點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，連接GF,GB.

F

A

圖1

(1)線段GF與GB的數(shù)量關(guān)系為；

(2)將放ZX/EF繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，如圖2所示，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說

明理由;

(3)在平面內(nèi)，將RtA4EF繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)尸落在邊上時(shí)，若BC=8,AE=4,求8G的長(zhǎng).

5

【專題精練】

一、單選題

11.（2022?安徽合肥?九年級(jí)期末）如圖，矩形/8CA中，N8/C=60。，點(diǎn)E在上，且BE：AB=\：3,點(diǎn)尸在

BC邊上運(yùn)動(dòng)，以線段EF為斜邊在點(diǎn)B的異側(cè)作等腰直角三角形GEF,連接CG,當(dāng)CG最小時(shí)，二的值為（）

AD

A.—B.|C.；D.3

9323

12.（2022?內(nèi)蒙古包頭?）對(duì)于兩個(gè)不相等的有理數(shù)4，b,我們規(guī)定符號(hào)表示a,6兩數(shù)中較大的數(shù)，

例如加然{2,4}=4,切中{-2,T}=-2.按照這個(gè)規(guī)定，那么方程"mx{x,5x}=2x+6的解為（）

A.x=2B.x=3或x=—6C.x=2或x=-6D.x=3

13.（2022?黑龍江?大慶市慶新中學(xué)）如圖，在中，分別以48、ZC為邊作等邊三角形48。與等邊三角形/CE,

連接8E、CD、8E的延長(zhǎng)線與8E交于點(diǎn)尸，連接/兄下列結(jié)論：?BE=CD；②NBFD=60°；③以平分NEFC；

@FE+FC=FA.其中一定正確的有（）

14.（2021?河北?保定市第十七中學(xué)）如圖，把平面內(nèi)一條數(shù)軸x繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角。（0°<0<90°）得到另一

條數(shù)軸y,x軸和y軸構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系.規(guī)定：已知點(diǎn)尸是平面斜坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作N軸的平行

線交x軸于點(diǎn)過點(diǎn)尸作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)8,若點(diǎn)Z在x軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a,點(diǎn)8在夕軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)

數(shù)為6,則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為點(diǎn)P的斜坐標(biāo).在平面斜坐標(biāo)系中，若6=45。，點(diǎn)尸的斜坐標(biāo)為點(diǎn)G

的斜坐標(biāo)為（8,-3應(yīng)），連接尸G,則線段PG的長(zhǎng)度是（）

A.729B.3714C.而D.2#)

6

15.（2021?廣東?深圳市羅湖區(qū)翠園初級(jí)中學(xué)二模）將反比例函數(shù)y=之4的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，得到

x

如圖的新曲線4（-3,3百），81）的直線相交于點(diǎn)C、D,則△OC。的面積為（）

A.3B.8C.273D.173

16.（2022?重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在比△/BC中，AB=CB,把ANBC折疊，

使N8落在4C上，點(diǎn)8與4C上的點(diǎn)尸重合，展開后，折痕/。交EE于點(diǎn)G,連接G尸、BF,8尸交于。點(diǎn).下

列結(jié)論：①tan/45B=2②若將△OG尸沿GF折疊，則點(diǎn)。一定落在力C上③圖中有7個(gè)等腰三角形④若以切。=1,

則S/iH8c=+8⑤S四邊形8匹￡=S4/EG，上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

C.4個(gè)D.5個(gè)

17.（2022?安徽?九年級(jí)）如圖，在正方形/8CD中，△8PC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交4。于點(diǎn)EF,

連接BD、DP,BD與CF相交于點(diǎn)H.給出下列結(jié)論：①/E=②NPDE=15°；③》”=1；④DE2=PF?FC.其

C.②③④D.①②④

7

18.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、尸分別在正方形N8CD的邊CD、ADk,S.AB=2CE=3AF,過

F作FGLBE于P交BC于G,連接DP交BC于H,連BF、EF.下列結(jié)論：

S2

①△尸8尸為等腰直角三角形；②〃為8C的中點(diǎn)；③NDEF=2NPFE；④才以=可.

C.只有③④D.①②③④

19.（2022?福建?福州十八中一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過矩形的頂點(diǎn)D

X

與對(duì)角線4C交于點(diǎn)R過點(diǎn)4作4ELZC與磁的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.恰好滿足ZE=4R連接O。、OF、DF.若

7

△。。產(chǎn)的面積為］，AD:BE=16:9,貝IJ4的值為（）

A.4.8B.2.4C.5D.4

20.（2021?江蘇無錫?三模）如圖，正方形Z5CQ的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊45上，BE=l,NQ4Vf=45。，點(diǎn)F在射

線4〃上，且肝=也，過點(diǎn)尸作4。的平行線交易I的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，CF與4。相交于點(diǎn)G,連接EC、EG.EF.T

列結(jié)論：①CG=：后；②"EG的周長(zhǎng)為8；③皿尸的面積為*其中正確的是（

)

A.①②③B.①③C.①②D.②③

8

二、填空題

3

21.（2022?四川成都?二模）已知：如圖，在Rt4BC中,=90°,ZB=8,tanN/8C=^,點(diǎn)N是邊/C的中

點(diǎn)，點(diǎn)〃是射線8c上的一動(dòng)點(diǎn)（不與8,。重合），連接A/N,將△CNN沿翻折得AEMN,連接BE,CE,

當(dāng)線段BE的長(zhǎng)取最大值時(shí)，sin/NCE的值為.

A

E

22.（2022?四川成都?二模）在平面直角坐標(biāo)系X。串中有兩點(diǎn)4B,若在y軸上有一點(diǎn)P,連接以，PB,當(dāng)/4PB

=45。時(shí)，則稱點(diǎn)尸為線段關(guān)于y軸的“半直點(diǎn)”.例：如圖，點(diǎn)/（-3,1）,8（-3,-2）,則點(diǎn)P（O,1）

就是線段關(guān)于y軸的一個(gè)“半直點(diǎn)”，線段48關(guān)于y軸的另外的“半直點(diǎn)”的坐標(biāo)為；若點(diǎn)C（3,3）,點(diǎn)

D（6,-1）,則線段CD關(guān)于y軸的“半直點(diǎn)”的坐標(biāo)為.

23.（2022?四川?石室中學(xué)一模）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于

直線x=〃（〃為常數(shù)）對(duì)稱，則把該函數(shù)稱之為“X（〃）函數(shù)

（1）在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“X（〃）函數(shù)”的是（填序號(hào)）；

&y=~;②y=|4x|；③y=N-2x-5.

X

（2）若關(guān)于X的函數(shù)y=|x-川（〃為常數(shù)）是“x（3）函數(shù)"，與》=|一|（加為常數(shù)，相＞0）相交于4a4yA）.

x

B（xB,yB）兩點(diǎn)，4在8的左邊，xB-xA=5,則加=.

9

24.（2022?浙江杭州?一模）如圖，正方形"88的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是對(duì)角線/C上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與4C重合）,

連接BE,EF工BE交CD于點(diǎn)、F,線段EF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸G,連接8G.下列結(jié)論：①BE=EF；

②//CG=90。；③若四邊形BEFG的面積是正方形/8CZ）面積的一半，則ZE的長(zhǎng)為4五-4;

④CG+CE=&B.其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

25.（2022?重慶?模擬預(yù)測(cè)）新學(xué)期開始，某出版社計(jì)劃出版銷售4B、C三種書籍，每種書箱均是整數(shù)本出售.第

一個(gè)星期，該出版社三種書籍的售價(jià)均為整數(shù)，且C種書籍的售價(jià)是其余兩種書籍售價(jià)之和的3倍，同時(shí)C種書籍

的售價(jià)小于39元且不低于27元，三種書籍第一個(gè)星期內(nèi)售出數(shù)量之比為3：2：1.第二個(gè)星期由于紙張價(jià)格迅速

上漲，人工成本也在增加，該出版社決定把部分書籍漲價(jià)銷售，其中4種書籍售價(jià)不變，8種書籍的售價(jià)比第一周

售價(jià)增加1倍，C種書籍售價(jià)比第一周售價(jià)上升了;，且第二個(gè)星期內(nèi)，Z種和C種書籍銷量之比是4：5,5種書

籍比第一個(gè)星期的銷量減少20%.出版社結(jié)算發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)星期三種書籍的總銷售額比第二個(gè)星期N、C兩種書籍

的總銷售額多517元，第一個(gè)星期三種書籍的總銷售量與第二個(gè)星期三種書籍的總銷售量之差不低于87本且小于

115本，則這兩個(gè)星期C種書籍的總銷售額是.

三、解答題

26.（2022?四川眉山?九年級(jí)期中）如圖，4C是正方形Z5CD的對(duì)角線，E為邊8c上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG_L/C交

4c于P,交于G,連接。尸并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)F.

(1)求證：PE=PG；

Q)若BE=FC,求ZEPF的大?。?/p>

(3)若8C=6,EF=\,求APEF的面積.

10

27.(2022?遼寧大連?模擬預(yù)測(cè))將一個(gè)直角三角形紙片/8O,放置在平面直角坐標(biāo)系中，邊48所在直線

"-乎；(:+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)4,8點(diǎn)/在射線ZO上(點(diǎn)M不與點(diǎn)P、/重合)過點(diǎn)/作MN_L于

點(diǎn)N,沿著A/N折疊該紙片，頂點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H,設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為(九0),折疊后的A/TMN與A/O8重疊部分的

面積為S.

(1)填空：直接寫出點(diǎn)48的坐標(biāo)/,B,NBAO=

(2)當(dāng)點(diǎn)4與頂點(diǎn)B重合時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)求S關(guān)于用的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量用的取值范圍.

28.(2022?遼寧?沈陽市南昌初級(jí)中學(xué)(沈陽市第二十三中學(xué))一模)在“8C中，CA=CB,ZACB=a.點(diǎn)P是

平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn).連接/P,將線段4P繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段。P,連接ZD,BD,CP.

(1)觀察猜想:如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，素的值是_________，直線8。與直線C尸相交所成的銳角的度數(shù)是_________；

BD

(2)類比探究:如圖2,當(dāng)a=90。時(shí)，請(qǐng)求出C于P的值及直線8。與直線CP相交所成的銳角的度數(shù)(就圖2的情形說

明理由)；

(3)解決問題:當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)E,尸分別是C4,C8的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線E尸上，當(dāng)點(diǎn)C,P,。在同一直線上且C尸=4

時(shí)，請(qǐng)直接寫出/￡)的長(zhǎng).

II

29.(2022?山東大學(xué)附屬中學(xué)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)夕=/+云+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為"過點(diǎn)P作P0〃x軸，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-2加+1.已知點(diǎn)尸與點(diǎn)。

不重合，且線段PQ的長(zhǎng)度隨m的增大而減小.

①求m的取值范圍；

②當(dāng)尸。47時(shí)，直接寫出線段尸。與二次函數(shù)y=/+6x+c，24x<1的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的機(jī)的取值范圍.

圖②

(1)觀察猜想:

如圖①，在正方形/3CD中，點(diǎn)E、點(diǎn)廠分別是邊Z3、8c的中點(diǎn)，四邊形E8尸G也是正方形，連接。G.則

CF:DG=,直線DG與直線C尸相交所夾的銳角度數(shù)為;

(2)探索思考：

①如圖②，在矩形中，AD=2也,4B=2,點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是邊4B、8c的中點(diǎn)，四邊形旗FG是矩形，連

接。G,則CF:OG=,直線。G與直線CF相交所夾的銳角度數(shù)為；

②如圖③，若將矩形E8FG繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，CF：OG的值以及直線。G與直線C尸相交所夾的銳

角度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)僅就圖③的情形給出證明；

(3)拓履延伸:

在(2)條件下當(dāng)矩形E8FG旋轉(zhuǎn)至EG垂直。尸時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C到直線。尸的距離.

12

3

31.(2022?遼寧撫順?三模)如圖，直線了=/-3與x軸，N軸交于A,B兩點(diǎn)，拋物線y=/+a+。經(jīng)過A,B兩

點(diǎn)，M是射線8/上一動(dòng)點(diǎn)，mV〃y軸交拋物線于點(diǎn)N.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接ZN,BN,點(diǎn)M在線段N8上，若S&?=$△,，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M從點(diǎn)8出發(fā)，沿射線比1方向以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒，當(dāng)，為何值時(shí),

MB=MN,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的，值.

32.(2022?山西?二模)綜合與探究

如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于/,8兩點(diǎn)(點(diǎn)Z在點(diǎn)8的左側(cè))，與歹軸交于點(diǎn)C,且8兩點(diǎn)的坐標(biāo)

分別是小-2,0),8(8,0).點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加，過點(diǎn)尸作直線/_Lx軸，交直線/C于點(diǎn)

G,交直線BC于點(diǎn)H.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)如果點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P在點(diǎn)C和點(diǎn)。之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)N,使得

△NG”是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)試探究在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)尸，Q,B,C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)辜

談寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

13

33.（2022?山東濟(jì)南?二模）圖1所示，四邊形488為正方形，點(diǎn)4在y軸上，點(diǎn)8在x軸上，且。/=4,OB

k

=2,反比例函數(shù)y=￡（原0）在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式：

（2）如圖2,將正方形ABCD沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到正方形A5CD,點(diǎn)4恰好落在反比例函數(shù)的圖象上,

求m值.

（3）在（2）的條件下，坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)尸，使以點(diǎn)。，A',Q，尸為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

34.（2022?福建漳州?二模）如圖，在正方形N8CZ）中，點(diǎn)E在邊8c上（不與端點(diǎn)重合），尸是由1繞

點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的，連接￡尸交NO于點(diǎn)G,過點(diǎn)/作垂足為，，連接8”.

⑴求證：是等腰直角三角形；

（2）求證：N4FE=NHBE；

（3）若4GBH=竺亞,CE=3,求tanNFZD的值.

14

35.(2022?河北滄州一模)在△/8C中，力8=/C,點(diǎn)。是邊8c上一動(dòng)點(diǎn)，連接4。，將/。繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)至4E,使ND4E+NA4c=18B.論證：如圖1,當(dāng)/BZC=90。時(shí)，連接CE、BE,其中屆交NC于點(diǎn)F.探索:

如圖2,連接取8E的中點(diǎn)G,連接NG.設(shè)/G=x.

圖1圖2圖3

(1)求證：N4BD空AACE；

(2)若8E平分NZ8C,求證：BD=FC；

(3)用含x的代數(shù)式表示CD的長(zhǎng)；

(4)如圖3,若NA4c=120。，BD=AB,連接。E,DG,CE.當(dāng)NG=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng).

15

16/94

參考答案：

1.(1)見詳解.

(2)見詳解.

【解析】

【分析】

(1)由A48C是等腰直角三角形，易得/B=NC=45。,AB=AC,又由4尸=4。，E是8c的中點(diǎn)，

利用％S,可證明：\BPE\CEQ.

(2)由ZU8C和ADEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，易得NB=NC=NDEF=45。,然后利用三角形

的外角性質(zhì)，即可得4必=/后。。，則可證得：ABPEsACEQ；根據(jù)相識(shí)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即

可求得5E的長(zhǎng)，然后即可求得8c的長(zhǎng)，繼而求得4。與/P的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求得尸、。兩點(diǎn)間

的距離.

(1)

解：A8PE9XCEQ,理由如下：

?；A4BC是等腰直角三角形，

N8=NC=45。，AB=AC,

VAP=AQ,

：.BP=CQ,

是8c的中點(diǎn)，

BE=CE,

在b￡P(guān)E和ACEQ中，

BE=CE

:,NB=NC

BP=CQ

:.岫PEmACEQ0AS)

(2)

解：不相同，理由如下：

如圖：連接PQ,

?/AJ8C和ADEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，

NB=NC=NDEF=45。,

：.NBEF=NEQC+NC,

即NBEP+NDEF=NEQC+ZC,

ZBEP+45°=NEQC+45°,

NBEP=NEQC

：.\BPEs\CEQ

.BP_BE

"'~CE~CQ'

17/94

9

?:BP=a,CQ=-afBE=CE,

aBE

??百仁

2

?DCkrr3五

2

???BC=3VL，

???AB=AC=5C-sin45°=3a,

3

：.AQ=CQ-AC=-a9PA=AB-BP=2a,

在Rt\APQ中，尸0=^AQ2+AP2=|a.

【點(diǎn)睛】

此題考查了相識(shí)三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理,

此題難道較大，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

2.(l)W=1fi￡；MNVBE

(2)成立；見解析

⑶9I或有

13

【解析】

【分析】

(1)延長(zhǎng)交力8于點(diǎn)G,根據(jù)三角形的中位線定理證明〃/8,MN=gcD=、BE,再由平行線

22

的性質(zhì)證明NNGB=4=90。,則朋N，8E；

(2)(1)中的結(jié)論依然成立，連接CD,由等腰直角三角形的性質(zhì)推出相應(yīng)的線段相等和角相等，證

明先證明COLBE,再證明〃N_L8￡；由三角形的中位線定理證明；

(3)以。，E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形分兩種情況：①/。在A/18C的內(nèi)部，②4。、NE都

在A43c的外部，此時(shí)C、D、E三點(diǎn)在同一條直線上，且CO=8E=2OE,再根據(jù)COLBE,得到直

角三角形，由勾股定理列方程求力。的長(zhǎng).

18/94

(1)

解：如圖1,

r

Si

延長(zhǎng)A/N交Z8于點(diǎn)G,

VM,N分別是B。、8c的中點(diǎn)，

：.MN//CD,且A/N,C。，

2

;AC=4B,AD=AE,

:.CD=BE,

:.MN=-BE,

2

???NNGB=/A=90。,

:.MN1BE.

故答案為：MN=LBE,MNIBE.

2

(2)

成立，理由如下：

,如圖2,

?;/CAB=/DAE=90。,

??.ZCAD=ZBAE=900-ADAB,

19/94

?;AC=4B,AD=AE,

/.ACAD^ABAECSAS),

:.CD=BE,ZACD=ZABE,

???點(diǎn)〃、N分別是BD、3c的中點(diǎn)，

:.MN〃CD,MN=%D,

2

,\MN=-BE；

2

???ZBCH+ZCBH=ZBCH+ZABE+ZABC=ZBCH+ZACD+ZABC=ZACB+^ABC=90°,

^CHB=90°,

/.CD1BE,

???/NGB=/CHB=90。；

(3)

如圖3,

Z。在AJ8C內(nèi)部，ZE在AJ8C的外部，且四邊形。EMN是平行四邊形,

由(2)得，CD1.BE,MN〃CD,MN=-CD=-BE,

22

?：DE//MN,

NEDN+NDNM=[80。,

???ZDNM=ZCDN,

z./EDN+/CDN=180。,

???C、D、E三點(diǎn)在同一條直線上，

ZBEC=90°,

?/DE2=2AD2，

DE=6AD，

???DE=MN,

:.CD=BE=2MN=2DE=26AD，

20/94

,/AC—5,

8c2=52+52=5。，

由。戶+8￡2=員:2得，

d42AD+2y/2AD)2+(.2>/2AD)2=50，

解得叵；

13

如圖4,

/。、/E都在aABC的外部，且四邊形。ENM是平行四邊形，設(shè)8E交ZC于點(diǎn)0,

ZCAD=ZBAE=9(F+ZCAE,AC=AB,ADWE,

ACAD也/^BAE(SAS),

CD=CE,

,：M.N分別為BD、8C的中點(diǎn)，

MN//CD,

■：四邊形DENM是平行四邊形，

DE//MN,

.,.點(diǎn)E在CD上,

?;NACD=NABE,NCOE=NAOB,

ZACE+ZC0E=ZABE+ZA(95=90°,

Z5￡C=90°,

N分別是3。、8c的中點(diǎn)，

:.MN=-CD=-BE,

22

BE=CD=2MN=2DE,

DE=6AD，

BE=CD=2y[lAD，

由CE2+8￡2=5C2得，

(2>/2AD->/2AD)2+(2&/。)2=50，

21/94

解得AD=4^，

綜上所述，工。的長(zhǎng)為獨(dú)1或VL

13

【點(diǎn)睛】

此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理以及

旋轉(zhuǎn)的特征等知識(shí)和方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，第（3）題要分類討論，求出所有

符合條件的值.

3.⑴。、C3

（2）1劭<3或b>3

（3）2架2直+2

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)“友好點(diǎn)''的定義逐個(gè)判斷即可；

（2）分兩種情況討論，直線尸。在點(diǎn)C上方或下方.過8作P0的垂線，垂足為B,交x軸于“，根據(jù)

題目中的定義知：8?；?P的長(zhǎng)度要大于或等于BC的長(zhǎng)度，求解即可；

（3）首先分析得到E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，作出圖形知。n2,當(dāng)EH平分NFEO時(shí),其中"（2,0）,是其

最大臨界值，根據(jù)勾股定理求出最大值為20+2,即得結(jié)論.

（1）

解：如圖所示，

22/94

過C?作于4則NM=3,C2A=4,三角形4MQ不是等腰三角形，C?不符合題意；

過C3作于8,則的8=/8=1,三角形/BQ是等腰直角三角形，符合題意；

故答案為：C/、C}.

(2)

解：分兩種情況討論，當(dāng)直線尸。在C點(diǎn)上方時(shí)，過C作CB,尸。于8,延長(zhǎng)8c交x軸于“，如圖所

示，

23/94

則為等腰直角三角形，BP=BH>BC,

故在線段尸。上必存在Z點(diǎn)，使得N/8C=90。，AB=BC,

將x=2,尸1代入y=-x+6得：b=3,

即b>3；

當(dāng)直線尸。在C點(diǎn)下方時(shí)，過C作CP。于8,C8延長(zhǎng)線交x軸于4,

則當(dāng)80Z8C時(shí)，符合題意，

當(dāng)直線尸。過H點(diǎn)時(shí)，BQ=BC,如圖所示,

24/94

y

一71

此時(shí)，—1+6=0,即6=1,

即12<3,

綜上所述，b的取值范圍為：1助<3或6>3.

(3)

解：通過分析可知，當(dāng)直線E/在下圖中的位置之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，符合要求,

25/94

此時(shí)?，ZHEO=22.5°,即為NE/7尸的平分線，

過，作HMLEF于M,則HM=OH=2,

：.FM=2,

由勾股定理得：FH=2五，

即OE=OF=2V2+2，即"=272+2

.'.2S/<2A/2+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義的問題，涉及到一次函數(shù)與圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，所用到的數(shù)學(xué)思想方法為數(shù)形結(jié)合、

分類討論，該題綜合性較強(qiáng).解題關(guān)鍵是讀懂題意，借助定義作出符合題意的圖形.

4.⑴②，7；

,3

a=-

⑵2

@=3

(3)a=2或a=-2.

【解析】

【分析】

(1)分別求出兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值范圍即可得解；

(2)先求出函數(shù)值的范圍，再由已知得到關(guān)于“，6的等式，即可得到解答；

(3)把原函數(shù)配方，再根據(jù)已知得到關(guān)于。的方程，即可得解.

(1)

解：Vy=x2+2x+1=(x+1)">0,,y=2x-3<7(x<5),

??.有上界函數(shù)為②，其上確界為7,

故答案為②，7；

(2)

解：由已知可得?vLsL,

bxa

-=2

b

3

a=—

2

b=3

(3)

解：?/y=-^x2-2OX-2)=-(X-Q)“+a2+2<a2+2,

26/94

a2+2=6>

a=2或a=-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義下的函數(shù)探究，在理解所給定義的前提下綜合運(yùn)用各類型函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.(1)見解析；

⑵見解析；

⑶3

3

【解析】

【分析】

(1)由得N/Z)E=NZOC=60。，因而N5OE=60。，所以O(shè)E平分乙〃)8；

(2)先證明△BDEsaCDG,得到空=2與，再將比例式化為乘積式即可；

CDDG

(3)根據(jù)角平分線的特點(diǎn)，在上截取/尸=/。，連結(jié)CF,構(gòu)造全等三角形和相似三角形，由相似三

角形的性質(zhì)求出ZC的長(zhǎng).

(1)

證明：：AD平分ZB/C,

NEAD=ZCAD,

VAE=AC,,AD=AD

：.AE/DMCZXSAS),

NADE=AADC=60°,

NEDB=1800-NADE-NADC=60°,

:.NBDE=NADE,

即DE平分NADB；

(2)

證明：VFB=FC,

NEBD=ZGCD,

'：NBDE=ZGDC=60°,

>EBD?△GCZ),

,BDDE

"~CD~~DGi

由(1)知以切。二△C4Z),

:,DE=CD,

DE?=BD?DG;

(3)

解：如圖3,在48上取一點(diǎn)尸使力少=40,連接CH

27/94

A

?..4C平分NA4。,

：.ZFAC=ZDACt

?：AC=AC,

：.^AFC^ADC,

:?CF=CD,ZACF=NACD,ZAFC=AADC,

???/ACF+ZBCF=ZACB=2ZACD,

，/DCE=NBCF,

*/Z.EDC=NFBC,

xDCE?ABCF,

.CDCE

..——=——,ZCED=ZBFC,

BCCF

■:BC=5，CF=CD=25

：.CE=4f

ZAEC=180°-ZCED=1800-Z.BFC=ZAFC=ZADC,NEAD=NDAC,

AEAD~&DACf

,AEAD

??=,

ADAC

AD=2AE,

.AE2AE

??TAE~4+24'

??AE=—,

3

416

AC=CE+AE=^+-=—

33

【點(diǎn)睛】

此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解第(3)

題時(shí)，應(yīng)注意探究題中的隱含條件，通過適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形；此題難度較大,

屬于考試壓軸題.

6.(1)證明見解析，ZAEB=60。；AE=BE+CE；

28/94

⑵NZE8=45°；AE=6BE+CE;

(3)ZAEB=30°,AE=CE+百BE.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)可得NZ=NC,再由S/S可得尸之△CBE,最后由三角形全等性質(zhì)和等

邊三角形的判定和性質(zhì)可以得到解答；

(2)與(1)類似，但是因?yàn)榇撕?E分別為等腰直角三角形的斜邊和直角邊，所以根據(jù)等腰直角三角

形斜邊和直角邊的關(guān)系可得FE=6BE，最后得到解答；

(3)與(1)(2)類似，但是因?yàn)榍f和8E分別為等腰鈍角三角形的底邊和腰，所以過點(diǎn)8作8G_LER

于點(diǎn)G,然后利用解直角三角形的方法求得尸從而得解.

(1)

如圖，

圖1

/ABC=NAEC=60°,ZADB=/CDE,

:.N4=NC,

AB=BC,AF=CE,

???AABFq/\CBE,

：.BF=BE,

：.Z.ABF=Z.CBE,

JZFBE=ZABC=60°,

：.BF=BE=EF,

：.ZAEB=60°,AE=AF+FE=CE+BE；

(2)

如圖，在4D上截取AF=CE,連接5尸，

29/94

c

圖2

同理可證/\ABFg/\CBE,

BF=BE,：.ZABF=NCBE,:.NFBE=NABC=9。°,

乙狼二45。,FE=41BE>

AE=FE+AF=y[2BE+CE;

(3)

如圖，在力。上截取AF=CE,連接BF,過點(diǎn)B作BG1EF于點(diǎn)G.

圖3

同理可證/\ABFg/\CBE,

:.BF=BE,：.Z.ABF=Z.CBE,:.NFBE=N4BC=120°,

：.AAEB=30°,FE=2GE=2BExcos3Q°=MBE,

，AE=AF+FE=CE+6BE.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的動(dòng)點(diǎn)問題，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形和等腰三角形的判定和性

質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

7.⑴①②-3

(2)機(jī)的取值范圍為191<上芭；

2

(3)4A/2-4</<或，>4.

【解析】

【分析】

30/94

(1)根據(jù)“點(diǎn)4的關(guān)聯(lián)三角形”的定義，只有除OC與。。有一個(gè)交點(diǎn)外，線段ZC與。。也只有一個(gè)交

點(diǎn)，所以當(dāng)過點(diǎn)C作。。的切線時(shí)，點(diǎn)工應(yīng)在弧上，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，即可知點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為

工昱,即可判斷點(diǎn)N應(yīng)與巴［坐，坐］重合，點(diǎn)工的橫坐標(biāo)的最小值為-3；

(2)先求出夕。=夜，過點(diǎn)。作CG_Ly軸于G,構(gòu)造直角三角形，表示出GM=69G,BM=2B'G,進(jìn)

而用勾股定理求出89,即可求出答案；

(3)符合MBC等腰直角三角形的8點(diǎn)有6個(gè)，當(dāng)/?較小時(shí)，沒有符合題意的5