高中數(shù)學第5章函數(shù)概念與性質(zhì)53第1課時函數(shù)的單調(diào)性第一冊數(shù)學教學案

5.3函數(shù)的單一性第1課時函數(shù)的單一性學習目標

核心修養(yǎng)1．理解并掌握單一增(減)函數(shù)的定義及其幾何意義．(要點)

經(jīng)過學習本節(jié)內(nèi)容，提高學2．會用單一性的定義證明函數(shù)的單一性．

(重

生的直觀想象和邏輯推理點、難點

)

修養(yǎng)．3．會求函數(shù)的單一區(qū)間．

(要點、難點

)我們知道，“記憶”在我們的學習過程中飾演著特別重要的角色，所以有關(guān)記憶的規(guī)律向來都是人們研究的課題．德國心理學家艾賓浩斯以前對記憶保持量進行了系統(tǒng)的實驗研究，并給出了近似以下圖所示的記憶規(guī)律．假如我們以x表示時間間隔(單位：h)，y表示記憶保持量(單位：%)，則不難看出，上圖中，y是x的函數(shù)，記這個函數(shù)為y＝f(x)．這個函數(shù)反應(yīng)出記憶擁有什么規(guī)律？你能從中獲得什么啟迪？1．單一增(減)函數(shù)的觀點設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間I?A．假如關(guān)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2．當x1<x2時，都有(1)f(x1)<f(x2)①稱y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)．②I稱為y＝f(x)的增區(qū)間．(2)f(x1)>f(x2)①稱y＝f(x)在區(qū)間I上為減函數(shù)．②I稱為y＝f(x)的減區(qū)間．2．函數(shù)的單一性與單一區(qū)間假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上擁有單一性，增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單一區(qū)間．思慮：在增、減函數(shù)定義中，可否把“任意兩個值x1，x2”改為“存在兩個值x1，x2”？[提示]不可以．如下圖，雖是f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上其實不是單一的．1．思慮辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)全部函數(shù)在定義域上都擁有單一性．()(2)增、減函數(shù)定義中的“任意x1，x2∈D”能夠改為“存在x1，x2∈D”．()(3)若函數(shù)f(x)在實數(shù)集R上是減函數(shù)，則f(0)＞f(1)．()[提示](1)比方二次函數(shù)y＝x2在R上不擁有單一性．一定對全部的都建立才能說明單一．減函數(shù)中自變量越小函數(shù)值越大．[答案]

(1)×

(2)×

(3)√2．函數(shù)

f(x)的圖象如下圖，則函數(shù)的單一遞加區(qū)間是

．[－1,2]

[在區(qū)間

[－1,2]

上，函數(shù)

f(x)的圖象由左至右“上漲”，即在區(qū)間

[－1,2]上，f(x)跟著

x的增大而增大，∴在

[－1,2]

上，f(x)為增函數(shù)．

]3．若函數(shù)

f(x)在R上是減函數(shù)，且

f(a)＞f(b)，則

a與

b的大小關(guān)系是

．a(chǎn)＜b

[由減函數(shù)的定義知

a＜b．]利用函數(shù)圖象求單一區(qū)間【例1】作出以下函數(shù)的圖象，并寫出單一區(qū)間．(1)y＝x2－4；(2)y＝－2；(3)x－22，x≥0，f(x)＝xx＋4，x<0.[思路點撥]在圖象上看從左向右上漲的部分即遞加，從左向右降落的部分即遞減．[解]三個函數(shù)圖象如圖(1)(2)(3)．(1)(2)(3)y＝x2－4的單一遞減區(qū)間為(－∞，0]，遞加區(qū)間為[0，＋∞)．2y＝－x的單一增區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)，無遞減區(qū)間．f(x)的單一增區(qū)間為(－∞，0]，[2，＋∞)，遞減區(qū)間為[0,2]．1．應(yīng)用圖象確立單一性時，應(yīng)掌握各樣基本函數(shù)的圖象的形狀，并能經(jīng)過圖象的“上升”或“降落”趨向來找到函數(shù)的遞加或遞減區(qū)間，但應(yīng)注意端點能否在定義域以內(nèi)．2．當函數(shù)的單一區(qū)間不獨一時，中間用“，”分開，或用“和”連結(jié)，但不可以用“或”和“∪”連結(jié)．[跟進訓練]1．函數(shù)f(x)＝－x2＋|x|(x∈R)的單一遞加區(qū)間為．112－x2＋x，x>0，－∞，－2，0，2[f(x)＝－x＋|x|＝－x2－x，x≤0，圖象如下圖：1f(x)的單一增區(qū)間為－∞，－2，0，2．]函數(shù)單一性的判斷與證明x＋2【例2】用定義證明函數(shù)f(x)＝在(－1，＋∞)上是減函數(shù)．x＋1[思路點撥]解答此題可直接利用函數(shù)單一性的定義來判斷．x1＋2[證明]設(shè)x1，x2是區(qū)間(－1，＋∞)上任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝x1＋1x2＋2x2－x1．－＝212＋1x＋1x＋1x∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，x－x1∴2＞0，即f(x1)＞f(x2)，1＋1x2＋x1x＋2∴y＝x＋1在(－1，＋∞)上是減函數(shù)．用定義證明(判斷)函數(shù)單一性的步驟[跟進訓練]x2＋12．證明函數(shù)f(x)＝x在(1，＋∞)上單一遞加．[證明]12，＋∞)，且12任取x，x∈(1x<x，22＋111x＋1x＝x1＋x1－x2＋x2f(x1)－f(x2)＝x1－x221x1x2－1＝(x1－x2)＋x1x2＝(x1－x2)x1x2．x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0．又x1<x2，∴x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上單一遞加．單一性的應(yīng)用[研究問題]1．怎樣利用函數(shù)的單一性比較兩個函數(shù)值的大小？[提示]先判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單一性，假如函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)，當x1<x2時，則f(x1)<f(x2)，假如f(x)在D上是減函數(shù)，結(jié)論則相反．2．假如已知函數(shù)的單一性和函數(shù)值的大小，可否判斷對應(yīng)自變量的大?。縖提示]能．利用函數(shù)單一性，將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞康拇笮￡P(guān)系，即脫去f符號，轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞康拇笮￡P(guān)系．【例3】已知函數(shù)f(x)是定義在[－2,2]上的增函數(shù)，且f(x－2)<f(1－x)，則x的取值范圍為．[思路點撥]依據(jù)單一性能夠去掉f，還應(yīng)試慮定義域．0，3上的增函數(shù)，且f(x－2)<f(1－x)，[∵f(x)是定義在[－2,2]23x－2<1－x，∴x<．2又f(x)的定義域為[－2,2]，－2≤x－2≤2，∴－2≤1－x≤2，0≤x≤4，3∴－1≤x≤3，∴0≤x≤3，綜上，0≤x<2．]1．利用函數(shù)單一性的定義比較大小，一方面是正向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當x1<x2時，f(x1)<f(x2)，當x1>x2時，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向應(yīng)用，即若y＝()在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當f(x)<(x)時，x<，當f(x)>(x)時，x>x．當12121212y＝f(x)在給定區(qū)間上是減函數(shù)時，同理可得相應(yīng)結(jié)論．2．依據(jù)函數(shù)的單一性研究參數(shù)的取值范圍，常常會依據(jù)函數(shù)在某一區(qū)間上的增減性確定不等式，此經(jīng)常需要將含參數(shù)的變量獨自移到一側(cè)，用變量的范圍推出參數(shù)的范圍．[跟進訓練]3．已知f(x)在R上為減函數(shù)且f(2)≥(9－)，則的取值范圍是．mfmm≤3[由題意可得2≤9－，∴≤3．]mmmm1．對函數(shù)單一性的理解(1)單一性是與“區(qū)間”密切有關(guān)的觀點，一個函數(shù)在定義域的不一樣的區(qū)間上能夠有不同的單一性．單一性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，所以定義中的x1、x2有以下幾個特點：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字絕不可以扔掉，證明單一性時更不行任意以兩個特別值替代；二是有大小，往慣例定x1<x2；三是屬于同一個單一區(qū)間．單一性能使自變量取值之間的不等關(guān)系和函數(shù)值的不等關(guān)系正逆互推，即由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)<f(x2)?x1<x2(x1>x2)．其實不是全部函數(shù)都擁有單一性．若一個函數(shù)在定義區(qū)間上既有增區(qū)間又有減區(qū)間，則此函數(shù)在這個區(qū)間上不擁有單一性．2．單一性的判斷方法定義法：利用定義嚴格判斷．圖象法：作出函數(shù)的圖象，用數(shù)形聯(lián)合的方法確立函數(shù)的單一區(qū)間．用兩個函數(shù)和(差)的單一性的規(guī)律判斷：“增＋增＝增”，“減＋減＝減”，“增－減＝增”，“減－增＝減”．1．以下四個函數(shù)中，在(0，＋∞)上是增函數(shù)的是()12A．f(x)＝－x＋1B．f(x)＝x－3xC．f(x)＝3－xD．f(x)＝－|x|1A[函數(shù)f(x)＝－x＋1的單一遞加區(qū)間是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，明顯在(0，＋233∞)上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)＝x－3x在0，上單一遞減，在，＋∞上單一遞加；函數(shù)22f(x)＝3－x在(0，＋∞)上是減函數(shù)；函數(shù)f(x)＝－|x|在(0，＋∞)上是減函數(shù)，故B、C、D錯誤．]2．已知函數(shù)f(x)的圖象如下圖，則f(x)的單一減區(qū)間為．1，2[由題圖知，f(x)在11，2．]2，2上圖象呈降落趨向，∴單一減區(qū)間為223．若函數(shù)f(x)＝(k－2)x＋b在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍為．(－∞，2)[∵f(x)＝(k－2)x＋b在R上是減函數(shù)，∴k－2＜0，∴k＜2．]14．已知函數(shù)f(x)＝x＋2x＋2，x∈[1，＋∞)．判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上的單一性；(2)解不等式：f2x－1＜f(x＋1010)．2[解](1)設(shè)1≤x1＜x2，11f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－2x12x2x1(x1－x2)＋2x1x2x21＝(x1－x2)1－2x1x22x1x2