數(shù)學(xué)建模課件-初等模型

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2錄像機計數(shù)器的用途2.3雙層玻璃窗的功效2.4汽車剎車距離2.5劃艇比賽的成績2.6實物交換2.7核軍備競賽2.8啟帆遠航2.9量綱分析與無量綱化2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.2

雙層玻璃窗的功效dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁、…損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大2.3

劃艇比賽的成績賽艇2000米成績t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手數(shù)n

16.313.618.114.7對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變問題分析

前進阻力~浸沒部分與水的摩擦力

前進動力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進動力前進阻力漿手數(shù)量

艇重浸沒面積

對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定

運用合適的物理定律建立模型模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積

s,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,漿手數(shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9np

fv模型檢驗nt17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型

t

n

–1/9進行檢驗tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.4

實物交換xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對甲是無差別的，MN將所有與p1,p2無差別的點連接起來，得到一條無差別曲線MN,

線上各點的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，N1M1P3(x3,y3).比MN各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線M1N1上。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。p1.p2.c1y0xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：

單調(diào)減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點)

互不相交在p1點占有x少、y多，寧愿以較多的y換取較少的x;在p2點占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）

雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標(biāo)系x’O’y’,且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因為在AB外的任一點p’,(雙方)滿意度低于AB上的點p兩族曲線切點連線記作ABABp

交換方案的進一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形內(nèi)任一點交換路徑AB雙方的無差別曲線族等價交換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設(shè)交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點的連線CDAB與CD的交點p設(shè)X單價a,Y單價b,則等價交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x2.7

核軍備競賽

冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。

隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。

在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在暫時的平衡狀態(tài)。

當(dāng)一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。

估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。背景以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：

認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；

己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地。摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。模型假設(shè)圖的模型y=f(x)~甲方有x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)x=g(y)~乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)當(dāng)x=0時y=y0，y0~乙方的威懾值xyy00y0~甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)甲安全區(qū)雙方安全區(qū)P~平衡點(雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線精細模型乙方殘存率

s~甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率。sx個基地未摧毀，y–x個基地未攻擊。x<y甲方以x攻擊乙方y(tǒng)個基地中的x個,y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y個被攻擊2次，s2(x–y)個未摧毀；y–(x–y)=2y–x個被攻擊1次，s(2y–x)個未摧毀y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2

a~交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比)x=ay,精細模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0~威懾值s~殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡s變大，y減小，曲線變平a變大，y增加，曲線變陡xy0y0x<y,y=y0+(1-s)xx=yx=2yy<x<2y,

甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)乙方威懾值y0變大xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。（其它因素不變）乙安全線y=f(x)上移模型解釋平衡點PP′

甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進為可移動發(fā)射架乙安全線y=f(x)不變甲方殘存率變大威懾值x0和交換比不變x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y