導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)題的解題技巧_第1頁(yè)
導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)題的解題技巧_第2頁(yè)
導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)題的解題技巧_第3頁(yè)
導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)題的解題技巧_第4頁(yè)
導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)題的解題技巧_第5頁(yè)
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專(zhuān)題十【命題趨向】數(shù)命題趨勢(shì):

導(dǎo)數(shù)題的解題技巧綜觀2007全國(guó)各套高考數(shù)學(xué)題發(fā)對(duì)數(shù)的考查有以下一些知識(shí)類(lèi)型與點(diǎn):.,.12---17.【考點(diǎn)透視】123【例題解析】考點(diǎn)1

導(dǎo)數(shù)的概念.例年京卷)f

f)

13

3x

的導(dǎo)函數(shù),則f

的值是.[考查目本主要考函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計(jì)算等基礎(chǔ)知和能[解答過(guò)]

f

2

f

故填3.例(2006年南)設(shè)函數(shù)

f(x)

xx

,合

{|f)0}

{f

()

,MP,則數(shù)a的值圍是()A.(-,1)B.(0,1)C.(1,+)D.[1,+∞)1

[考查目]本題主要考查數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識(shí)的用能[解答過(guò)]由

當(dāng)時(shí)a;當(dāng)a時(shí),xy

xx

/

x綜上可得

考點(diǎn)2

曲線的切線()關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線求曲線在一點(diǎn)()的切線,即求出函y在P點(diǎn)導(dǎo)數(shù)就曲線在該點(diǎn)的切線的斜()關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時(shí)與曲線相切,則稱(chēng)該直線為兩曲的公切典型例題例3.(年南文)已知函數(shù)值點(diǎn).的最大值;()求2

f(x

113axbx32

在區(qū)間[內(nèi)各一個(gè)極(II)a

時(shí),設(shè)函數(shù)f(x在點(diǎn)Af(1))

處的切線為l,l在點(diǎn)處穿函數(shù)yf)

的圖象(即動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)A近沿曲線yf(x

運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),l的側(cè)入另一側(cè)函數(shù)f()

的表達(dá)式.思啟:求來(lái)求得切線斜率解過(guò)I)因?yàn)楹?/p>

f(x

113axbx32

在區(qū)間[內(nèi)分別有一個(gè)極點(diǎn),所以

fx2ax

在[內(nèi)別有一個(gè)實(shí)根,設(shè)兩實(shí)根為

,x(xxx122

a

.于是a

2

,0

16,且當(dāng)即a,b

時(shí)等號(hào)成立.故

b

的最大值是16.(II)法一:由

知(x)在點(diǎn)(1))

處的切線l的程是(1)f

,即

(1x

2a3

,2

22因?yàn)榍芯€l在f(x))

處空過(guò)()

的圖象,所以

g(f(x)[(1)x

21a]32

在x兩附近的函數(shù)值異號(hào),x

不是g(x

的極值點(diǎn).而g(x

1121ax2bx)a3232

,且

x

)x

x1)(x)

.若

1,則x和x都(x)

的極值點(diǎn).所以

1

,即

a

,又由

2

,得

b

,故

fx)

13

3

2

.解法二:同解法得

g(f()x

2a]313a3(1)[(1xa)]32

.因?yàn)榍芯€l在點(diǎn)A,(1))

處穿過(guò)f()

的圖象,所以g()

在x兩附近的函數(shù)值異號(hào),于是存在

m,m(m21

當(dāng)

m

時(shí),g(x)

,當(dāng)

xm

時(shí),x)

;或當(dāng)

m

時(shí),x),xm

時(shí),(x)

.設(shè)h)

2

1

a

3

,則當(dāng)

m

時(shí),()0,當(dāng)1

時(shí),h()0

;或當(dāng)

m

時(shí),()

,當(dāng)

x

時(shí),()

.由h(1)

x

是h(x)

的一個(gè)極值點(diǎn),

h2

32

,所以

,由a

2

b,f(x

13

3

2

.例(年安卷若曲線

y

的一條切線l

與直線

x

垂直則l

的方程)A.

yy

BD

xyxy[考查目]本題主要考查數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知的應(yīng)用能3

2211//22y2211//22y22[解過(guò)]與直線

xy

垂直的直線l

x

,即

y

在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),而y

,所以

yx

在,1)處數(shù)為,此點(diǎn)的切為

x

.故選A.例.(年慶)過(guò)標(biāo)原點(diǎn)且與x+

x+=0切的直線的方程為()=-3x或=B.=-3xy=-C.y或=-x或y33[考查目]本題主要考查數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能[解答過(guò)程解法1:切線的方程為

ykx0.又

,心為

kk

1,3kk,3y

13

x或y故選A.解法由解法知切點(diǎn)坐標(biāo)為

1(),,22

由,2(y

/

y

/

()

k

/

()

.y,故選A.

x例已知兩拋物

C:y,Cya取值時(shí)C有且只有一條公線1出此時(shí)公切線的思路啟迪對(duì)Cyx,C:y212解答過(guò)程:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為'yxx

2

求導(dǎo)數(shù).,曲線

1

在點(diǎn)

xx11

)處切線方程為)2)(x)1111

,即

yx11

2

①曲線在點(diǎn)()的線方程是122

y224

得方程,2時(shí),得方程,2時(shí),解得1xy

②若直線l過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的切線,則①式和②式都l的程故得x,1

x

,消去

x

2

2x若eq\o\ac(△,=)

2(1)

,即

x

,此時(shí)點(diǎn)P、Q重∴當(dāng)時(shí)

,

和C有且只有一公切線,由①式得公切線方程1

yx

.考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:1..;2.;;;5.典型例題例7年天津卷)函數(shù)

f()

的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)

(a

,導(dǎo)函數(shù)

f

(,)

內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)

f()

在開(kāi)區(qū)間

(,b)

內(nèi)有極小值點(diǎn)()A1個(gè)B2個(gè).3

y

y

D.個(gè)[考查的]本主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)

a

O

b

的應(yīng)用能力[解答過(guò)程由圖象可見(jiàn)在間(內(nèi)的象上有一個(gè)極小值點(diǎn)故選A.例.(2007年國(guó))設(shè)函數(shù)

f(x)

在x時(shí)得值.(Ⅰ)求a、b的;(Ⅱ)若對(duì)于任的x,有(

2

成立,求的值范圍思路啟迪函數(shù)

f(

在及時(shí)取得極值造方程組求ab的值.5

c在,c在,解答過(guò)程Ⅰ)

x

ax

,因?yàn)楹瘮?shù)

f()

在x及x取得極值,則有

f,f

.即

a,a解得

b.(Ⅱ)由(Ⅰ)可,

f(x)xx2x

,f

x

xxx

.當(dāng)

(0

時(shí),

f

;當(dāng)

時(shí),

f

;當(dāng)

時(shí),

f

.所以,當(dāng)

x

時(shí),f()

取得極大值

fc,又f(0)cf(3)

.則當(dāng)

x

f)

的最大值為

f

.因?yàn)閷?duì)于任意的

x

f(x)

恒成立,所以

9

2

,解得

因此的取值范圍為

(

(9

.例函數(shù)

yx

的值域是思路啟迪函的值域是中學(xué)數(shù)中的難點(diǎn)一般可以通過(guò)象觀察或利用不等式性質(zhì)求解也可以用函數(shù)的單調(diào)性求出最大小值此例的形式結(jié)構(gòu)為復(fù)雜采導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。解答過(guò)程:

得,

,即函數(shù)的定義為

[

.y'

2x

,又

2x

x

,

當(dāng)

時(shí),

'

,

函數(shù)

yxx(

上是增函數(shù),而

f(yxx

的值域是

[

.6

在,令處取得極小值,可得在,令處取得極小值,可得例2006年津卷)已知函數(shù)

fcoscos

,其中

,

為參數(shù),且

.()當(dāng)時(shí)

0

,判斷函數(shù)

是否有極值;()要使函數(shù)

f(x)

的極小值大于零求參取值范圍;()若對(duì))中所求的取值范圍內(nèi)的任意參a求實(shí)數(shù)的取值范圍.

,函數(shù)f

在區(qū)間

函數(shù),[考查目]本小題主要考運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性及極值不式等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合分和解決問(wèn)題的能力,以及分類(lèi)論的數(shù)學(xué)思想方[解答過(guò)](Ⅰ)當(dāng)

c

時(shí),

f()x

3,則

f(x(

內(nèi)是增函數(shù),故極(Ⅱ)

f)x

2

x

'(x

,得

cos

.由(Ⅰ需分下面兩種情況①當(dāng)cos

時(shí),隨的變化

f)

的符號(hào)及

f()

的變化情況如下:x

(

0

(0,

)

cos

(

f'(xf()

+↗

0極大值

-↘

0極小值

+↗因此,函數(shù)

f(x)

f()2

,且

13(cos3

.要使

cosf)

,必有

3)cos4

32

.由于

cos

,故6

.②當(dāng)時(shí)

,隨變化,

f)

的符號(hào)及

f()

的變化情況如下:x

(

cos

)

2

(

cos

,0)

0

(0,f'(xf()

+0極大值

-

0極小值

+因此,函數(shù)

f(在

處取得極小值

f(0)

,且

3(0)cos16

f(0)0

,則

.盾所以當(dāng)

時(shí),

f()

的極小值不會(huì)大7

與3),)cos函數(shù)在時(shí)與3),)cos函數(shù)在時(shí),函數(shù)在f(x)0,(x在綜上,要使函數(shù)

f(x)

內(nèi)的極小值大于,參取范圍為

11(,)(226

.(III解:由II)知函數(shù)

f()

在區(qū)間

cos((

內(nèi)都是增函數(shù)。由題設(shè),函數(shù)

f((2a)

內(nèi)是增函數(shù),則a滿(mǎn)足不等式組a

2a12a2

由II數(shù)時(shí)22

32

.使不等式

acos

關(guān)于參數(shù)

恒成立,必有

a

,43

.綜上,解得a或

438

.所以

a

的取值范圍是

([

3

,1)

.例.年?yáng)|設(shè)數(shù)fxax-(+1)ln(x,中a,求f()的單調(diào)區(qū)間[考查目本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法函數(shù)的極值的判,查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)的數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力[解答過(guò)]由已知得函數(shù)

f(x)

的定義域?yàn)?/p>

,且

axx)(()當(dāng)

時(shí),

f(x)0,f(x)(

上單調(diào)遞減,()當(dāng)a時(shí)由

f

()

解得

xf

()

、

f()

的變化情況如下f'(xfx

(—

0極小值

(+從上表可知當(dāng)

)

上單調(diào)遞減當(dāng)

x1,,f(函f(x)在(

上單調(diào)遞增綜上所述:當(dāng)

時(shí),函數(shù)

f(x

上單調(diào)遞減8

(1,2)-1),(1,2)-1),+即當(dāng)

a

時(shí),函數(shù)

f(x)

)

上單調(diào)遞減,函

f(x)

(,

上單調(diào)遞增例12年京卷)知函數(shù)

f(x)

在點(diǎn)

x

0

處取得極大值,導(dǎo)函數(shù)(Ⅰ)x的值0

yf)

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),,如所求:(Ⅱ)

ab

的值[考查的]本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函的極值的判定區(qū)間上二次函數(shù)最值函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)識(shí)的綜合應(yīng),考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)的數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力[解答過(guò)]解法一由圖像可知,

f'

,在

f'

x

,在

上f'

,故

f(x)

在上增在上遞減,因此f

處取得極大值,以x0(Ⅱ)

f

(

bx由

1=0,2)0,1)5,b0,得

解得

解法二)同解法一(Ⅱ)設(shè)

f

()2)

m又

f(),所以

mcf()

m3xmxmx由

f

m3m5,2

所以b例132006年北卷)設(shè)x3是函數(shù)f

的一個(gè)極值.(Ⅰ)求b

的關(guān)系式(用表b

求f

的單調(diào)區(qū)間;9

2323323233232332323331322(Ⅱ)設(shè),

x

.存在

[考查目]本小題主要考函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決題的能[解答過(guò)](Ⅰ)f`(x)=-[

+-x+b]

x

,由`(3)=0,得-[3+(-2)3-a]=0,即得=-32,則f`(x)=+(-x-a-a]=-[+(a-2)-3-3a]e

=-(-)(x+a+1)e令=0得=或=--,由于是極值點(diǎn),12所以x+a+1≠,那么a≠-當(dāng)a<4時(shí)x>3=,則2在區(qū)間(-∞3上,f<0,f(x)為函數(shù);在區(qū)間3,――)上,f`(x)>0f為增函數(shù);在區(qū)間(――,+∞),,(x)為減函數(shù).當(dāng)a>4時(shí)x<3=,則2在區(qū)間(-∞,―1)上,f<0,f為減函數(shù);在區(qū)間(――,)上,`(x)>0f(x)為增函數(shù);在區(qū)間3,+∞)上,`(x),(x)減函數(shù).(Ⅱ)由(Ⅰ),當(dāng)a>0時(shí)f(x)在區(qū)間(0)上的單調(diào)遞增,在區(qū)間3)上單調(diào)遞減,那么(x)在間0,4]上的值域是min(f(0)f(4)),f(3)],而(0)=-2+)ef(4)=(a+13)>0,(3)+6,那么f在區(qū)間[0,上的值域是[(a3,+6].又

(x

在區(qū)間[,上是增函數(shù),且它在區(qū)間[,4]的值域是[++)e],10

122f122f由于(

2

)-(+6)a

-+=()

≥0,所以只須僅須(

2

)-(+6)且a>0,解得<

.2故取值范圍是0,)例14(年全二)已知函數(shù)

f)

13

32)x在

x

處取得極大值,

處取得極小值,

x2

.()證明

;()若=b求的值范圍[解答過(guò)]求函數(shù)fx)

的導(dǎo)數(shù)

fax2bx

.(Ⅰ)由函數(shù))在x

處取得極大值,

處取得極小值,

,x是f2

的兩個(gè)根.所以

f(x)(x)當(dāng)

x時(shí),f()

為增函數(shù),

,由x,x得.2(Ⅱ)在題設(shè)下

x2等于即

bb

.化簡(jiǎn)得

ba

.此不等式組表示區(qū)域?yàn)槠矫嫔先本€:

,a

.所圍成的

△ABC

6的內(nèi)部,其三個(gè)點(diǎn)分別為:A,,(2.7

在這三點(diǎn)的值依為

167

b所以

的取值范圍為.

11

B(22(41A,7O24

a

222322233小結(jié)本題的新穎之處在把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與線性規(guī)劃有機(jī)結(jié)合.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用建立函數(shù)模型利用典型例題例(年慶文)用長(zhǎng)為的條圍成個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架,要求長(zhǎng)體的長(zhǎng)與寬之比為:,問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、各為多少時(shí),其體積最大?最體積是多少?[考查目]本小題主要考函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決際問(wèn)題的能力.[解答過(guò)]設(shè)長(zhǎng)方體的寬為(m長(zhǎng),高為

(m)

.故長(zhǎng)方體的體積V())(m)

x從而Vxx

2

(4.5x)).令′()0,解得x=0(舍去)或,因此=1.當(dāng)<<時(shí),V′()0當(dāng)<<

時(shí)′)<,故在=1處V()取得極大值,并且這個(gè)大值就是V()的最大值。從而最大體積=′)=××(時(shí)方體的長(zhǎng)為2,高為1.5m.答:當(dāng)長(zhǎng)方體的為時(shí)寬為,高為1.5m時(shí)體積最大,最大體積為。例162006年建卷)統(tǒng)計(jì)明,某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y()關(guān)于行駛速度x(米小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為:y

3xxx80

已知甲、乙兩地距千()當(dāng)汽車(chē)以千米/小時(shí)的速度勻速行駛,從甲地到乙地要耗油多少?12

(II)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少?最少為少升?[考查目]本小題主要考函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決際問(wèn)題的能力.[解答過(guò)](I當(dāng)

x

時(shí),汽車(chē)從甲地乙地行駛了小,要耗沒(méi)

4017.5

(升)答:當(dāng)汽車(chē)以千米小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油升(II)速度為x千米/時(shí)時(shí),汽車(chē)從甲地乙地行駛了小時(shí),設(shè)耗油量為)x

升,依題意得

10015(x)xx8).x(0120),x1280xx)(0xx640令

hx)0,

x當(dāng)

x

時(shí),

'(x0,(

是減函數(shù);當(dāng)

x

時(shí),

h'(x)(x)

是增函數(shù)當(dāng)x時(shí),(x

取到極小值

(80)11.25.因?yàn)?/p>

(x

在上有一個(gè)極值,所以它是最小.答:當(dāng)汽車(chē)以千米小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少最少為.13

,,訓(xùn)考一、選擇題1.=cos(sin),則′(0)于()A.0

B.1

C.-D.22.經(jīng)原點(diǎn)且與曲y=A.+=0或+=0

xx

相切的方程()B.-=0或x+=0C.+=0或-=0D.-=0或-=0

3.設(shè)f()可導(dǎo)且′(0)=0,又

lim

f

x

=-1,f)A.可不是f()的極值C.一是()的極小值

B.一是()極值D.等4.設(shè)數(shù)(x)=x

(1-(為正整數(shù),則f(x在0,1]上的大值()A.0B.1

C.

)

D.

)

5、數(shù)y=(x-1)+1在x=-1處A、有極大值、無(wú)極值、有極小值D、無(wú)法確定極值情6.f(x)=ax+3x+2,’(-1)=4,a=()A、

10

B、

13

16

D、

193

37.過(guò)物線y=x上的點(diǎn)(1)切線的傾斜角()2A、30

B45

C、60

D、908.函f(x)=x-6bx+3b在0,)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是)A1)B∞1)C,+∞)D,)214

54302a002p+54302a002p+9.函y=x[

3,22

]上的最小值()A、

B、1

C、

D、

10、f(x)=x+ax+bx+c,且f(0)=0為函數(shù)的極值,()A、≠、當(dāng)a>0時(shí),f(0)為極大值C、b=0、當(dāng)a<0時(shí)f(0)為極小值11、知函數(shù)+36x-24在x=2處有極值,則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間()A

B

+

D3126x+10x()A2B3CD5f()=2,

lim

f(x)()k

f(xx+1)(+2)(xnffx)=log+5x2)(a01)________.RCx+2x,l=,lC(,)(

0)lf(x)=p

x

2

(p)[1].xy=a(1)y=(+3)2

;(2)y=

3

1

.5mm/s

15

2222nn*320000000=32222nn*320000000=3xx+n1

x).f(x+afx)=a+bx+.(1)(2)x=1,f().abbae,e

bba

.22=0α(β

f()=

4

.(1)f()()(2)fx)β(3)fxβ答sinxcosx)cosxx(0)=0B

0)=1.2.(y),=

yx

,)=

(x

2

,′()=,

(

(x

2+18x

=3,y

=

0

0

,A(3

((A)=5

(5)

=1′(B

(25

,l:l:=

.A3.

lim

x

=

0(a)(a,

x

(,0)f(0)0,x(0,bf(0)f()(,0)).16

2nn2123nn222)2aa22nn2123nn222)2aa2B4.f()=2xnx)n3)

=nx-1),f′

n

(x=0,=,f()x=2f2

()=n()(122)(

.D5B、A7B8、D9、10、、C13.f(0

)=

lim

f()

()

lim

()f(x)(x)f(x)[22

]

1f(x)f(x)lim2

)1()=(x+1)(x+2)x+nf()=((x)=)+xg(),f(0)=n=nn!

f()=loge

.(3

x=

(65)x

,a1,loge0,6x+50,(31)(xf()0,f()(1,+)32f()fx(2)1,x1f()fx)(133fx)f)(,2)

,+)x22x,h+=+

,=hRh17

000000000000200000000000000200=x=

(2Rh)),

)(2Rh

)

(2)(6

(3R)(2R)h

.Sh

R(0,2Rh

(0,R)

R

(,2R)′

+0

x2

R.2

R17.lk=

yx

(0

yCy=x

3x,00

yx

=x0

2x+2,6xxx

=

yx

,x+2=x3x3x=0

=

.0,=02y0

=(

3)+23=3=y2x

.l=1

(

3

).42

f'(x)

x(1x)

(2p)x]

,f

x=

,p[

f(

2))22

.

[f(x)]

p2p

)

.xy18

10222

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