2019-2020人教B版數(shù)學(xué)必修2第2章2.22.2.4點(diǎn)到直線的距離

2.2.4點(diǎn)到直線的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過點(diǎn)到直線的距離公式的推1.掌握點(diǎn)到直線的距離公式并能靈活運(yùn)導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素用此公式解決距離問題．(重點(diǎn))養(yǎng)．2．會(huì)求兩條平行直線的距離．(重點(diǎn))2．借助點(diǎn)到直線的距離公式與兩3．點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)．(難點(diǎn))平行線間的距離公式，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1．點(diǎn)到直線的距離(1)概念過一點(diǎn)向直線作垂線，則該點(diǎn)與垂足之間的距離，就是該點(diǎn)到直線的距離．(2)公式|Ax0＋By0＋C|A2＋B2點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.2．兩平行線間的距離公式(1)概念?yuàn)A在兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng)度就是兩條平行直線間的距離．(2)求法兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．(3)公式兩條平行直線l：Ax＋By＋C11＝0與l：Ax＋By＋C22＝0之間的距離d＝|C1－C2|A2＋B2.1．原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離是()A．2B．3C．2D.5D[由點(diǎn)到直線的距離公式得|0＋0－5|d＝＝5.]12＋222．兩平行直線x＋y＋2＝0與x＋y－3＝0的距離等于()52A．22B．2C．52D．2A[由兩平行線間的距離公式可得|2－－3|552d＝＝＝.]212＋1223．已知點(diǎn)(3，m)到直線x＋3y－4＝0的距離等于1，則m等于()A．3B．－333C．－3D．3或－3|3＋3m－4|＝1，解得m＝3或－33.]D[由點(diǎn)到直線的距離公式得12＋324．兩直線3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距離等于()A．3B．71C．101D．25C[直線6x＋8y－5＝0化為3x＋4y－＝0.2故兩直線平行，且兩直線間的距離為：51－2＋22151032＋42d＝＝＝.]點(diǎn)到直線的距離【例1】求過點(diǎn)A(－1,2)，且與原點(diǎn)的距離等于22的直線方程．[解]因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)A(－1,2)，且斜率存在，所以設(shè)直線方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離等于22，所|k＋2|2以＝2，k2＋－12解得k＝－7或k＝－1.故直線方程為x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.點(diǎn)到直線的距離的求解方法1．求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．2．對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.3．若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．1．求點(diǎn)P(3，－2)到下列直線的距離：31(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.4431[解](1)直線y＝x＋化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式44可得|3×3－4×－2＋1|18d＝＝.532＋－42(2)因?yàn)橹本€y＝6與y軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d＝|－2－6|＝8.(3)因?yàn)橹本€x＝4與x軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d＝|3－4|＝1.兩條平行線間的距離【例2】直線l1過點(diǎn)A(0,1)，l2過點(diǎn)B(5,0)，如果l∥l，且l112與l2的距離為5，求直線l1與l2的方程．[思路探究]先設(shè)出l、l12的方程，利用兩條平行線間的距離公式求解，但注意直線斜率的討論．[解]當(dāng)l，l12的斜率不存在，即l：x＝0，l：x＝51時(shí)，滿足條件．2當(dāng)l、l12的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝kx＋1，即1kx－y＋1＝0，|1－－5k|l：2y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由兩條平行直線間的距離公式得k2＋－12＝5，解得k＝125.此時(shí)l：12x－5y＋5＝0，l：12x－5y－60＝0.12綜上所述，所求直線l，l12的方程為l：x＝0，l：x＝5或l：12x－5y＋5112＝0，l：12x－5y－60＝0.2求兩平行線間距離一般有兩種方法1．轉(zhuǎn)化法：將兩平行線間的距離轉(zhuǎn)化為其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．由于這種求法與點(diǎn)的選擇無關(guān)，因此，選點(diǎn)時(shí)，常選取一個(gè)特殊點(diǎn)，如直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，以便于運(yùn)算．|C1－C2|A2＋B22．公式法：直接用公式d＝，但要注意兩直線方程中x，y的系數(shù)必須分別相同．2．與直線2x＋y＋1＝0的距離等于55的直線方程為()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0D[根據(jù)題意可設(shè)所求直線方程為2x＋y＋c＝0，因?yàn)閮芍本€間的距離等于55，所以d＝|c－1|5＝5，22＋12解得c＝0或c＝2.故所求直線方程為2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.]距離公式的綜合應(yīng)用[探究問題]1．兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.你能求出d的取值范圍嗎？[提示]如圖，顯然有0<d≤|AB|.而|AB|＝6＋3＋2＋1＝310.22故所求的d的變化范圍為(0,310]．2．上述問題中，當(dāng)d取最大值時(shí)，請(qǐng)求出兩條直線的方程．[提示]由上圖可知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線與AB垂直．2－－11而kAB＝＝，6－－33∴所求直線的斜率為－3.故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.【例3】在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大．[思路探究]點(diǎn)到直線的距離的最值問題可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題、共線問題．[解]如圖所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(a，b)，則kBB·kl′＝－1，b－4即3·＝－1.a所以a＋3b－12＝0.①又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，且在直線l上，所以3×2a－2ab＋422b＋4－1＝0.即3a－b－6＝0，②y－1x－4解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3,3)．于是AB′的方程為＝，即3－13－42x＋y－9＝0.3x－y－1＝0，x＝2，所以由解得2x＋y－9＝0，y＝5.即直線l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5)．所以點(diǎn)P(2,5)為所求．在本例中，求到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小的P點(diǎn)的坐標(biāo)？[解]如圖所示，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)為324，.55所以AC′所在直線的方程為19x＋17y－93＝0，1126AC′和l的交點(diǎn)坐標(biāo)為，.771126故P點(diǎn)坐標(biāo)為，為所求．77求最值問題的處理思路1．利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題．2．利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．3．利用距離公式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題．1．本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握點(diǎn)到直線的距離公式，能用公式求點(diǎn)到直線的距離，會(huì)求兩條平行直線間的距離．難點(diǎn)是能用公式求點(diǎn)到直線的距離．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)點(diǎn)到直線的距離的求解方法，(2)求兩平行直線間的距離有兩種思路，(3)待定系數(shù)法求解有關(guān)距離問題的方法．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是求兩條平行線間距離時(shí)易用錯(cuò)公式．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離公式仍適用．())(2)點(diǎn)P(x0，y0)到與x軸平行的直線y＝b(b≠0)的距離d＝y(tǒng)0－b.(|m－2n|(3)兩直線x＋y＝m與x＋y＝2n的距離為.()2[答案](1)√(2)×(3)√[提示](1)正確．(2)應(yīng)是d＝|y0－b|.(3)正確．2．點(diǎn)(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離是()A．322A[d＝B．22C．32D．12|1＋1＋1|＝32.]21＋－1223．分別過點(diǎn)A(－2,1)和點(diǎn)B(3