高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理12排列與組合122第2課時(shí)組合的綜合應(yīng)用3數(shù)學(xué)教案

第2課時(shí)組合的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心修養(yǎng)1.學(xué)會(huì)運(yùn)用組合的觀點(diǎn)，剖析簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．(要點(diǎn))經(jīng)過(guò)組合解決實(shí)質(zhì)問(wèn)題，提高邏輯推理2.能解決無(wú)窮制條件的組合問(wèn)題．(難和數(shù)學(xué)運(yùn)算的修養(yǎng).點(diǎn))組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)【例1】計(jì)算：3333(1)C4＋C5＋C6＋＋C10；(2)(C98973.100101100[思路點(diǎn)撥](1)利用組合數(shù)的公式及性質(zhì)，逐個(gè)進(jìn)行證明或計(jì)算．中擺列數(shù)公式和組合數(shù)公式的綜合運(yùn)用．[解]3333(1)C4＋C5＋C6＋＋C10433＋＋C344333－1＝C44510455610＝＝C4－1＝329.11(2)(C9897)÷A3＝(C2＋C3)÷A3＝C3÷A3＝1100100101100100101101101m組合數(shù)公式Cmn＝Anm表現(xiàn)了組合數(shù)與相應(yīng)擺列數(shù)的關(guān)系，一般在計(jì)算詳細(xì)的組合數(shù)時(shí)會(huì)Am用到.組合數(shù)公式Cnm＝n！的主要作用有：n－m！m！計(jì)算m，n較大時(shí)的組合數(shù)；2對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和證明nmm.,特別地，當(dāng)m>時(shí)計(jì)算Cn，用性質(zhì)Cn2＝Cnn－m轉(zhuǎn)變，減少計(jì)算量.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3n＋64n－2.1．解方程C18＝C18[解]由原方程及組合數(shù)性質(zhì)可知3n＋6＝4n－2或3n＋6＝18－(4n－2)，解得n＝8或n＝2.而當(dāng)n＝8時(shí)，3n＋6＝30>18，不切合組合數(shù)的定義，故舍去．所以n＝2.有限制條件的組合問(wèn)題【例2】課外活動(dòng)小組共13人，此中男生8人，女生5人，而且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依以下條件各有多少種選法？起碼有一名隊(duì)長(zhǎng)入選；至多有兩名女生入選；既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生入選．[解]1423(1)起碼有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩種狀況：有一名隊(duì)長(zhǎng)和兩名隊(duì)長(zhǎng)，故共有C2·C11＋C2·C11＝825種．或采納清除法有55C1311－C＝825種．(2)至多有兩名女生含有三種狀況：2358145·C＋C＝966種．分兩種狀況：第一類：女隊(duì)長(zhǎng)入選，有4C12種；第二類：女隊(duì)長(zhǎng)不入選，1322314有C474747441322314故共有C124747474種．＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790在本例條件下，至多有1名隊(duì)長(zhǎng)被選上的方法有多少種？[解]分兩類狀況：第一類：沒(méi)有隊(duì)長(zhǎng)被選上，從除掉兩名隊(duì)長(zhǎng)以外的11名學(xué)生中選用5人有C511＝462種選法．第二類：一名隊(duì)長(zhǎng)被選上，分女隊(duì)長(zhǎng)被選上和男隊(duì)長(zhǎng)被選上，不一樣的選法有：44C1111＋C＝660種選法．所以致多有1名隊(duì)長(zhǎng)被選上的方法有462＋660＝1122種．常有的限制條件及解題方法1．特別元素：若要選用的元素中有特別元素，則要以有無(wú)特別元素，特別元素的多少作為分類依照．2．含有“至多”“起碼”等限制語(yǔ)句：要分清限制語(yǔ)句中所包含的狀況，能夠此作為分類依照，或采納間接法求解．3．分類議論思想：解題的過(guò)程中要擅長(zhǎng)利用分類議論思想，將復(fù)雜問(wèn)題分類表達(dá)，逐類求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某地域發(fā)生了特別重要鐵路交通事故，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴事故現(xiàn)場(chǎng)急救傷員，此中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問(wèn)：抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？起碼有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？[解](1)分步：第一從4名外科專家中任選24人中選用42446＝90種抽調(diào)方法．種選法，所以共有C·C“起碼”的含義是不低于，有兩種解答方法，法一：(直接法)：按選用的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家，共有24C4·C6種選法；②選3名外科專家，共有33C4·C6種選法；③選4名外科專家，共有42C4·C6種選法；依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有243342644646法二：(間接法)：不考慮能否有外科專家，共有C106種選法，考慮選用1名外科專家參15666·C種選法；沒(méi)有外科專家參加，有C種選法，所以共有：6156＝185種抽調(diào)方法．10466“至多2名”包含“沒(méi)有”、“有1名”、“有2名”三種狀況，分類解答．①?zèng)]有外科專家參加，有C6種選法；6②有1名外科專家參加，有15種選法；C4·C6③有2名外科專家參加，有24C4·C6種選法．61524＝115種抽調(diào)方法.＋C·C＋C·C分組(分派)問(wèn)題[研究問(wèn)題]1．把3個(gè)蘋果均勻分紅三堆共有幾種分法？為何？[提示]共1種分法．由于三堆無(wú)差異．2．若把3個(gè)不一樣的蘋果分給三個(gè)人，共有幾種方法？3[提示]共有A3＝3×2×1＝6種分法．【例3】6本不一樣的書，按以下要求各有多少種不一樣的選法：分給甲、乙、丙三人，每人兩本；分為三份，每份兩本；分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；分給甲、乙、丙三人，每人起碼一本．[思路點(diǎn)撥](1)是均勻分組問(wèn)題，與次序沒(méi)關(guān)，相當(dāng)于6本不一樣的書均勻分給甲、乙、丙三人，能夠理解為一個(gè)人一個(gè)人地來(lái)取，(2)是“均勻分組問(wèn)題”，(3)是分組問(wèn)題，分三步進(jìn)行，(4)分組后再分派，(5)明確“起碼一本”包含“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．[解](1)依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理獲得：222種．C6C4C2＝90(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有222642步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、3種乙、丙三名同學(xué)有A3222方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：2223C6C4C2C642＝xA3x＝3＝15.所以分為三份，每A3份兩本一共有15種方法．(3)這是“不均勻分組”問(wèn)題，一共有123653(4)在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全擺列，所以一共有1233＝360種方法．6533222＝90種方法；(5)能夠分為三類狀況：①“2、2、2型”即(1)中的分派狀況，有C6C4C2②“1、2、3型”即(4)中的分派狀況，有1233種方法；③“1、1、4型”，有C6C5C3A3＝36043＝90種方法．所以一共有90＋360＋90＝540種方法．63分組問(wèn)題屬于“組合”問(wèn)題，常有的分組問(wèn)題有三種：1完整均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等.2部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后一定除以n！.3完整非均勻分組，這類分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．將4名大學(xué)生疏派到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)起碼一名，則不一樣的分派方案有________種(用數(shù)字作答)．21136[分兩步達(dá)成：第一步，將4名大學(xué)生按2,1,1分紅三組，其分法有C4·C2·C1種；第A22211二步，將分好的三組分派到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有3C4·C2·C13A3種．所以知足條件的分派方案有A22·A336(種)．]1．適合利用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化．2．關(guān)于含有限制條件的組合問(wèn)題，要合理分類、必需時(shí)可用間接法．3．關(guān)于分組問(wèn)題應(yīng)注意防止計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏，關(guān)于分派問(wèn)題解題的要點(diǎn)是要搞清楚事件能否與次序相關(guān)．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)123(m≥2且m∈N*)．()m＋1mm(2)從4名男生3名女生中任選2人，起碼有1名女生的選法共有11種．26()(3)把4本書分紅3堆，每堆起碼一本共有2()C4種不一樣分法．[答案](1)×(2)×(3)√2．某施工小組有男工7名，女工3名，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去增援另一施工小組，不一樣的選法有()33A．C10種B．A10種12123737D[每個(gè)被選的人都無(wú)次序差異，是組合問(wèn)題．分兩步達(dá)成：第一步，選女工，有1C3種選法；第二步，選男工，有212C737種不一樣的選法．]種選法．故共有CCx2x－43．方程C14＝C14的解為________．x＝C2x－414144．高二(1)班共有35名同學(xué)，此中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動(dòng)．此中某一女生一定在內(nèi)，不一樣的取法有多少種？此中某一女生不可以在內(nèi)，不一樣的取法有多少種？恰有2名女生在內(nèi)，不一樣的取法有多少種？起碼有2名女生在內(nèi)，不一樣的取法有多少種？至多有2名女生在內(nèi)，不一樣的取法有多少種？[解](1)從余下的34名學(xué)生中選用2名，有C2＝561(種)．34∴不一樣的取法有561種．(2)從34名可選學(xué)生中選用3名，有C3種．34323或許C353434種．－C＝C＝5984∴不一樣的取法有5984種．(3)從20名男生中選用1名，從15名女生中選