考點(diǎn)05方程與方程組（原卷版）

考點(diǎn)05方程與方程組課標(biāo)對(duì)考點(diǎn)的要求對(duì)方程與方程組問(wèn)題，中考命題需要滿足下列要求：（1）能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。（2）經(jīng)歷估計(jì)方程解的過(guò)程。（3）掌握等式的基本性質(zhì)。（4）能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程。（5）掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組。（6）能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組（選學(xué)，不做考試要求）。（7）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。（8）會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等。（9）了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（不要求應(yīng)用這個(gè)關(guān)系解決其他問(wèn)題）。（10）能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理。重要問(wèn)題解題思維方法總結(jié)一、解與列一元一次方程的一般步驟1.解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母。在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，依據(jù)等式基本性質(zhì)2，注意防止漏乘（尤其整數(shù)項(xiàng)），注意添括號(hào)。（2）去括號(hào)。一般先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，依據(jù)去括號(hào)法則、分配律，注意變號(hào)，防止漏乘。（3）移項(xiàng)。把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊(記住移項(xiàng)要變號(hào))，依據(jù)等式基本性質(zhì)1，移項(xiàng)要變號(hào)，不移不變號(hào)。（4）合并同類項(xiàng)。把方程化成ax＝b(a≠0)的形式，依據(jù)合并同類項(xiàng)法則，計(jì)算要仔細(xì)，不要出差錯(cuò)。（5）系數(shù)化為1。在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x＝b/a,依據(jù)等式基本性質(zhì)2，計(jì)算要仔細(xì)，分子分母勿顛倒。說(shuō)明：理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用:①a≠0時(shí)，方程有唯一解x＝b/a；②a=0，b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解；③a=0，b≠0時(shí)，方程無(wú)解。2.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審—審題：認(rèn)真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系。（2）設(shè)—設(shè)出未知數(shù)：根據(jù)提問(wèn)，巧設(shè)未知數(shù)．（3）列—列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，利用等量關(guān)系寫出等式，即列方程。（4）解—解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．（5）答—檢驗(yàn)，寫答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫出答案，注意帶上單位。二、解與列二元一次方程組的一般步驟將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。（1）代入消元：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。（2）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。2.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟（1）審：有什么，求什么，干什么；（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)，并注意單位；（3）找：等量關(guān)系；（4）列：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)；（5）解：解方程(組)．（6）驗(yàn)：檢驗(yàn)方程(組)的解是否符合實(shí)際題意．（7）答：完整寫出答案(包括單位)．注意：找出相等關(guān)系“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”.有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等三、解分式方程方法1．分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。（1）去分母(方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母,將分式方程化為整式方程);（2）按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，原分式方程無(wú)解；若不等于零，就是原方程的根。四、解與列二元一次方程組的一般步驟1．一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)方法：適用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法：套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：①將已知方程化為一般形式；②化二次項(xiàng)系數(shù)為1；③常數(shù)項(xiàng)移到右邊；④方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無(wú)實(shí)根．（3）公式法：當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根可寫為：的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。其中：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。①Δ=b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。，②Δ=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。③Δ=b2-4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系；第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個(gè)量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)；第3步：列方程。根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列出方程；第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法；第5步：檢驗(yàn)。檢驗(yàn)所求得的根是否滿足題意。第6步：答。中考典例解析【例題1】（2021山東東營(yíng)）某玩具商店周年店慶，全場(chǎng)八折促銷，持會(huì)員卡可在促銷活動(dòng)的基礎(chǔ)上再打六折．某電動(dòng)汽車原價(jià)300元，小明持會(huì)員卡購(gòu)買這個(gè)電動(dòng)汽車需要花（）元．A．240 B．180 C．160 D．144【例題2】（2021齊齊哈爾）周末，小明的媽媽讓他到藥店購(gòu)買口罩和消精濕巾，已知口罩每包3元，酒精濕巾每包2元，共用了30元錢（兩種物品都買），小明的購(gòu)買方案共有（）A.3種 B.4種 C.5種 D.6種【例題3】（2021湖南邵陽(yáng)）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問(wèn)題，原文如下：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是：幾個(gè)人一起去購(gòu)買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．問(wèn)有多少人，物品的價(jià)值是多少？該問(wèn)題中物品的價(jià)值是錢．【例題4】（2021廣西來(lái)賓）解分式方程：x【例題5】（2021齊齊哈爾）解方程：．【例題6】（2021吉林長(zhǎng)春）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（）A．8 B．9 C．10 D．11【例題7】（2021山東東營(yíng)）“雜交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo)．（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長(zhǎng)率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)．考點(diǎn)問(wèn)題綜合訓(xùn)練一、選擇題1．（2021浙江溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號(hào)正確的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x2.（2020?重慶）解一元一次方程12（x+1）＝1-1A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x3.（2020?內(nèi)江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問(wèn)題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長(zhǎng)x尺．則符合題意的方程是（）A．12x＝（x﹣5）﹣5 B．12x＝（xC．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+54．（2021湖南益陽(yáng)）解方程組時(shí)，若將①﹣②可得（）A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1 C．4y＝1 D．4y＝﹣15．（2021新疆）某校舉行籃球賽，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分．八年級(jí)一班在16場(chǎng)比賽中得26分．設(shè)該班勝x場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng)，則根據(jù)題意，下列方程組中正確的是（）A．B． C．D．6.（2021廣西來(lái)賓）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步問(wèn)：人與車各幾何？譯文：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行，問(wèn)：人與車各多少？設(shè)有x輛車，人數(shù)為y，根據(jù)題意可列方程組為（）A.y=3x-2y=2x+9 B.y=3(x-2)y=2x+97.（2022湖南邵陽(yáng)模擬）某出租車起步價(jià)所包含的路程為，超過(guò)的部分按每千米另收費(fèi)．津津乘坐這種出租車走了，付了16元；盼盼乘坐這種出租車走了，付了28元．設(shè)這種出租車的起步價(jià)為元，超過(guò)后每千米收費(fèi)元，則下列方程正確的是A． B． C． D．8.（20122哈爾濱模擬）方程＝的解為（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9.（2020?齊齊哈爾）若關(guān)于x的分式方程3xx-2A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣610.（2020?長(zhǎng)沙）隨著5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，市場(chǎng)對(duì)5G產(chǎn)品的需求越來(lái)越大，為滿足市場(chǎng)需求，某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)30萬(wàn)件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬(wàn)件產(chǎn)品所需時(shí)間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬(wàn)件產(chǎn)品所需時(shí)間相同．設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬(wàn)件產(chǎn)品，依題意得（）A．400x-30=C．400x=50011．（2021新疆）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解為（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣312．（2021江蘇鹽城）設(shè)x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根，則x1+x2的值為（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．313.（2020貴州黔西南）已知關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m＜2 B.m≤2 C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠114.（2020?衡陽(yáng)）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開(kāi)辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600二、填空題1．（2021浙江紹興）我國(guó)明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩；若每人9兩，則差8兩．銀子共有兩．2.（2020?岳陽(yáng)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》上有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十．今將錢三十，得酒二斗．問(wèn)醇、行酒各得幾何？”其大意是：今有醇酒（優(yōu)質(zhì)酒）1斗，價(jià)值50錢；行酒（劣質(zhì)酒）1斗，價(jià)值10錢．現(xiàn)用30錢，買得2斗酒．問(wèn)醇酒、行酒各能買得多少？設(shè)醇酒為x斗，行酒為y斗，根據(jù)題意，可列方程組為．3.（2021齊齊哈爾）若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是_________．4．（2021山東東營(yíng)）某地積極響應(yīng)“把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動(dòng)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型”發(fā)展理念，開(kāi)展荒山綠化，打造美好家園，促進(jìn)旅游發(fā)展．某工程隊(duì)承接了90萬(wàn)平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來(lái)，實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了25%，結(jié)果提前30天完成了任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為x萬(wàn)平方米，則所列方程為．5.（2022湖北黃石模擬）分式方程：﹣＝1的解為．6.（2022四川巴中模擬）若關(guān)于x的分式方程+＝2m有增根，則m的值為．7．（2021湖北黃岡）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可以是．（寫出一個(gè)即可）8．（2021長(zhǎng)春）若關(guān)于x的一元二次方程3x2﹣2x﹣k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為．9．（2020?天水）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，第三邊長(zhǎng)是方程x2﹣8x+12＝0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為．10．（2020?揚(yáng)州）方程（x+1）2＝9的根是．11．（2021江蘇鹽城）勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過(guò)程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種作物的產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)從300千克增加到363千克．設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為．三、解答題1．（2021哈爾濱）方程＝的解為（）A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝22.解方程：（1）4﹣x=3（2﹣x）；（2）．3.（2020?杭州）以下是圓圓解方程x+12-x-33=1的解答過(guò)程．解：去分母，得3（x去括號(hào)，得3x+1﹣2x+3＝1．移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x＝﹣3．圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫出正確的解答過(guò)程．4．（2020?連云港）解方程組2x+4y=55.（2021呼和浩特）解方程組．6．（2020?江西）放學(xué)后，小賢和小藝來(lái)到學(xué)校附近的地?cái)偵腺?gòu)買一種特殊型號(hào)的筆芯和卡通筆記本，這種筆芯每盒10支，如果整盒買比單支買每支可優(yōu)惠0.5元．小賢要買3支筆芯，2本筆記本需花費(fèi)19元；小藝要買7支筆芯，1本筆記本需花費(fèi)26元．（1）求筆記本的單價(jià)和單獨(dú)購(gòu)買一支筆芯的價(jià)格；（2）小賢和小藝都還想再買一件單價(jià)為3元的小工藝品，但如果他們各自為要買的文具付款后，只有小賢還剩2元錢．他們要怎樣做才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品，請(qǐng)通過(guò)運(yùn)算說(shuō)明．7.（2022年山東煙臺(tái)模擬）亞洲文明對(duì)話大會(huì)召開(kāi)期間，大批的大學(xué)生志愿者參與服務(wù)工作．某大學(xué)計(jì)劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去會(huì)場(chǎng)，若單獨(dú)調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒(méi)有座位；若只調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個(gè)座