數(shù)值分析非線性方程求解

數(shù)值分析非線性方程求解阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-1第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-2第八章

非線性方程求解目錄

§1對分法§2迭代法

2.1迭代法的基本思想2.2迭代法的收斂條件2.3Steffensen方法——簡單迭代

法的加速§3Newton法與弦截法3.1Newton法3.2弦截法§4拋物線法第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-3第八章

非線性方程求解概述

很多科學(xué)計(jì)算問題常常歸結(jié)為求解方程：

第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-4非線性方程求解概述(續(xù)）例如，從曲線y=x和y=lgx的簡單草圖可看出方程lg

x+x=0有唯一的正根x*，但是沒有求x*的準(zhǔn)確值的已知方法，即使是對代數(shù)方程，要求其精確解也是困難的。對于二次方程ax2+bx+c=0，我們可以用熟悉的求根公式：

對于三、四次代數(shù)方程，盡管存在求解公式，但并不實(shí)用。而對于大于等于五次的代數(shù)方程，它的根不能用方程系數(shù)的解析式表示，至于一般的超越方程，更沒有求根公式。因此，為求解一個(gè)非線性方程，我們必須依靠某種數(shù)值方法來求其近似解。對于方程（8-1）要求得其準(zhǔn)確解一般來說是不可能的。第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-5求方程根近似解的幾個(gè)問題：

求方程根的近似解，一般有下列幾個(gè)問題：

3.

根的精確化：已知一個(gè)根的粗略近似值后，建立計(jì)算方法將近似解逐步精確化，直到滿足給定精度為止。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且f(a)f(b)<0，則在[a,b]內(nèi)方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根。

根據(jù)此結(jié)論，我們可以采用如下兩種方法求出根的隔離區(qū)間。1.根的存在性：方程是否有根？如果有根，有幾個(gè)根？2.

根的隔離：確定根所在的區(qū)間，使方程在這個(gè)小區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)根，這一過程稱為根的隔離，完成根的隔離，就可得到方程的各個(gè)根的近似值。

關(guān)于根的存在性是純數(shù)學(xué)問題，不詳細(xì)介紹，可查閱有

關(guān)代數(shù)學(xué)內(nèi)容。

根的隔離主要依據(jù)如下結(jié)論：第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-6求根的隔離區(qū)間的兩種方法1.描圖法：

畫出y=f(x)的草圖，由f(x)與x軸交點(diǎn)的大概位置來確定有根區(qū)間。也可利用導(dǎo)函數(shù)f(x)的正、負(fù)與函數(shù)f(x)的單調(diào)性的關(guān)系來確定根的大概位置。例1

求f(x)=3x

1cosx=0的有根區(qū)間解：將方程變形為3x

1=cosx繪出曲線y=3x1及y=cosx，由圖8-1可知，方程只有一個(gè)實(shí)根：yxx*圖8-1例2緊接下屏第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-7例2（續(xù)）2.逐步搜索法：

從區(qū)間[a,b]的左端點(diǎn)a出發(fā)，按選定的步長h一步步向右搜索，若:則區(qū)間[a+jh,a+(j+1)h]內(nèi)必有根。搜索過程也可以從b開始，這時(shí)應(yīng)取步長h<0。求出根的隔離區(qū)間后，就可采用適當(dāng)?shù)姆椒?，使其進(jìn)一步精確化。解：令f

(x)=4x312x2=0，可得駐點(diǎn)x1=0,x2=3,由此而得到三個(gè)區(qū)間(,0)(0,3),(3,),f

(x)在此三個(gè)區(qū)間上的正負(fù)號分別為“”，“”，“+”，由此可見，函數(shù)f(x)在此三個(gè)區(qū)間上為“減”，“減”，“增”，并且因?yàn)閒()>0,f(0)=1>0,f(3)=26<0,f()>0所以僅有二個(gè)實(shí)根，分別位于(0,3),(3,)內(nèi)。又因f(4)=1>0,所以，二個(gè)隔根區(qū)間確定為(0,3),(3,4)。第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-8§1對分法

設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且f(a)f(b)<0，不妨設(shè)f(a)<0,f(b)>0，則方程f(x)=0在[a,b]內(nèi)存在唯一實(shí)根，對分法的基本思想是：用對分區(qū)間的方法，通過判別函數(shù)f(x)在每個(gè)對分區(qū)間中點(diǎn)的符號，逐步將有根區(qū)間縮小，最終求得一個(gè)具有相當(dāng)精確程度的近似根。具體步驟為:第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-9對分法（續(xù)）

若每次對分區(qū)間時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過程將無限地進(jìn)行下去，當(dāng)n→∞時(shí)，區(qū)間將最終收縮為一點(diǎn)x*，顯然x*就是所求方程的根。第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-10對分法的誤差估計(jì)作為x*的近似值，則誤差為：

只要n足夠大（即區(qū)間對分次數(shù)足夠多），xn的誤差就可足夠小，且只要f(x)連續(xù)，對分區(qū)間總是收斂的。

式（8-2）不僅可以估計(jì)對分區(qū)間法的誤差，而且可以給定的誤差限

估計(jì)出對分區(qū)間的次數(shù)，因?yàn)橛墒剑?-2）有：

若取區(qū)間[an,bn]的中點(diǎn)：第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-11對分法舉例例3解：

因?yàn)閒(x)連續(xù)且f

(x)=3x2+10>0(x(,))，故f(x)在(,)上單調(diào)增加而f(1)=9<0,f(2)=8>0所以原方程在（1，2）內(nèi)有唯一實(shí)根。Nanbnxnf(xn)0121.5-1.62511.521.752.85937521.51.751.6250.5410156331.51.6251.5625-0.5603027341.56251.6251.59375-0.0143127451.593751.6251.6093750.2621727061.593751.60937501.60156250.1236367271.593751.60156251.59765620.0545888581.593751.59765621.59570310.0201197991.593751.59570311.59472660.00289896101.593751.59472661.5942383-0.00570803111.59423831.59472661.5944824-0.00140482121.59448241.59472661.59460450.00074700131.59448241.59460451.5945435-0.00032893141.59454361.59460461.5945741

表8-1第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-12對分法的優(yōu)缺點(diǎn)對分法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，

方法可靠，容易估計(jì)誤差。

但它收斂較慢，不能求偶次

重根，也不能求復(fù)根。

因此，一般在求方程近似根

時(shí)，很少單獨(dú)使用，常用于為其

他高速收斂算法（如牛頓法）提

供初值。

第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-13§2迭代法

迭代法是求解方程f(x)=0

的根的一種主要方法。它是利

用同一個(gè)迭代公式，逐次逼近

方程的根，使其得到滿足預(yù)先

給定精度要求的近似值。

第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-142.1迭代法的基本思想

迭代法是一種重要的逐次逼近法，其基本思想是：

設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)有一根x*，將方程化為等價(jià)方程x=

(x)，并在[a,b]內(nèi)任取一點(diǎn)x0作為初始近似值，然后按迭代公式計(jì)算：產(chǎn)生迭代序列x0,x1,…,xn,…,顯然，若{xn}收斂于x*，(x)在x*處連續(xù)，就有:

這種求根方法稱為迭代法，式（8-3）稱為迭代格式，(x)稱為迭代函數(shù)，x0稱為迭代初值，{xn}稱為迭代序列

如果迭代序列收斂，則稱迭代格式（8-3）收斂，否則稱為發(fā)散。即：x*是方程f(x)=0的解。故：當(dāng)n充分大時(shí)，可取xn作為方程的近似解。滿足x=

(x)的點(diǎn)x也稱為不點(diǎn)動(dòng)第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-15迭代法舉例例4解：容易驗(yàn)證，方程在[1,2]內(nèi)有根，取x0=1.5第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-16例4（續(xù)）nxnnxn01.581.594493411.632653191.594590021.5790858101.594550831.6008309111.594566741.5920196121.594560351.5955928131.594562961.5941442141.594561871.5947315151.5945622表8-2第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-17迭代法舉例續(xù)例5解：

對方程進(jìn)行變換，可得如下三種等價(jià)形式：

分別按以上三種形式建立迭代格式，并取x0=1進(jìn)行迭代計(jì)算，結(jié)果如下：

例5的計(jì)算結(jié)果表明：將一方程化為等價(jià)方程的方法很多，由此可構(gòu)造許多不同的迭代函數(shù)，得到多種迭代格式。而它們所產(chǎn)生的迭代序列則可能收斂，也可能發(fā)散，可能收斂很快，也可能收斂很慢。迭代法的收斂性取決于迭代函數(shù)在方程的根的鄰近的性態(tài)。第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-18迭代法的幾何含義

從幾何上看，迭代法是將求曲線y=f(x)的零點(diǎn)問題化為求曲線y=

(x)與直線y=x的交點(diǎn)，迭代過程如圖8-2所示，從初始點(diǎn)x0出發(fā)，沿直線x=x0走到曲線y=

(x)，得點(diǎn)(x0,

(x0))，再沿直線y=

(x0)走到直線y=x，交點(diǎn)

為(x1,(x1))，如此繼續(xù)下去，越來越接近點(diǎn)(x*,x*)。

y=xy=(x)xx0x2x*x1xyy=xy=(x)x2x0x*x1圖8-2第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-19當(dāng)然，迭代過程也可能出現(xiàn)圖8-3所示的情況，此時(shí)點(diǎn)(xn,xn)越來越遠(yuǎn)離交點(diǎn)(x*,x*)，迭代序列發(fā)散。yy=xy=(x)xx2x0x*x3x1y=xy=(x)xx2x0x*x1圖8-3

由此可見，使用迭代法必須解決兩個(gè)問題：一是迭代格式滿足什么條件才能保證收斂；二是如何判別迭代收斂的速度，建立收斂快的迭代格式。

迭代法的幾何含義（續(xù)）第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-202.2迭代法的收斂條件（三大定理）

定理8.1（壓縮映象原理）

設(shè)函數(shù)(x)在區(qū)間[a,b]上滿足條件：

則方程x=(x)在[a,b]內(nèi)有唯一的根x*，且對任意初值x0[a,b]，迭代序列：證明見下屏：定理

給出了判別迭代收斂的充分條件。8.1第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-21壓縮映象原理的證明由條件（2）易得(x)在[a,b]上連續(xù)。令

(x)=x(x)，則

(x)也在[a,b]上連續(xù)，且：由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在[a,b]，使得

()=0，即=(

)所以方程x=(x)在[a,b]內(nèi)有根。

假設(shè)方程x=(x)在[a,b]內(nèi)有兩個(gè)根x1*

x2*，由條件（2）有：導(dǎo)出矛盾，唯一性得證。

（存在性）（唯一性）第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-22對任意的x0

[a,b]，由迭代公式有：

即對任意初值x0

[a,b]，迭代序列{xn}均收斂到方程的根x*。壓縮映象原理的證明（續(xù)1）（收斂性）第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-23類似地，對任意正整數(shù)K，有：定理8.1證明中的兩個(gè)誤差估計(jì)式（8-5）,（8-6）是很有意義的。

壓縮映象原理的證明（續(xù)2）（誤差估計(jì)公式）<證畢！>利用第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-24兩個(gè)重要誤差公式說明1.

式（8-5）說明，在正常情況下，即L不太接近于1（若L接近于1，則收斂速度很慢），可用相鄰兩次迭代值之差的絕對值來估計(jì)誤差，控制迭代次數(shù)。就停止計(jì)算，取xn作為方程的近似根。這種用相鄰兩次計(jì)算結(jié)果來估計(jì)誤差的方法，稱為事后估計(jì)法。

即當(dāng)給定精度ε時(shí)，如果有：第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-252.

而式（8-6）的誤差估計(jì)，稱為事前估計(jì)法，因?yàn)橛盟梢怨烙?jì)出要達(dá)到給定精度ε所需次數(shù)n事實(shí)上，由

注意：定理8.1給出了判別迭代收斂的充分條件。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，由于L比較難求，而我們所討論的函數(shù)通常是可導(dǎo)函數(shù)，因此，實(shí)用的收斂條件是用導(dǎo)數(shù)的界得到的。見下屏的定理8.2：兩個(gè)重要誤差公式說明（續(xù)）第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-26迭代法的收斂條件之二定理8.2

（1）對任意的x

[a,b]，有

(x)[a,b]；（2）存在常數(shù)0<L<1，使得對任意x

[a,b]，都有：則方程x=

(x)在[a,b]上有唯一的根x*，且對任意初值

x0

[a,b]，迭代序列：均收斂于x*，并有：證明見下屏：設(shè)函數(shù)(x)在區(qū)間[a,b]上滿足條件：第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-27定理8.2證明設(shè)x,y為[a,b]上的任意兩點(diǎn)，由微分中值定理，在x,y之間至少存在一點(diǎn)，使得:于是：即(x)滿足定理8.1的條件（2），故結(jié)論成立。<證畢！>第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-28定理2.2應(yīng)用舉例采用的三種迭代格式，在隔根區(qū)間（1,1.2）內(nèi)有：

用定理8.2判別簡單迭代法的收斂性比定理8.1方便如對例題5：第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-29第一種迭代格式發(fā)散，第二、三種迭代格式收斂且第三種迭代格式比第二種迭代格式中的L要小，因而收斂要快得多，這與實(shí)際迭代結(jié)果完全吻合。故可取n=7，只需迭代7次就可達(dá)到所要求的精度。定理2.2應(yīng)用舉例（續(xù)）根據(jù)定理8.2可知，對第三種迭代格式，為使與方程近似根的誤差不超過10-6，可估計(jì)迭代次數(shù)：

第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-30應(yīng)用舉例Leonardo于1225年研究了方程曾經(jīng)轟動(dòng)一時(shí)，因?yàn)闆]有人知道他用的是什么方法。我們現(xiàn)在可用迭代法求解：還可用Newton法，弦截法求解第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-31迭代法的收斂條件之三定理8.3

第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-32

定理8.3強(qiáng)調(diào)迭代初值x0應(yīng)取在根x*的鄰域中。如果對任意給定的x0，迭代格式均收斂，則稱此格式具有全局收斂性，但這樣的格式是極其稀少的。如果對根x*的某鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)x0，迭代格式均收斂，則此格式具有局部收斂性。

即可保證對其中任取的一點(diǎn)x0迭代收斂。事實(shí)上，在用迭代法求解方程（8-1）時(shí)，常常先用對分區(qū)間求得較好的初值，然后再進(jìn)行迭代。本定理給出的就是局部收斂性條件。具體解題時(shí)，雖然無法判別隔根區(qū)間是否為以x*為中心的鄰域，但只要它足夠小，且在鄰域中滿足：定理8.3

（續(xù)）第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-332.3Steffensen方程——簡單迭代法的加速

收斂速度（收斂速度的階）：成立，則稱{xn}是r階收斂的，或稱{xn}的收斂階為r，收斂階r

的大小刻劃了序列{xn}的收斂速度：r越大，收斂越快:

r=1線性收斂

r>1超線性收斂

r=2平方收斂設(shè)序列{xn}收斂于x*，若存在正數(shù)r和a使得：第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-34{xn}的r階收斂定理定理8.4設(shè)迭代函數(shù)(x)在x*鄰近有r階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且x*=(x*)，并且有證明：1）(x)滿足收斂定理的條件{xn}x*；

緊接下屏第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-35定理2.4（續(xù)）2）利用Taylor公式將(x)在x*附近展開：

這表明：{xn}是r階收斂的。一階收斂即為線性收斂，收斂速度較慢，下面想法加速：

<證畢！>第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-361、Aitken加速法若序列{xn}線性收斂于x*，可按式：

當(dāng)n充分大時(shí)，有：緊接下屏第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-37Aitken加速法（續(xù)）由此式可推導(dǎo)出：

由此可得比值：

第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-382、Steffensen加速收斂式將Aitken加速法與簡單迭代格式xn+1

=(xn)相結(jié)合就得到Steffensen加速收斂式

：當(dāng)n

時(shí)，比值中分子趨于0的速度比分母趨于0的速度快，亦即分子是比分母高階的無窮小，這表明{xn}比{xn}更快地收斂于x*。第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-39例6的根，取x0=1.5，誤差精度=106。

于是由x0=1.5，可計(jì)算：

繼續(xù)下去，在此可求x2,x3,…由此例題可見：Steffensen方法收斂很快，達(dá)到了加快收斂的目的。Steffensen加速收斂舉例用Steffensen方法求方程：

第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-40§3Newton法與弦截法3.1Newton法

將非線性方程線性化，以線性方程的解逐步逼近非線性方程的解，這就是Newton法的基本思想。設(shè)已知方程f(x)=0的近似根x0，f(x)在其零點(diǎn)x*鄰近一階連續(xù)可微，且f(x)0，當(dāng)x0充分接近x*時(shí)，f(x)可用Taylor公式近似表示為：則方程f(x)=0可用線性方程近似代替，即：第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-41Newton法（續(xù)）解此線性方程得：

取此x作為原方程的新近似值x1，重復(fù)以上步驟，于是得迭代公式：按式（8-7）求方程f(x)=0近似解稱為Newton法。

第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-42Newton法的幾何意義如此繼續(xù)下去，xn+1為曲線上點(diǎn)(xn,f(xn))處的切線與x軸的交點(diǎn)。因此Newton法是用曲線的切線與x軸的交點(diǎn)作為曲線與x軸交點(diǎn)的近似，故Newton法又稱為切線法。

Xx*x2x1x0Y圖8-4

Newton迭代法有著明顯的幾何意義如圖8-4所示，過點(diǎn)(x0,f(x0))作曲線y=f(x)的切線，切線方程為：y=f(x0)+f(x)(xx0)

該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為新的近似值x1，而x2則是曲線上點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線與x軸的交點(diǎn)。第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-43Newton法舉例例7解：

因?yàn)閒(x)

=3x2+10，故Newton迭代公式為：

x1=1.5970149，x2=1.5945637，x3=1.5945621=x4

迭代三次所得近似解就準(zhǔn)確到8位有效數(shù)字。代入初值x0得：

可見Newton法收斂很快。

一般地，有如下屏定理8-5：第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-44Newton法收斂定理定理8.5

設(shè)函數(shù)f(x)在其零點(diǎn)x*鄰近二階連續(xù)可微，且f(x*)0，則存在>0，使得對任意x0[x*,x*+]，Newton法所產(chǎn)生的序列{xn}至少二階收斂于x*。按式（8-7），Newton法的迭代函數(shù)為：于是有：

證明：第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-45定理8.5（續(xù)）由已知f(x)在x*鄰近連續(xù)，因而

(x)在x*鄰近連續(xù)，且根據(jù)定理2.4，Newton法產(chǎn)生的序列{xn}至少二階收斂于x*。<證畢！>定理8.5表明，當(dāng)初值x0充分接近x*時(shí)，Newton法的收斂速度較快，但當(dāng)初值不夠好時(shí)，可能會(huì)不收斂或收斂于別的根，這可從Newton法的幾何意義看到：緊接下屏第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-46x0x*x1X(a)x0x1x*Xx1x*x0Xx*x1x0X(b)(c)(d)（圖8-5）Newton法的幾何意義及其優(yōu)劣如圖8-5（a）所示.應(yīng)用中可由實(shí)際問題的背景來預(yù)測利用對分區(qū)間法求得較好的初值x0。使在其鄰近f(x)f(x)不變號，并且使f(x0)f(x0)>0，這就能保證收斂，如圖8-5（b）~（d）。

Newton法具有收斂快，穩(wěn)定性好，精度高等優(yōu)點(diǎn)，它是求解非線性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需要計(jì)算函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，故計(jì)算量較大。而且當(dāng)導(dǎo)數(shù)值提供有困難時(shí)，Newton法無法進(jìn)行。第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-473.2計(jì)算重根的牛頓迭代法

若x*為方程f(x)=0的m(m>1)重根，則f(x)可表為:

其中g(shù)(x*)0，此時(shí)用牛頓迭代法求x*仍然收斂，只是收斂速度將大大減慢。事實(shí)上，因?yàn)?

第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-48計(jì)算重根的牛頓迭代法(續(xù)1）可見用牛頓法求方程的重根僅為線性收斂。

為了提高求重根的收斂速度，有兩種可供選擇方法:(1)方法之一是將求重根的問題轉(zhuǎn)化為求單根。注意到函數(shù)：第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-49計(jì)算重根的牛頓迭代法(續(xù)2）

上述迭代格式右端較復(fù)雜，應(yīng)用起來不方便。(2)另一種求m重根的方法是采用如下迭代格式：

可以證明它是求m重根x*的具平方收斂的迭代格式。

問題是如何確定根的重?cái)?shù)m？下面介紹一個(gè)邊迭代邊估計(jì)重?cái)?shù)方法。設(shè)xk－2，xk－1，xk為用牛頓迭代格式（8-7）所得三個(gè)相鄰的迭代值，令

第四十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-50計(jì)算重根的牛頓迭代法(續(xù)3）則由式（8-8）可知故因此可用下式估計(jì)m

第五十頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-51例8用牛頓迭代法求方程

在0.95附近之根。解

取x0=0.95，用牛頓迭代法，按式（8-7）求得的xk見表8-3，由表中數(shù)據(jù)可見xk收斂很慢。由

可知，所求根為m=2重根，改用式(8-9)迭代格式，得：

收斂速度大大快于直接用牛頓迭代公式（8-6）.第五十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-52例8（續(xù)）表8-3kxkk01234560.950.97442790.98705830.99348780.99673280.99835760.9991901

0.50900.50470.50070.5125

2.03692.01902.00282.0511m第五十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-533.2弦截法不足之處：需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值，較難；——這就是弦截法迭代公式

Newton法優(yōu)點(diǎn)：收斂快（平方階），固定格式；修正：以差商代替導(dǎo)數(shù)（微商）第五十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-54弦截法迭代公式的幾何解釋與x軸相交，即y=0，解出x得：

即以割線代替曲線f(x)，以割線與x軸的交點(diǎn)去近似曲線與x軸的交點(diǎn)，又稱為割線法。割線法也可看作以（xn-1，f(xn-1)），(xn，f(xn))作線性插值，而以此插值多項(xiàng)式近似f(x)，以其零點(diǎn)近似f(x)的零點(diǎn)。第五十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-55弦截法的幾點(diǎn)說明

1、需要兩個(gè)點(diǎn)x0，x1才能開始進(jìn)行迭代：（1）若只給定x0，則須利用其他方法，如對分法，求x1，然后再利用弦截法，求x2，x3，…；（2）若給定一有根區(qū)間，可直接用兩端點(diǎn)作

x0，x1。[xn]收斂，收斂階為1.618，超線性收斂。

第五十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-56

3.上述弦截法又稱為變端點(diǎn)弦截法，其實(shí)還可寫為：固定一端點(diǎn)x0，稱為定端點(diǎn)弦截法（單點(diǎn)），如右圖：x1x2x3x0xy圖8-5弦截法的幾點(diǎn)說明(續(xù)）

第五十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日阜師院數(shù)科院第八章非線性方程求解8-57弦截法舉例例9用定端點(diǎn)，變端點(diǎn)截線法求方程：f(x)=x32x5在區(qū)間[2,3]內(nèi)的一個(gè)實(shí)根（有12位有效數(shù)字的實(shí)根為=2.09455148514）。解：取x0=2,x1=3，用兩種方法計(jì)算結(jié)果如下：

（見表8-4）可見變端點(diǎn)比定端點(diǎn)收斂速度快得