2023屆廣東省廣州市白云區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。(OAOBOC0AE2EBAC，若ABAC9AOEC，則實數(shù))3366D．2A．B．C．3232．已知復數(shù)z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復數(shù)是（）A．﹣1﹣2iB．﹣1+2iC．1﹣2iD．1+2i3．以下關于f(x)sin2xcos2x的命題，正確的是2A．函數(shù)fx在區(qū)間0,上單調(diào)遞增3需是函數(shù)yfx圖象的一條對稱軸B．直線x8yfx圖象的一個對稱中心C．點,0是函數(shù)4D．將函數(shù)yfx圖象向左平移需個單位，可得到y(tǒng)2sin2x的圖象8ABCABCAABBM,N各條棱的長度均相等，D為的中點，分別是線段和線段CC的動點11114．如圖，正三棱柱11BMCN，當運動時，下列結論中不．．．正確的是M,N（含端點），且滿足1ABCA．在DMN內(nèi)總存在與平面平行的線段B．平面DMN平面BCCB11ADMN的體積為定值1C．三棱錐1f(x)ax在(2,)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）x1,11A．,B．,C．[1,)D．444xy22F,F1(a0,b0)F的左、右焦點，若點關于雙曲線漸近線的對稱點A滿足26．已知是雙曲線12a2b2FAOAOF（O為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程為（）11A．y2x3xC．y2xD．yxB．y7．某工廠利用隨機數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（）A．324B．522C．535D．578e,x1fxmx10恰有兩個不同實根，則正數(shù)的取值范圍為（），若方程mxfx8．已知函數(shù)fx2,x1e1e11,e1,11,e1A．B．,122e1e1,11,e1D．3,11,e1C．39．下列結論中正確的個數(shù)是（）aafnn①已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若數(shù)列通項公式為，則該數(shù)列是等差數(shù)列；n②若直線l上有兩個不同的點到平面的距離相等，則l//；③在ABC中，cosAcosB”是“BA”的必要不充分條件；a0,b0,2ab4，則ab的最值大為2.“④若A．1B．2C．3D．010．若集合A{xN|x2020}，，則下列結論正確的是（）a22A．a(chǎn)AaAC．B．a(chǎn)AD．a(chǎn)A11．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbcB．logca＜logcbC．a(chǎn)c＜bcD．ca＞cb2e12．已知函數(shù)關于的方程xfx,fxm1fxm40(mR)有四個相異的實數(shù)根則的取值范x,mx圍是()44e14e1A．4,eB．4,3C．e,3D．e,e1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。.aS32nN5San13．記為數(shù)列的前項和若S______.，則*nnnnfxx014．已知為偶函數(shù)，當時，f(x)exf(ln2)__________．x，則a23_____.15．已知數(shù)列為等比數(shù)列，aa1，則a52,aa62n3x8tx3s22（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為y23sxOyltC16．在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為yt2參數(shù)）.（1）求直線l和曲線C的普通方程；（2）設為曲線C上的動點，求點到直線l距離的最小值及此時點的坐標.PPP三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為x22t2sin2acosa0；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于，MN兩點.y2t（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；PMPN52，（2）若點P的極坐標為2,，求的值a.18．（12分）高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動了我國經(jīng)濟的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計,在2018年這一年內(nèi)從A市到B市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為50萬人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機抽取100人次作為樣本,得到下表(單位:人次):老年人乘坐高鐵12中年人乘坐高鐵20青年人乘坐高鐵20滿意度乘坐飛機乘坐飛機乘坐飛機10分(滿意)1215分(一般)2130662344940分(不滿意)（1）在樣本中任取1個,求這個出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年從A市到B市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取2人次,記其中老年人出行的人次為X.以頻率作為概率,求X的分布列和數(shù)學期望;（3）如果甲將要從A市出發(fā)到B市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機?并說明理由.19．（12分）某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該同學為這個開100x200y）表示這個開學季內(nèi)的市場需求量，（單位：元）表示這x學季進了160盒該產(chǎn)品，以（單位：盒，個開學季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.（1）根據(jù)直方圖估計這個開學季內(nèi)市場需求量x的平均數(shù)和眾數(shù)；yx（2）將表示為的函數(shù)；（3）以需求量的頻率作為各需求量的概率，求開學季利潤不少于4800元的概率.3t,25x（為參數(shù)，r0），曲線C：20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C：1y3rsin,2y31t,2（t為參數(shù)）.若曲線C和C相切.12（1）在以O為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中，求曲線的普通方程；xC1（2）若點M，N為曲線C上兩動點，且滿足MON，求MON面積的最大值.13x1cosx（為參數(shù)）.在以坐標原點為極點，軸ysinsin3.l的極坐標方程為的正半軸為極軸的極坐標系中，直線6（1）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程；（2）求曲線C上的點到直線l的距離的最大值與最小值.22．（10分）如圖，在正四棱柱ABCDABCDAA3C1BBDDAB1，，過頂點中，A，的平面與棱，分1111111別交于M，N兩點（不在棱的端點處）.AMCN（1）求證：四邊形是平行四邊形；1（2）求證：與不垂直；AMAN（3）若平面與棱所在直線交于點，當四邊形為菱形時，求長AMCN1BCAMCN1PC.P參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】將AO、EC用AB、AC表示，再代入ABAC9AOEC中計算即可.【詳解】O為ABC的重心，OAOBOC0，知由21(ABAC)1(ABAC)，又AO所以32AE2EB，3所以ECACAEAC23AB，9AOEC3(ABAC)(AC2AB)3|AB|3，|AC|226ABAC2AB3ACABAC2AB3AC，所以2.222故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.2．D【解析】兩邊同乘-i，化簡即可得出答案．【詳解】i?z＝2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復數(shù)為1+2i，選D.【點睛】zabi(a,bR)的共軛復數(shù)為zabi3．D【解析】利用輔助角公式化簡函數(shù)得到f(x)2sin(2x)，再逐項判斷正誤得到答案.4【詳解】f(x)sin2xcos2x2sin(2x)4213A選項，x0,2x(,)函數(shù)先增后減，錯誤344120不是函數(shù)對稱軸，錯誤2xB選項，x842xC選項，x，不是對稱中心，錯誤444)圖象向左平移需個單位得到y(tǒng)D選項，2sin(2(x)2sin2x，正確848故答案選D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，其中化簡三角函數(shù)是解題的關鍵.ADMN的體積NADM與三棱錐體積相等，三棱錐1NADM的底面積是定值，高也是定值，則1A項，用平行于平面ABC的平面截平面MND，則交線平行于平面ABC，故正確；B項，如圖：當M、N分別在BB1、CC1上運動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面DMN平面BCCB，故正確；11C項,當M、N分別在BB1、CC1上運動時,△ADM的面積不變,N到平面ADM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積11不變,即三棱錐A-DMN的體積為定值,故正確；,則必是以∠MDN為直角的直角三角形△DMN不可能為直角三角形,故錯誤.1D項,若△DMN為直角三角形BB1,所以,但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于故選D【點睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結構特、征空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應用，是中檔題.5．B【解析】f(x)在(0,)單調(diào)遞減，當對a分類討論，當a0，函數(shù)a0，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可【詳解】1f(x)ax在上單調(diào)遞減，(2,)當a0時，函數(shù)x11所以a0，f(x)ax的遞增區(qū)間,是，xa11.所以2，即4aa故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關鍵，屬于基礎題.6．B【解析】AFOM2FAOAOFAFc1AFO60，即2MOF60，先利用對稱得，根據(jù)可得，由幾何性質(zhì)可得111從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示：AF的中點，且2AFOM，由對稱性可得：M為2所以FAAF，21因為FAOAOFAFFOc，11，所以11得AFO60，即MOF60，12故而由幾何性質(zhì)可故漸近線方程為y3x，故選B.【點睛】本題考查了點關于直線對稱點的知識，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出MOF60是解題的關鍵，屬于中檔2題.7．D【解析】因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:436,535,577,348,522,535,578,324,577,，因為535重復出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為436,535,577,348,522,578,324,6578.選D.，故第個數(shù)據(jù)為【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.8．D【解析】fx和ymx1有圖像兩個交當x1時，函數(shù)周期為2，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個不同實根，即函數(shù)e13，ke1BC點，計算k，根據(jù)圖像得到答案.AC【詳解】fxfx2當x1時，，故函數(shù)周期為2，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程fxmx10，即fxmx1，即函數(shù)fx和ymx1有兩個交點.f'01B1,eC3,e，kx，故，，e13fxex，f'xe，ke1.BCACe1根據(jù)圖像知：m3,11,e1.故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵.9．B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】{a}naf(n)，解：①已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若數(shù)列的通項公式為nnak(k可得an1為一次項系數(shù)），則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確；②若直線同的點到平面的距離相等，相交或平行，故②錯誤；l上有兩個不則l與可以0,故“cosAcosB”可得“BA”，由“BA”上單調(diào)遞減，③在ABC中，B,A0,，而余弦函數(shù)在區(qū)間可得“cosAcosB”，故“cosAcosB”是“BA”的充要條件，故③錯誤；④若a0,b0,2ab4，則42ab22ab，所以2ab2時取等號，故④正確；ab2，當且僅當綜上可得正確的有①④共2個；故選：B【點睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．10．D【解析】意A{xN|x2020}，分析即由題得解【詳解】意A{xN|x2020}，故aA，A{a}由題故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.11．B【解析】logc1gc,logc1gcA，lgaa1gc0，0c1，，而，所以lgbab0lgalgb，但不試題分析：對于選項blga,logblgb、lgalgb的正負，所以lgc,lgalgb，兩邊同乘以loga它們的大小不能確定;對于選項B，lgcc能確定c1一個負數(shù)改變不C，利用yxc在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到acbc，等號方向，所以選項B正確;對于選項lgcD，利用ycx在R上為減函數(shù)易得cacb，所以D錯誤.所以本題選B.所以C錯誤;對于選項【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】函數(shù)的單調(diào)性進行比值的大小,若冪的底數(shù)相同或對數(shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.比較冪或對數(shù)12．A【解析】ex,x0x1,,fx單調(diào)遞減，時e‘fx0,x1,x0,1,fxexx1xxfx=,x0當時時xex2x,x0x時，fxexx1單調(diào)遞增,且當x0,1時,fxe,,x1,時,fxe,,當x0當0恒x2方程x,0,fx單調(diào)遞增且fx0,,fxm1fxm40(mR)有四個相異的成立，時2fxt,tm1tm4=0則實數(shù)根.令20te,te,e2m1em40,且02m10m40,即m4,e4e1.12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】1由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項和公式求解．{a}n16n2【詳解】32，得2a32，a16．a(chǎn)S由nn11S32(n2)，n1且an1an12aaSS0n1則，即a(n2)．nn1nn11數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，{a}n16216(11)則S2531．1125故答案為：1．【點睛】n本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的前項和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．2ln214．【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】fln2fln2eln22ln2.ln22ln2故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的運算，考查運算求解能力15．81【解析】q利用等比數(shù)列aa,q，代入等比數(shù)列.通項公式即可求解設數(shù)列的公比為，通項公式求出n1【詳解】q設數(shù)列的公比為，由a題意知，naa33q2aa12aa2，由等比數(shù)列因為通項公式可得，12a3a2a1，解得，111由等比數(shù)列通項公式可得，aaq41381.451故答案為：81【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式；考查運算求解能力；屬于基礎題.52），3,23.21）x3y80，y24x；（16．（【解析】（1）利用代入消參的方法即可將兩個參數(shù)方程轉化為普通方程；（2）利用參數(shù)方程，結合點到直線的距離公式，將問題轉化為求解二次函數(shù)最值的問題，即可求得.【詳解】x3y80.（1）直線l的普通方程為y12s24x，在曲線C的參數(shù)方程中，2C的普通方程為y24x.所以曲線（2）設點P3s,23s.23s26s83s125.l的距離d點到直線P22525，所以點到直線l的距離的最小值為.P2當s1時，dmin此時點的坐標為3,23.P【點睛】本題考查將參數(shù)方程轉化為普通方程，以及利用參數(shù)方程求距離的最值問題，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）xa2y1a1，22.2xy20；（）2【解析】2sin2acos得2sin（1）由2acos，求出曲線C的直角坐標方程.由直線的參數(shù)方程消去參l2數(shù)t，即求直線l的普通方程；x22t2（2）將直線l的參數(shù)方程化為標準式（t'為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標方程，韋達定理得y2t2t't',t't'，點在直線l上，則PMPNtt'，即可求出a的值.P'121212【詳解】2sin2acos2acos，可得2sin（1）由2即xy2y2ax，即2xay12a21，222曲線C的直角坐標方程為xa2y1a1，2x22t由直線l的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去tt得xy20，y2txy20.即直線l的普通方程為P2,0（Ⅱ）點的直角坐標為，則點在直線l上.PPx22t2將直線l的參數(shù)方程化為標準式（t'為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標方程，整理得y2t2t'2322at'4a40，l與曲線C交于M,N兩點，直線20,a1.2a44a40，即a1232M,N設點所對應的參數(shù)分別為t,t'，'12tt322a,t't'4a4，由韋達定理可得''1212a0,t't'0,t't'0,t'0,t'0.121212PMPNt't't't'322a52，l上，點在直線P1212a2.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化及應用，屬于中檔題.2921）（2）分布列見解析，數(shù)學期望（3）建議甲乘坐高鐵從.見解析A市到市B505【解析】（1）根據(jù)分層抽樣的特征可以得知，樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為19，39，，42即可按照古典概型的概率計算公式計算得出；1151（2）依題意可知X服從二項分布，此人為老年人概率是先計算出隨機選取1人次，755，所以XB2,，即52kPxkCk11，即可1kX的分布列和數(shù)學期望；求出552（3）可以計算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機．【詳解】（1）設事件：“在樣本中任取1個，這個出行人恰好不是青年人”為M，由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為19，39，，42193929．恰好不是青年人的概率P(M)所以在樣本中任取1個，（2）由題意，X的所有可因為在2018年從這個出行人10050能取值為：0，，12.A市到市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機選取1人次，此人B為老年人概率是151，755161所以P(X0)C(1)，250225P(X1)C1(11)8，155252P(X2)C2(1)21，5252所以隨機變量X的分布列為：1201625812525故E(X)01821612．2525255（3）答案不唯一，言之有理即可．如可以從滿意度的均值來分析問題，參考答案如下：由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：521012511011615521211乘坐飛機的人滿意度均值為：41014570224147511622155因為，所以建議甲乘坐高鐵從A市到B市．【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用、古典概型的概率計算、以及離散型隨機變量的分布列和期望的計算，解題關鍵是對題意的理解，概率類型的判斷，屬于中檔題．80x4800100x160160x200；（3）0.9019．（1）x153，眾數(shù)為150；（2）y8000【解析】x（1）由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率，由此能求出這個開學季內(nèi)市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）由已知條件推導出當100x160時，y50x(160x)?3080x4800，當160x200時，y160508000，由此y能將表示為的函數(shù)；（3）利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率．x【詳解】x（1）由直方圖可估計需求量的眾數(shù)為150，100，120的頻率為：200.0050=0.10由直方圖可知由直方圖可知由直方圖可知由直方圖可知120，140的頻率為：200.010=0.20140，160的頻率為：200.0150=0.30160，180的頻率為：200.0125=0.25180，200的頻率為：200.0075=0.15由直方圖可知x的平均數(shù)為：估∴計需求量x0.101100.201300.301500.251700.15190153（2）當100x160時，y50x30(160x)80x4800當160x200時，y50160=800080x4800（100x160）∴y（160x200）8000當160x200時，y50160=8000>4800（3）由（2）知當100x160時，y80x48004800得∴開學季利潤不少于4800元的需求量為120x200由頻率分布直方圖可所求概率P0.200.300.250.150.90【點睛】120x160本題考查頻率分布直方圖的應用，考查函數(shù)解析式的求法，考查概率的估計，是中檔題，解題時要注意頻率分布直方圖的合理運用．220．（y34；（2）3321）x1【解析】（1）消去參數(shù)，將圓C的參數(shù)方程，轉化為普通方程，再由圓心到直線的距離等于半徑，可求得圓的普通方程，最后利用xcos,ysin求得圓C的極坐標方程.此求得MON的面積的表達式，（2）利用圓的參數(shù)方程以及輔助角公式，由再由三角函數(shù)最值的求法，求得三角形面積的最大值.【詳解】2題意得：x1（1）由Cy3r2，：x3y202C121322x12y34；CC因為曲線和相切，所以rC2，即：1212M4sin,N4cos,（2）設，63sin34316sincos23sin2312所以SMONMN時，MON面積最大值為33所以當22【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程轉化為普通方程，考查直角坐標方程轉化為極坐標方程，考查利用參數(shù)的方法求三角形面積的最值，屬于中檔題.21．（51）C:x12