概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-謝永欽-課后習(xí)題及答案

習(xí)題一P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（AB）.5.設(shè)A，B是兩事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么條件下P（AB）取到最大值？（2）在什么條件下P（AB）取到最小值？1）當(dāng)AB=A時(shí)，P（AB）取到最大值為0.6.（2）當(dāng)A∪B=Ω時(shí)，P（AB）取到最小值為0.3.6.設(shè)A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件【解】（發(fā)生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)11113=++=4431247.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？【解】p=C5C3C3C2/C1352131313138.對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：（1）求五個(gè)人的生日都在星期日的概率；（2）求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率；（3）求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）設(shè)A={五個(gè)人的生日都在星期日}，基本事件總數(shù)為7，有利事件51僅1個(gè)，故P（A1）=1=（）1（亦可用獨(dú)立性求解，下同）5775（2）設(shè)A={五個(gè)人生日都不在星期日}，有利事件數(shù)為6，故52P（A2）==(6)655775(3)設(shè)A3={五個(gè)人的生日不都在星期日}P（A3）=1P(A1)=1(1)579.略.見教材習(xí)題10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機(jī)m件（m≤M）正品（A）的概率.如果：（1）n件是同時(shí)取出的；（2）n件是無(wú)放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的.參考答案.地取出n件（n<N）.試求其中恰有記為【解】（1）P（A）=CmCnm/CnMNMN1(2)由于是無(wú)放回逐件取出，可用排列法計(jì)算.樣本點(diǎn)總數(shù)有P種，n次抽nm次為正品的組合數(shù)為C種.對(duì)于固定的一種正品與次品的抽Nmnm件的排列數(shù)有P種，從mMmnMNMmnmPnN由于無(wú)放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成CCMmnmNMP（A）=CnN可以看出，用第二種方法簡(jiǎn)便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為mC種，對(duì)于固定的一種n正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有M種取mNM種取法，法，nm次取得次品，每次都有共有（NM）種取nm法，故P(A)CmMm(NM)/Nnnnm此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗(yàn)，每次取得正品的概率為MN，則取得m件正品的概率為nmMmP(A)Cm1nMNN11.略.見教材習(xí)題參考答案.12.50只鉚釘隨機(jī)地取在10個(gè)部件上，每個(gè)部件用3只鉚釘.其中有3個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱.若將3只強(qiáng)度太弱的強(qiáng)度就太弱.求發(fā)生一強(qiáng)度太弱的概率是多少？【解】設(shè)A={發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱}來用鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件個(gè)部件1P(A)C1C/C3331960105013.一個(gè)袋內(nèi)裝有3個(gè)，計(jì)算【解】設(shè)A={有恰i個(gè)白球}（i=2,3），顯然A2與A3互斥.大小相同的7個(gè)球，其中4個(gè)是白球，3個(gè)是黑球，從中一次抽取至少有兩個(gè)是白球的概率.iCC118C4424C3P(A)2,P(A)335C35373372P(AA)P(A)P(A)232314.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求：（1）兩粒都發(fā)芽的概率；（2）至少有（3）恰有一粒發(fā)芽的概率.一粒發(fā)芽的概率；【解】設(shè)Ai={第i批種子中的一粒發(fā)芽}，（i=1,2）(1)P(AA)P(A)P(A)0.70.80.561212(2)P(AA)0.70.80.70.80.9412(3)P(AA2AA)0.80.30.20.70.3811215.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.（1）問正好在第6次停止的概率；（2）問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.111C1()()3111522245/32【解】（1）pC2()()(2)p24232223251516.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員，投籃命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率.【解】設(shè)Ai={甲進(jìn)i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙進(jìn)i球},i=0,1,2,3,則P(3AB)(0.3)3(0.4)3C10.7(0.3)2C10.6(0.4)2ii333i0C2(0.7)20.3C2(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)333=0.3207617．從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.CC1C1C1C113p154【解】2222C4211018.某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：（1）在下雨條件下下雪的概率；（2）這天下雨或下雪的概率.【解】設(shè)A={下雨}，B={下雪}.（1）p(BA)P(AB)0.10.2P(A)0.5（2）p(AB)P(A)P(B)P(AB)0.30.50.10.719.已知一個(gè)家庭有3個(gè)小孩，且其中一個(gè)為女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.3A={其中一個(gè)為女孩}，B={至少有一個(gè)男孩}，樣本點(diǎn)總數(shù)為2=8，3P(BA)P(AB)6/86P(A)7/87或在縮減樣本空間中求，此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為7.P(BA)6720.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.【解】設(shè)A={此人是男人}，B={此人是色盲}，則由貝葉斯公式P(A)P(BA)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(AB)P(AB)0.50.05200.50.050.50.00252121.兩人約定上午9∶00~10∶00在公園會(huì)面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率.題21圖題22圖【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為x,y,則0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小時(shí)以上”等價(jià)于|xy|>30.如圖陰影部分所示.P3021604222.從（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：（1）兩個(gè)數(shù)6于的概率；5之和小41（2）兩個(gè)數(shù)之積小于的概率.4【解】設(shè)兩數(shù)為6x,y，則0<x,y<1.（1）x+y<.5144170.68p12551251(2)xy<1.4111p1dxdyln214214124x23.設(shè)P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B）P(AB)P(A)P(AB)PBAB)【解】(P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.70.510.70.60.5424.在一個(gè)盒中裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，3個(gè)球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球，求第二次取3個(gè)球均為A={第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3在第一次比賽中任意取出出的新球的概率.【解】設(shè)i球均為新球}由全概率公式，有3P(B)P(BA)P(A)iii0CCC1CCC2C1CCC36393152638315?37?39363??996CCCCCCCC333331515151515150.08925.按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A={被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的}，則A={被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的}.由題意知P（A）=0.8，P（A）=0.2，又設(shè)B={被調(diào)查學(xué)生考試及格}.由題意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由貝葉斯公式知5P(A)P(BA)P(AB)P(B)（1）P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.20.110.027020.80.90.20.137即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%P(A)P(BA)P(AB)P(AB)(2)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.80.140.30770.80.10.20.913即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2∶1.若接收站收到的信息是A，試是A的概率是多少？【解】設(shè)A={原發(fā)信息是A}，則={原發(fā)信息是B}C={收到信息是A}，則={收到信息是B}問原發(fā)信息由貝葉斯公式，得P(A)P(CA)P(AC)P(A)P(CA)P(A)P(CA)2/30.982/30.981/30.010.9949227.在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊?，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設(shè)A={箱中原有i個(gè)白球}（i=0,1,2），由題設(shè)條件知P（A）=1,i=0,1,2.ii3又設(shè)B={抽出一球?yàn)榘浊騷.由貝葉斯公式知P(BA)P(A)P(AB)P(AB)1112P(B)1P(BA)P(A)iii02/31/311/31/32/31/311/3328.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品}，B={產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品}由貝葉斯公式得P(A)P(BA)P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)6知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？P(A|D)P(AD)P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)0.20.050.20.050.50.150.30.30.05730.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來的零件的次品率.別為【解】設(shè)A={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.iP(4A)1P(AAAA)i1234i11P(A)P(A)P(A)P(A)123410.980.970.950.970.12431.設(shè)每次射擊的命中率為0.2，問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.1(0.8)n0.9即為(0.8)n0.1n≥11故至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.32.證明：若P（A｜B）=P(A｜B)，則A，B相互獨(dú)立.【證】P(A|B)P(A|B)即P(AB)P(AB)P(B)P(B)亦即P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)[1P(B)][P(A)P(AB)]P(B)因此P(AB)P(A)P(B)故A與B相互獨(dú)立.711133.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為，，，求將此密碼破譯出的概率.A={第i人能破譯i12312342310.634.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.A={飛機(jī)被擊落i人擊中飛機(jī)}，i=0,1,2,33P(A)P(A|B)P(B)iii0=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人且規(guī)定若10個(gè)病人中服用，至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無(wú)效，求：（1）雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗(yàn)被否定的概率.（2）新藥完全無(wú)效，但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.31）pCk(0.35)k(0.65)10k0.5138110【解】（k010(2)pCk(0.25)k(0.75)10k0.2241210k436.一架升降機(jī)開始時(shí)有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：（1）A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；層離開”；（2）B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一（3）C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4）D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.C294（1）P(A)，也可由6重貝努里模型：610619P(A)C2()()4210106866C種可能110結(jié)果，再?gòu)牧酥羞x二人在該層離開，有C種離開方式.其余4人中不能26再有兩人同時(shí)離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個(gè)人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，1共有CCC1種可3498能結(jié)果；②4人同時(shí)離開，有C種可能結(jié)果；③4個(gè)人都不在同一層離開，19有P4種可能結(jié)果，故9P(C)C1C2(C1C3C1C1P4)/10610694899（4）D=B.故P(D)1P(B)1P61010637.n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙兩人（2）甲、乙、丙三人（3）如果n個(gè)人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；坐在一起的概率；并排坐在長(zhǎng)桌的一邊，求上述事件的概率.【解】（1）pn111(2)p3!(n3)!(n1)!,n32(n1)!1;p3!(n2)!,n3(3)p1n!nn!238.將線段[0，a]任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】設(shè)這三段長(zhǎng)分別為x,y,axy.則基本事件集為由0<x<a,0<y<a,0<axy<a所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由xyaxyx(axy)yy(axy)x構(gòu)成的圖形，即9222如圖陰影部分所示，故所求概率為.他逐個(gè)將它們?nèi)ピ囬_（抽樣是無(wú)k無(wú)關(guān).pPk1n1Pkn40.把一個(gè)表面涂有顏色的立方體等分為一千個(gè)小立方體，在這些小立方體中，i面涂有顏色的概率P（A）（i=0,1,2,3）.iA={小立方體有i面涂有顏色在1千個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色8個(gè).只有位于原立方體的棱上（除去八個(gè)角外）的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有12×8=96個(gè).同理，原立8×8×6=384}，i=0,1,2,3.i個(gè).其余1000（8+96+384）=512個(gè)內(nèi)部的小立方體是無(wú)色的，故所求概率為5120.512,P(A)3840.384,P(A)1000961000018P(A)20.096,P(A)0.008.10001000441.對(duì)任意的隨機(jī)事件A，B，C，試證P（AB）+P（AC）P（BC）≤P(A).【證】P(A)P[A(BC)]P(ABAC)P(AB)P(AC)P(ABC)P(AB)P(AC)P(BC)42.將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】設(shè)A={杯中i球的最大個(gè)數(shù)為i},i=1,2,3.入4個(gè)杯子中，全部可能放法有4種，杯中球的最大個(gè)數(shù)3將3個(gè)球隨機(jī)放為1時(shí)，每個(gè)杯中最多放一球，故C33!3P(A)14348而杯中球的最大個(gè)數(shù)為3，即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中，故C141633319因此或P(A)1P(A)P(A)181616213C1C2C139P(A)434316243.將一枚均勻硬幣擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：}，C={正面次數(shù)等于反面次數(shù).由于硬幣是均勻的，故P（A）=P（B）.所以2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={正面次數(shù)少}，A，B，C兩兩互斥.【解】擲于反面次數(shù).可用對(duì)稱性來解決P(A)1P(C)2由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為11nP(C)Cn()()n222n故P(A)1[1Cn1]22n22n44.擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.A={出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)P（A）=P（B）（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正、反面次數(shù)不會(huì)相等【解】設(shè)}，由對(duì)稱性知.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由上題知P(A)1[1C2()n]n1n2245.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.【解】令甲=甲擲出的正面次數(shù)，甲=甲擲出的反面次數(shù).正反乙=乙擲出的正面次數(shù)，乙正顯然有=乙擲出的反面次數(shù).反（甲>乙）=（甲≤乙）=（n+1甲≤n乙）正正反反正正=（甲≥1+乙）=（甲>乙）反反反反由對(duì)稱性知P（甲>乙）=P（甲>乙）正正反反因此P(甲>乙)=12正正46.證明則P（A）≥P(B).P（A|C）≥P(B|C),得“確定的原則”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，【證】由P(AC)P(BC),P(C)P(C)P(AC)P(BC)P(A|C)P(B|C),即有同理由得P(AC)P(BC),故P(A)P(AC)P(AC)P(BC)P(BC)P(B)47.一列火車共有n節(jié)車廂，有k(k≥n)個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客的概率.【解】設(shè)A={第i節(jié)車廂是空的}，（i=1,…,n）,則iP(A)(n1)k(11)knnkiP(AA)(12)knijP(AAA)(1n1)knii2in11其中i,i,…,in1是1，2，…，n中的任n1個(gè).n節(jié)車廂全空的概率是零，于是12顯然1nP(A)n(1)C1(11)kSk1innni1SP(AA)C2(12)kn2ijn1ijnP(AAA)C(1n1)kin1Sn1n1i1i2nn1i1i2in1nS0nP(nA)SSS(1)n1S123ini1C1(11)kC2(12)k(1)nCn1(1n1)knnnnnn故所求概率為1P(nA)1C1(11)kC2(12)i(1)n1Cn1(1n1)knnninnni148.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的概率為ε>0.試證明：不論ε>0如何小，只要不斷地獨(dú)立地【證】重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.n次試驗(yàn)中，1(1)n1(n)49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）r次，已知每次都得到國(guó)徽.試問這只硬幣是正品的A至少出現(xiàn)一次的概率為.在袋mn由題知P(A|B)1,P(A|B)12r則由貝葉斯公式知P(B|A)P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)m1mn2rm1mn2rmn1mnm2rn50.巴拿赫（Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火根.試求他首次用完一盒火柴時(shí)（不是柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少？第一次發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以B、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有P(B)P(B)1.（1）發(fā)現(xiàn)2121一盒已空，另一盒恰剩r根，說明已取了2nr次，設(shè)n次取自B盒（已1起B(yǎng)，發(fā)現(xiàn)已空），nr次取第2nr+1次拿自B盒，空。把取2nr次火21努里試驗(yàn)，則所求概率為柴視作2nr重貝11n22121p2Cn()()Cnnr22rrnr12nr式中（2）前2nr1次取火柴，有2反映B與B盒的對(duì)稱性（即也可以是B盒先取空）.122n1次取自B盒，nr次取自B盒，第2nr12次取自B盒，故概率為11Cn1(1)p2C2(1)(1)n1n1nr2nr12nr122222nr151.求n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由(qp)nC0p0qnC1pqn1C2p2qn2Cnpnq01nnnn(qp)nC0p0qnC1pqn1C2p2qn2(1)nCnpnq0nnnn以上兩式相減得所求概率為pC1pqC3p3qn3n11nn21[1(12p)n]2若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得p1[1(12p)n].2252.設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB（A∪B）∩（A∪B）=AB∪ABP{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值.【解】因?yàn)椋ㄋ?AB)(AB)(AB)(AB)[(ABAB)(ABAB)]故所求值為0.53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.()()()()()()(【解】由(PABC)PAPBPCPABPACPBCPABC)3P(A)3[P(A)]291613P（A）<1,故P（A）=1.故P(A)或,按題設(shè)4454.設(shè)兩個(gè)相與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相24互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率等，求P（A）.1【解】P(AB)P(AB)1P(AB)①9P(AB)P(AB)②故故P(A)P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(B)③由A,B的獨(dú)立性，及①、③式有191P(A)P(B)P(A)P(B)12P(A)[P(A)]2324P(A)或P(A)（舍去）332即P（A）=.355.隨機(jī)地向半圓0<y<2axx2(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于π/4的概率為多少？1【解】利用幾何概率來求，圖中半圓面積為πa2.陰影部分面積為2π4a1a222故所求概率為π12aa22112πp412πa256.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】設(shè)A={兩件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}C24P(B|A)P(AB)C2110P(A)C5261-C21057.設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名從中先后抽出兩份.表分別為3份、7份和5份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】設(shè)Ai={報(bào)名表是取自第i區(qū)的考生}，i=1,2,3.Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.則P(A)1,i1,2,33iP(B|A)3,P(B|A)7,P(B|A)51015251112131375293(1)pP(B)P(B|A)()i31015259011i1P(BB)(2)qP(B|B)12P(B)2123而P(B)P(B|A)P(A)22iii11782061()3101525903P(BB)P(BB|A)P(A)2121iii1137785202()31091514252492P(BB)20961q故21P(B)2619058.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小.(2006研考)解：因?yàn)镻(AB)P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(B)所以P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A).59.60.習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.【解】X3,4,5P(X3)10.1C353P(X4)0.3C35C2435P(X5)0.6C故所求分布律為XP3450.10.30.6162.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函數(shù)并作圖；(3)3P{X1},P{1X},P{1X3},P{1X2}.222【解】X0,1,2.P(X0)C322.3513C315P(X1)C1C212.2C1335315P(X2)C11.13C33515故X的分布律為XP02211221353535（2）當(dāng)F（x）=P（X≤x）=0x<0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)=2235當(dāng)0≤x<1時(shí)，當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=3435當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1故X的分布函數(shù)0,x022,0x13534F(x),1x2351,x2(3)17P(X1)F(),1222352P(1X3)F(3)F(1)03434223535P(1X3)P(X1)P(1X)3122235341P(1X2)F(2)F(1)P(X2)10.35353.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3.P(X0)(0.2)30.008P(X1)C10.8(0.2)20.0963P(X2)C2(0.8)20.20.3843P(X3)(0.8)30.512故X的分布律為X00.008123P0.0960.3840.512分布函數(shù)0,x00.008,0x1F(x)0.104,1x20.488,2x3x31,P(X2)P(X2)P(X3)0.8964.（1）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP{X=k}=a，k!λ0其中k=0，1，2，…，＞為常數(shù)，試確定常數(shù).a（2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，試確定常數(shù)a.【解】（1）由分布律的性質(zhì)知k1P(Xk)aaek!k0k0故ae18(2)由分布律的性質(zhì)知1P(Xk)NNaaNk1k1即a1.概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：5.甲、乙兩人投籃，投中的（1）兩人投中次數(shù)相等的概率;（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率.、、乙投中次數(shù)，則X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)【解】分別令XY表示甲)0,Y0)(1,Y1)(2,YPXPX2)(1)P(XYP(XP(X3,Y3)(0.4)3(0.3)3C10.6(0.4)2C10.7(0.3)2+33C2(0.6)20.4C2(0.7)20.3(0.6)3(0.7)3330.32076(2)P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X3,Y2)C10.6(0.4)2(0.3)3C2(0.6)20.4(0.3)333(0.6)3(0.3)3C2(0.6)20.4C10.7(0.3)233(0.6)3C10.7(0.3)2(0.6)3C2(0.7)20.333=0.2436.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許某一時(shí)刻飛機(jī)需立即一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X~b(200,0.02)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N條跑道，則有P(XN)0.01200即Ck(0.02)k(0.98)200k0.01200kN1利用泊松近似np2000.024.19e44k0.01P(XN)k!kN1查表得N≥9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b（1000，0.0001）P(X2)1P(X0)P(X1)1e0.10.1e0.18.已知在五重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則C1p(1p)4C2p2(1p)355故p131210所以P(X4)C4().43324359.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1）進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2）進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（1）設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，0.3）5P(X3)Ck(0.3)k(0.7)5k0.163085k3(2)令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，0.3）7P(Y3)Ck(0.3)k(0.7)7k0.352937k310.某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（1）求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒收到呼救的概率；（2）求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】（1）P(X0)e23(2)P(X1)1P(X0)1e5211.設(shè)P{X=k}=Ckpk(1p)2k,k=0,1,22P{Y=m}=Cmpm(1p)4m,m=0,1,2,3,44分別為隨機(jī)變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=5，試求P{Y≥1}.9205P(X1)4.【解】因?yàn)镻(X1)，故99而P(X1)P(X0)(1p)2故得即(1p)24,9p1.3從而P(Y1)1P(Y0)1(1p)4650.802478112.某教科書出版了2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000冊(cè)書中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算,np20000.0012P(X5)e22得50.00185!3113.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗(yàn)首次成功所44需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】X1,2,,k,13P(Xk)()k144P(X2)P(X4)P(X2k)()(1)2k11313343444441315441(1)2414.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn)每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率（2）保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.在一年中;.【解】以“年”為單位來考慮.（1）在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500×12=30000元.X，則X~b(2500,0.002)，則所求概率為設(shè)1年中死亡人數(shù)為P(2000X30000)P(X15)1P(X14)λ==5于由n很大，p很小，np，故用泊松近似，有21e55k0.000069P(X15)1k!k0(2)P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)P(300002000X10000)P(X10)e5510k0.986305k!k0即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P(300002000X20000)P(X5)P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000）e555k0.615961k!k0即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為∞<x<+∞,f(x)=Ae|x|,求：（1）A值；（2）P{0<X<1};(3)F(x).1）由f(x)dx1得【解】（1Ae|x|dx2Aexdx2A0故A1.2(2)p(0X1)11exdx1(1e1)220(3)當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)1exdx1exx22當(dāng)x≥0時(shí)，F(xiàn)(x)x1edx012exdx02x1exdx|x|211ex21ex,x02()Fx故11exx0216.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為100,x100,2f(x)=x0,x100.求：（1）在開始150小時(shí)內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2）在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3）F（x）.【解】（1）P(X150)150100dx1.x23100p[P(X150)]3()382327112(2)pC1()2334923(3)當(dāng)x<100時(shí)F（x）=0當(dāng)x≥100時(shí)F(x)xf(t)dt100f(t)dtf(t)dtx100100dt1100xt2x1001100,x100故()Fxx0,x017.在區(qū)間［0，a］上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù).【解】由題意知X~∪[0,a]，密度函數(shù)為1,0xaf(x)a0,其他故當(dāng)x<0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x≤a時(shí)F(x)f(t)dtf(t)dtx1dtxaxx00a當(dāng)x>a時(shí)，F(xiàn)（x）=1即分布函數(shù)0,x00xaxaxF(x),a1,18.設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布觀測(cè)值大于3的概率X~U[2,5]，即.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的.【解】1,2x5f(x)30,其他23P(X3)513dx233故所求概率為2122027pC2()C3()32333331X（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布E().某519.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知X~E(1)，即其密度函數(shù)為515xe,x0f(x)50,x0該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為P(X10)1edxe2x5105Y~b(5,e2),即其分布律為P(Yk)Ck(e2)k(1e),k0,1,2,3,4,525k5P(Y1)1P(Y0)1(1e2)50.5167有兩條路可走.第一N（40，102）；第二條路程較長(zhǎng)，N（50，4）.（1）若火車開車只有1小時(shí)，20.某人乘汽車去火車站乘火車，X服從條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間但阻塞少，所需時(shí)間X服從2動(dòng)身時(shí)離問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（2）又若離火車開車時(shí)間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1）若走第一條路，X~N（40，102），則P(X60)Px406040(2)0.977271010若走第二條路，X~N（50，42），則P(X60)PX5060504(2.5)0.9938++4故走第二條路乘上火車的把握大些.（2）若X~N（40，102），則P(X45)PX40454010(0.5)0.69151024若X~N（50，42），則4X5045504(1.25)P(X45)P1(1.25)0.1056故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)X~N（3，22），（1）求P{2<X≤5}，P{4<X≤10}，P{｜X｜＞（2）確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.2}，P{X＞3};23X353【解】（1）P(2X5)P222121(1)(1)120.841310.69150.532843X3103P(4X10)P22272270.9996P(|X|2)P(X2)P(X2)PX323X323P222212251512210.691510.99380.6977P(X3)P(X333-2)1(0)0.52(2)c=322.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）X~N（10.05,0.062）,規(guī)定長(zhǎng)度在10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.X10.050.12P(|X10.05|0.12)P0.06【解】0.061(2)(2)2[1(2)]0.045623.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X（小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200＝≥0.8，允許最大σ不超過多少？25120160X160200160P(120X200)P【解】40404010.82故4031.251.2924.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為ABex,x0,(0),F（x）=0,x0.（1）求常數(shù)A，B；（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；（3）求分布密度f(wàn)（x）.limF(x)1A1【解】（1）由limF(x)limF(x)得xB1x0x0（2）P(X2)F(2)1e2P(X3)1F(3)1(1e3)e3ex,x0(3)f(x)F(x)0,x025.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為x,0x1,1x2,其他.2x,f（x）=0,求X的分布函數(shù)F（x），并畫出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x<0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x<1時(shí)F(x)()dfttftt()df(t)dtx0x0tdtx2x20當(dāng)1≤x<2時(shí)F(x)f(t)dtx260f(t)dt1ftt()dxf(t)dt011ttdx(2t)dt0112xx32222x22x12當(dāng)x≥2時(shí)F(x)f(t)dt1x0,x0x2,0x12F(x)故x22x1,1x221,x226.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為（1）f(x)=ae,λ>0;||xbx,0x1,(2)f(x)=1,1x2,x20,其他.試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）.1a2a1）由f(x)dx1知edx2aexdx【解】（||x0故a2ex,x022即密度函數(shù)為fx()exx0當(dāng)x≤0時(shí)F(x)f(x)dxexdx1exxx22當(dāng)x>0時(shí)F(x)f(x)dx0exdxx02exdxx211ex2故其分布函數(shù)11ex,x021ex,F(x)x021bxdx21dxb1(2)由1f(x)dx1x2b=122得0即X的密度函數(shù)為x,0x11f(x),1x2x20,其他當(dāng)x≤0時(shí)F（x）=0當(dāng)0<x<1時(shí)F(x)xf(x)dx0f(x)dxxf(x)dx0x2xxdx20當(dāng)1≤x<2時(shí)F(x)xf(x)dx00dx1xdxx1dxx120312x當(dāng)x≥2時(shí)F（x）=1故其分布函數(shù)為0,x0x2,0x12F(x)31,1x22x1,x227.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)，（1）=0.01，求z;（2）=0.003，求z，z./2【解】（1）P(Xz)0.01即即故1(z)0.01(z)0.09z2.33（2）由P(Xz)0.003得1(z)0.00328(z)0.997即查表得z2.75由P(Xz)0.0015得/21(z)0.0015/2即(z)0.9985/2查表得z2.96/228.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為21013XPk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9P(Y0)P(X0)15P(Y1)P(X1)P(X1)11761530P(Y4)P(X2)15P(Y9)P(X3)1130故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3029.設(shè)P{X=k}=(1)k,k=1,2,…,令21,當(dāng)X取偶數(shù)時(shí)Y1,當(dāng)X取奇數(shù)時(shí).求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)(1)2(1)4(1)2k222(1)/(1)1144323P(Y1)1P(Y1)2930.設(shè)X~N（0，1）.（1）求Y=e的概率密度；X（2）求Y=2X+1的概率密度；2（3）求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1）當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)(y)P(Yy)0Y當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)(y)P(Yy)P(exy)P(Xlny)Ylnyf(x)dxX故f(lny)11eln2/2,y0f(y)dF(y)1yYdyyy2πYx(2)P(Y2X211)1當(dāng)y≤1時(shí)F(y)P(Yy)0Y當(dāng)y>1時(shí)F(y)P(Yy)P(2X21y)Yy1P2y1Xy1PX222(y1)/2(y1)/2f(x)dxXd12y1y1fy故()YF(y)Yffdy4y122XX1212y12πe(y1)/4,y1(3)P(Y0)1當(dāng)y≤0時(shí)F(y)P(Yy)0Y當(dāng)y>0時(shí)F(y)P(|X|y)P(yXy)Yyf(x)dxXy故f(y)dF(y)f(y)f(y)dyYYXX2ey2/2,y02π3031.設(shè)隨機(jī)變量（1）Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2）Z=2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù)X~U（0,1），試求：.1)11）(0X【解】（P故P(1YeXe)1當(dāng)1時(shí)F(y)P(Yy)0yY當(dāng)1<y<e時(shí)F(y)P(eXy)P(Xlny)Ylnydxlny0當(dāng)y≥e時(shí)F(y)P(eXy)1Y即分布函數(shù)0,y1F(y)lny,1yeY1,ye故Y的密度函數(shù)為11yef(y)y,Y0,其他（2）由P（0<X<1）=1知P(Z0)1當(dāng)z≤0時(shí)，F(xiàn)(z)P(Zz)0Z當(dāng)z>0時(shí)，F(xiàn)(z)P(Zz)P(2lnXz)ZP(lnXz)P(Xez/2)2dx1ez/21ez/2即分布函數(shù)0,1-e-z/2,z0z0F(z)Z故Z的密度函數(shù)為1ez/2,z0f(z)Z20,z03132.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為2x,0xπ,f(x)=π20,其他.試求Y=sinX的密度函數(shù).1)1Y【解】P(0當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)(y)P(Yy)0Y當(dāng)0<y<1時(shí)，F(xiàn)(y)P(Yy)P(sinXy)YP(0Xarcsiny)P(πarcsinyXπ)2xdxπarcsinyπ2arcsiny2xdxππ201（arcsiny）21-π1（π-arcsiny）2π22π2arcsiny當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)(y)1Y故Y的密度函數(shù)為21,0y11y2f(y)πY0,其他33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下：1F(x),x(1),1x2(2),x(3).試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】Fx由lim()1知②填1。x由右連續(xù)性limF(x)F(x)1知x0，故①為0。00xx0+從而③亦為0。即1,x02x0F(x)1x1,34.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.32【解】設(shè)A={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)}。（i=1,2）,P(Ai)=1.且A1與A2相互獨(dú)立。再i6設(shè)C={每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)}。則P(C)P(AA)P(A)P(A)P(A)P(A)12121211111166663611X服從參數(shù)為的幾何分布。36故拋擲次數(shù)35.隨機(jī)數(shù)字序列要多長(zhǎng)才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?n個(gè)數(shù)字，則【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含X~b(n,0.1)P(X1)1P(X0)1C0(0.1)0(0.9)n0.9n即得(0.9)n0.1n≥22即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。36.已知0,x0,F（x）=x,0x1,1221,x1.2則F（x）是（）隨機(jī)變量的分布函數(shù)（A）連續(xù)型；（B）離散型；（C）非連續(xù)亦非離散型..∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且limF(x)0F（x）在（limF(x)1,所以F（x）是一個(gè)分布函數(shù)?！窘狻恳?yàn)閤x但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦C）X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在[a,b]等于（）非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。選（37.設(shè)在區(qū)間[a,b]上，隨機(jī)變量[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間(A)[0,π/2];(C)[π/2,0];π(B)[0,π];(D)[0,3π].2【解】在[0,]上sinx≥0，且π/2sinxdx1.故f(x)是密度函數(shù)。20在[0,π]上πsinxdx21.故f(x)不是密度函數(shù)。033在[π,0]上sinx0，故f(x)不是密度函數(shù)。πxπ時(shí)，sinx<0，f(x)也不是密度函數(shù)。2在[0,π]上，當(dāng)332故選（2A）。38.設(shè)隨機(jī)變量X~N（0，σ），問：當(dāng)σ取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率2最大？1X3X~N(0,2),P(1X3)P()【解】因?yàn)?1()()令g()利用微積分中求極值的方法，有g(shù)()(13321())()231e2112222e1/229/2122e1/22[13e8/220]令得24,則20ln3ln30又g()002故為極大值點(diǎn)且惟一。ln302故當(dāng)時(shí)X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。ln339.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)種物品的概率為p，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)Y的分布X服從泊松分布P（λ），每個(gè)顧客購(gòu)買某入商店的顧客購(gòu)買這種物品的人數(shù)律.【解】P(Xm)em,m0,1,2,m!設(shè)購(gòu)買某種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即P(Yk|Xm)Ckpk(1p),k0,1,,mmkm由全概率公式有P(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)mk34meCkpk(1p)mkmm!mkmek!(mk)!pk(1p)mkmke(p)[(1p)]mkkk!(mk)!mk(p)kee(1p)k!(p)kep,k0,1,2,k!此題說明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購(gòu)買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀.40.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：2XY=1e在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布.【證】X的密度函數(shù)為2e2x,x0f(x)X0,x0由于P（X>0）=1，故0<1e2X<1，即P（0<Y<1）=1當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)0<y<1時(shí)，F(xiàn)(y)P(Yy)P(e2x1y)YP(X1ln(1y))212ln(1y)2e2xdxy0即Y的密度函數(shù)為1,0y1f(y)Y0,其他即Y~U（0，1）41.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1,0x1,32,3x6,f(x)=90,其他.若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍.【解】由P（X≥k）=2知P（X<k）=1(2000研考)3335若k<0,P(X<k)=0若0≤k≤1,P(X<k)=k1dxk10333當(dāng)k=1時(shí)P（X<k）=131dxk0dx1若1≤k≤3時(shí)P（X<k）=133011