第1章流體力學(xué)的基本概念

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流體力學(xué)是研究流體的運動規(guī)律及其與物體相互作用的機理的一門專門學(xué)科。本章敘述在以后章節(jié)中經(jīng)常用到的一些基礎(chǔ)知識，對于其它基礎(chǔ)內(nèi)容在本科的流體力學(xué)或水力學(xué)中已作介紹，這里不再敘述。

連續(xù)介質(zhì)與流體物理量

連續(xù)介質(zhì)

流體和任何物質(zhì)一樣，都是由分子組成的，分子與分子之間是不連續(xù)而有空隙的。例如，常溫下每立方厘米水中約含有3×1022

個水分子，相鄰分子間距離約為3×10－8

厘米。因而，從微觀結(jié)構(gòu)上說，流體是有空隙的、不連續(xù)的介質(zhì)。

但是，詳細(xì)研究分子的微觀運動不是流體力學(xué)的任務(wù)，我們所關(guān)心的不是個別分子的微觀運動，而是大量分子“集體”所顯示的特性，也就是所謂的宏觀特性或宏觀量，這是因為分子間的孔隙與實際所研究的流體尺度相比是極其微小的。因此，可以設(shè)想把所討論的流體分割成為無數(shù)無限小的基元個體，相當(dāng)于微小的分子集團，稱之為流體的“質(zhì)點”。從而認(rèn)為，流體就是由這樣的一個緊挨著一個的連續(xù)的質(zhì)點所組成的，沒有任何空隙的連續(xù)體，即所謂的“連續(xù)介質(zhì)”。同時認(rèn)為，流體的物理力學(xué)性質(zhì)，例如密度、速度、壓強和能量等，具有隨同位置而連續(xù)變化的特性，即視為空間坐標(biāo)和時間的連續(xù)函數(shù)。因此，不再從那些永遠(yuǎn)運動的分子出發(fā)，而是在宏觀上從質(zhì)點出發(fā)來研究流體的運動規(guī)律，從而可以利用連續(xù)函數(shù)的分析方法。長期的實踐和科學(xué)實驗證明，利用連續(xù)介質(zhì)假定所得出的有關(guān)流體運動規(guī)律的基本理論與客觀實際是符合的。

所謂流體質(zhì)點，是指微小體積內(nèi)所有流體分子的總體，而該微小體積是幾何尺寸很?。ǖh(yuǎn)大于分子平均自由行程）但包含足夠多分子的特征體積，其宏觀特性就是大量分子的統(tǒng)計平均特性，且具有確定性。

流體物理量

根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)模型，任一時刻流體所在空間的每一點都為相應(yīng)的流體質(zhì)點所占據(jù)。流體的物理量是指反映流體宏觀特性的物理量，如密度、速度、壓強、溫度和能量等。對于流體物理量，如流體質(zhì)點的密度，可以地定義為微小特征體積內(nèi)大量數(shù)目分子的統(tǒng)計質(zhì)量除以該特征體積所得的平均值，即

V

M

VV??=?→?'lim

ρ（1-1）

式中，M?表示體積V?中所含流體的質(zhì)量。按數(shù)學(xué)的定義，空間一點的流體密度為

V

M

V??=→?0

lim

ρ（1-2）

由于特征體積'

V?很小，按式（1-1）定義的流體質(zhì)點密度，可以視為流體質(zhì)點質(zhì)心（幾何點）的流體密度，這樣就應(yīng)予式（1-2）定義的空間點的流體密度相一致。為把物理概念與數(shù)學(xué)概念統(tǒng)一起來，方便利用有關(guān)連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)工具，今后均采用如式（1-2）所表達的流體物理量定義。所謂某一瞬時空間任意一點的物理量，是指該瞬時位于該空間點的流體質(zhì)點的物理量。在任一時刻，空間任一點的流體質(zhì)點的物理量都有確定的值，它們是坐標(biāo)點),,(zyx和時間t的函數(shù)。例如，某一瞬時空間任意一點的密度是坐標(biāo)點),,(zyx和時間t的函數(shù)，即

),,,(tzyxρρ=（1-3）

描述流體運動的兩種方法

描述流體運動的方法有拉格朗日（Lagrange）法和歐拉（Euler）法。

拉格朗日法

拉格朗日法是以個別的流體運動質(zhì)點為對象，研究這些指定質(zhì)點在整個運動過程中的軌跡以及運動要素隨時間變化的規(guī)律。各個質(zhì)點運動狀況的總和就構(gòu)成了整個流體的運動。這種方法又稱為質(zhì)點系法。

在某直角坐標(biāo)系0xyz中，將0tt=時的某流體質(zhì)點在空間的位置坐標(biāo)),,(cba作為該質(zhì)點的標(biāo)記。在此后的瞬間t，該質(zhì)點),,(cba運動到空間位置),,(zyx。不同的質(zhì)點在0t時，具有不同的位置坐標(biāo)，如),,(cba'''、),,(cba''''''……，這樣就把不同的質(zhì)點區(qū)別開來。同一質(zhì)點在不同瞬間處于不同位置；各個質(zhì)點在同一瞬間t也位于不同的空間位置。因而，任一瞬時t質(zhì)點),,(cba的空間位置),,(zyx可表為

??

?

??

===),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx

(1-4a)

式中cba,,稱為拉格朗日變數(shù)。若給定式中的cba,,值，可以得到某一特定質(zhì)點的軌跡方程。將某質(zhì)點運動的空間位置的時間歷程描繪出來就得到該質(zhì)點的跡線。

將式（1-4a）對時間t取偏導(dǎo)數(shù)，可得該流體質(zhì)點在任意瞬間的速度u在zyx,,軸向的分量

?

?????

???=??==??==??=

),,,(),,,(),,,(tcbautzutcbautyutcbaut

xuzzyyxx（1-5a）

若坐標(biāo)用ix表示，3,2,1=i，即用321,,xxx代替zyx,,；用iu，即321,,uuu，代替

zyxuuu,,；用kx0，3,2,1=k，即030201,,xxx，代替cba,,；則式（1-4a）~(1-5a)可寫

為

),(0txxxkii=（1-4b）

),(0txut

xukii

i=??=

（1-5b）對于某一特定質(zhì)點，給定cba,,值，就可利用式（1-4）~(1-5)確定不同時刻流質(zhì)點的坐標(biāo)和速度。

歐拉法

歐拉法是以考察不同流體質(zhì)點通過固定的空間點的運動情況來了解整個流動空間內(nèi)的流動情況，即著眼于研究各種運動要素的分布場。這種方法又叫做流場法。

采用歐拉法，流場中任何一個運動要素可以表示為空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，流速是隨空間坐標(biāo)),,(zyx和時間t而變化的。因而，流體質(zhì)點的流速在各坐標(biāo)軸上的投影可表示為

?

?

?

??

===),,,(),,,(),,,(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx（1-6a）

或

),(txuukii=（1-6b）

式中3,2,1,=kxk，代表自變量zyx,,。若令上式中zyx,,為常數(shù)，t為變數(shù)，即可求得在某一空間點),,(zyx上，流體質(zhì)點在不同時刻通過該點的流速變化情況。若令t為常數(shù)，

zyx,,為變數(shù)，則可求得在同一時刻，通過不同空間點上的流體質(zhì)點的流速分布情況（即流

速場，velocityfield）。

流速v

是一個矢量，所以流速場是一個矢量場。流速雖是流動的一個重要參數(shù)，但只有

流場不足以完全說明流動的全部情況，還應(yīng)知道其他表達流動的各個參數(shù)的分布情況。一個標(biāo)量，如流體的密度ρ，溫度T等，在空間和時間上的連續(xù)分布就成為一個標(biāo)量場。應(yīng)力ijσ是一個二階張量，所以應(yīng)力在空間和時間上的分布是一個張量場。表述流動的各種場的綜合成為流場（flowfield），如流速場t)z,y,(x,v

，密度場),,,(tzyxρ等。

質(zhì)點的加速度公式和隨體導(dǎo)數(shù)

質(zhì)點加速度公式

質(zhì)點加速度是質(zhì)點速度向量隨時間的變化率。在Lagrange法中是以單個流體質(zhì)點作為研究對象，因此位移函數(shù)（1-4）式對時間求二次偏導(dǎo)數(shù)可得流體質(zhì)點的加速度a在各軸向的投影：

?

???

???

??=??==??==??=),,,(),,,(),,,(22

22

22tcbaatz

atc

baaty

atc

baatx

azzyyxx（1-7a）

或

),(022txat

xakii

i=??=（1-7b）

歐拉法不追蹤質(zhì)點運動而著眼于流場，由速度場)t,x(u,ki計算),(txk處的質(zhì)點加速度

ia時必須求出該質(zhì)點在tδ時間內(nèi)的速度增量，在求其極值，即

t)

t,x(u)tt,xx(ulim

akikki0x0tiiδδδδδ-++=

→→（1-8）

式中kxδ是質(zhì)點在tδ時間內(nèi)的位移。利用Taylor’sSeries展開，則

)xt,x,t(O)t

ut()xux()t,x(u)tt,xx(uk2

k2xitkik

kikkikδδδδδδδδ+??+??+=++略去高階微小量，所以

tk

ikxixitkik

kikki)xu

(x)tu(t)tut()xux()t,x(u)tt,xx(ukk??+??=??+??=-++δδδδδδ代入式(1-8)，得

t

xxutuak

kiiiδδ??+??=

注意到ixδ是質(zhì)點位移，因而

kk

tut

xlim

=→δδδ則得歐拉法描述流體質(zhì)點加速度的表達式

k

ikiixu

utua??+??=

（1-9a）或?qū)憺?/p>

3

i32i21i1iixu

uxuuxuutua??+??+??+??=

（1-9b）以矢量表示為

v)v(t

va??+??=（1-9c）

在直角坐標(biāo)系下，加速度表述為

?

?????

???

??+??+??+??==??+??+??+??==??+??+??+??==

zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduaz

uuyuuxuutudtduazzzyzxzzyyzyyyxyyyxzxyxxxxx（1-9d）

以上三式中等號右邊第一項

tux??、tuy??、t

uz

??表示在每個固定點上流速對時間的變化

率，稱為時變加速度（當(dāng)?shù)丶铀俣龋５忍栍疫叺牡诙椫恋谒捻椫?/p>

zuuyuuxuuxzxyxx

??+??+??、zuuyuuxuuyzyyyx??+??+??、z

uuyuuxuuzzzyzx??+??+??是表示流速隨坐標(biāo)的變化率，稱為位變加速度（遷移加速度）。因此，一個流體質(zhì)點在空間點上

的全加速度應(yīng)為上述兩加速度之和。

質(zhì)點的隨體導(dǎo)數(shù)

將推導(dǎo)加速度公式的方法推廣到質(zhì)點上任意物理量的增長率的計算，引出質(zhì)點的隨體導(dǎo)數(shù)的概念。質(zhì)點攜帶的物理量隨時間的變化率稱為質(zhì)點的隨體導(dǎo)數(shù)，用Dt

D

表示。在歐拉法描述中的任意物理量Q的質(zhì)點隨體導(dǎo)數(shù)表述如下：

k

kxQ

utQDtDQ??+??=（1-10）式中，),(txQQk=可以是標(biāo)量、向量或張量。質(zhì)點導(dǎo)數(shù)公式對任意物理量都成立，故將質(zhì)點隨體導(dǎo)數(shù)的運算符號表示如下：

k

kxutDtD??+??=（1-11a）或

3

32211xuxuxutDtD??+??+??+??=（1-11b）其中，

t??

稱為局部隨體導(dǎo)數(shù)，k

kxu??稱為對流隨體導(dǎo)數(shù)，即在歐拉法描述得流動中，物理

量的質(zhì)點隨體導(dǎo)數(shù)等于局部隨體導(dǎo)數(shù)與對流隨體導(dǎo)數(shù)之和。

體積分的隨體導(dǎo)數(shù)

上面講了質(zhì)點的隨體導(dǎo)數(shù)，研究流體運動，還需要考慮由流體質(zhì)點組成的物質(zhì)線、物質(zhì)面和物質(zhì)體。因為在流體質(zhì)點組成的線、面、體上，往往定義有某種物理量，如物質(zhì)線上的速度環(huán)量，物質(zhì)面上的渦通量，物質(zhì)體上的質(zhì)量、動量、動能等。在流動過程中，連續(xù)的物質(zhì)線、面、體隨時間而不斷改變其位置和形狀，且將繼續(xù)維持其連續(xù)性。同時，定義在這些線（面、體）上的物理量也隨時間而不斷變化著。描述這種變化過程就是這些線積分、面積分、體積分的隨體導(dǎo)數(shù)。其中，體積分的隨體導(dǎo)數(shù)公式在建立流體力學(xué)基本方程時經(jīng)常用到，推導(dǎo)如下。

考慮一個由流體質(zhì)點組成的以S為界的流動體積V（圖1-1）。設(shè))t,r(

φ是V內(nèi)定義的標(biāo)量函數(shù)，體積V內(nèi)φ的總量為

?V

dVφ。在運動過程中，組成體積V的流體質(zhì)點不斷地改

變它的位置，因此流體質(zhì)點組成的體積V也不斷地改變著它的大小和形狀。此外，在體積V中取值的標(biāo)量函數(shù)φ在運動過程中也改變著它的數(shù)值。由此可見，上述積分在不同的瞬間將有不同的數(shù)值。上述體積分的變化過程將由該積分的隨體導(dǎo)數(shù)?VdVdt

d

φ來描述。

圖1-1體積分的隨體導(dǎo)數(shù)（圖中的γ符號換為V）

設(shè)t時刻的體積為V，其表面積為S。過了t?時段以后，即在tt?+時刻，表面上的流體質(zhì)點由于存在著速度的法向分量，在法線方向移動了tun?的距離。設(shè)tt?+時隔立體的表面積為)(ttS?+、體積為)(ttV?+。根據(jù)隨體導(dǎo)數(shù)的定義，我們有

????????????-+=???+→)

(0),(),(1limttVVtVdVtrdVttrtdVdtd????φφφ令VVttV??+=+)(，于是，上式改寫為

[]{}

?

??++-+=→V

V

tV

dVttrdVtrttrtdVdtd?????),(),(),(1lim

0φφφφ（1-12）

上式表明，體積分的變化由兩部分組成：右邊第一項所代表的，即標(biāo)量函數(shù)φ隨時間t所引起的變化。這部分變化可由下式表示為

???VdVtφ

（1-13）

第二部分的變化是由于流動，體積變化V?所引起的。從圖1-1可以看出，體積的變化

可表示為

tdSudVn?=

其中dS為表面S中的微小面積，nu是法線n方向的速度投影。于是，上式右邊第二部分可寫為

dSutrdSuttrdVttrtnsnVstt???=?+=?+??→?→?),(),(lim),(1

lim

00φφφ（1-14）將式（1-13）和（1-14）代入式（1-12），得體積分的隨體導(dǎo)數(shù)公式

???+??=VSnVdSudVtdVdtdφφφ(1-15a)依同理可得矢量a

的體積分的隨體導(dǎo)數(shù)公式

???+??=V

VSndSudVtdVdtd(1-16a)從上式可得重要結(jié)論，體積分的隨體導(dǎo)數(shù)由兩項組成：第一項是函數(shù)φ（或）對時間的偏導(dǎo)數(shù)沿體積V的積分，它是由標(biāo)量場（或矢量場）的非恒定性所引起的；第二項是函數(shù)φ（或）通過表面S的通量

dSuS

n

?φ（或dSu

S

n

?），它是由于體積V的改變引起的。

應(yīng)用高斯公式（奧高定理）

?

?=V

S

ndSadVadiv

(1-17)

式（1-15a）和（1-16a）也可寫為

dVvdivDtDdV)v(divtdSudVtdVdtdVVVSnV???????

????+=??????+??=+??=φφ

φφφφφ

(1-15b)

???????

?

??+=??????+??=+??=VVVVSndV)vdivaDtaDdV)va(divtadSaudVtadVadtd

(1-16b)

式（1-15）和式（1-16）在流體力學(xué)應(yīng)用很廣，有時也稱之為運輸定理（transporttheorem）。

流體微團運動分析

亥姆霍茲速度分解定理

剛體運動的形式只有平移和轉(zhuǎn)動，流體因為具有易流動性，極易變形，所以任一流體微團在運動過程中，不僅與剛體一樣會發(fā)生平移和轉(zhuǎn)動，而且還會發(fā)生變形運動。

定理：流場)t,x(uji中微團上任意一點的運動可以分解為平動、旋轉(zhuǎn)和變形三部分之和。

證明如下：任取一流體微團，其上的參考點ojx在時間t的速度)t,x(uuojioi=，同一時刻，在流體微團上距點ojx為jxδ任一質(zhì)點jx，jojjxxxδ+=，的速度

)t,xx(uujojiiδ+=。

利用Taylor’sSeries展開，則

)x(Oxxu

xxuxxu)t,x(u)t,xx(u2j33

i22i11iojijojiδδδδδ+??+??+??+

=+略去高階微小量，則有

jj

i

oijixxuu)t,x(uδ??+

=（1-20）其中

j

i

xu??是一個二階張量，可以進一步分解一個對稱張量和反對稱張量之和，即)xuxu(21)xuxu(21xui

j

jiijjiji??-??+??+??=??（1-21）

上式右端第一項用ijD表示，是對稱張量，它有六個獨立分量；第二項用ijR表示，是反對稱張量，有三個獨立分量。因為

jiji

ijijjiijD)xuxu(21)xuxu(21D=??+??=??+??=

jij

i

ijijjiijR)xuxu(21)xuxu(21R-=??-??-=??-??=

因此，亥姆霍茲速度分解定理（Helmholtzvelocitydecomposingtheorem）的數(shù)學(xué)表達式為

jijjijoijix)R(x)D(u)t,x(uδδ++=（1-22）

變形率張量

對于腳標(biāo)zyxji,,3,2,1,或=，寫出ijD的所有分量，則

????????

?

???

???

?

??????+????+????+

??????+????+????+????=zu)

zuyu(21)zux

u(21)yuzu(21yu)yuxu(21)xuzu(21)xuyu(21xuDzyzxzzyyx

yz

xyxxij令

)z

uyu(21),yuzu(21)zuxu

(21),xuzu(21)y

uxu(21),xuyu(21z

u,

yu,x

uyzzyzyyz

xzzxzxxzxyyxyxxyz

zzy

yyx

xx??+??=??+??=??+??=??+??=??+??=??+??=??=

??=

??=εεεεεεεεε或?qū)憺?/p>

)xuxu(21i

j

jiij??+??=ε（1-23）

則

????

?

?????=3332312322

211312

11εεεεεεεεεijD（1-24）其中iiε表示所在方向的線性變形率，其余jiij≠,ε，為角變形率。ijD稱為變形率張量。

旋轉(zhuǎn)角速度

同理，對于腳標(biāo)zyxji,,3,2,1,或=，寫出ijR的所有分量，則

????????

?

???

???

?

????-????-????-

????-????-????-??=0)zuyu(21)zux

u(21)yuzu(210)yuxu(21)xuzu(21)xuyu(210Ryzxzzyx

yz

xyxij令

?

??

?

???

??

??-??=??-??=??-??=)zuyu

(21)xuzu(21)yuxu(

21yzxzxyxyzωωω（1-25a）

或?qū)憺?/p>

)xuxu(

21j

i

ijk??-??=ω（1-25b）

則

???

?

?

????

?---=00

0Rx

yxz

yzijωωωωωω（1-26）

其中，zyzωωω,,為流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度，顯然，ijR是一反對稱張量。ijR亦可寫為

kijkijRωε-=（1-27）

由以上分析得知，在亥姆霍茲速度分解定理的數(shù)學(xué)表示式（1-22）中，oiu表示平動；

jijxDδ)(表示變形，包括線變形和角變形，jijxRδ)(表示旋轉(zhuǎn)。

流體微團有無旋轉(zhuǎn)對流動分析的影響很大，流體微團有無旋轉(zhuǎn)成為流動分類的一個重要

指標(biāo)。流體微團沒有旋轉(zhuǎn)的流動，稱為無旋流動(irrotationalflow)，或稱無渦流動，亦稱有勢流動(potentialflow)。流體微團有旋轉(zhuǎn)的流動，稱為有旋流動(rotationalflow)，亦稱有渦流動。

下面舉例說明微團旋轉(zhuǎn)的概念。

例1-1設(shè)有兩塊平板，一塊固定不動，一塊在保持平行條件下作直線等速運動。在兩塊平板之間裝有粘性液體。這時的液體流動稱為簡單剪切流動，如圖1-2所示。其流速分布為cyux=，0=yu，其中0≠c。試判別這個流動是勢流還是有渦流

解：02

1)(21≠-=??-??=

cyuxuxyzω故該流動為有渦流。盡管質(zhì)點都作直線運動，流線也都是平行直線，在表觀上看不出有

旋轉(zhuǎn)的跡象。

圖1-2簡單剪切流動

例1-2從水箱底部小孔排水時，在箱內(nèi)形成圓周運動，其流線為同心圓，如圖1-3所時，流速分布可表示為

0c,y

xcx

u,yxcyu2

2y22x≠+=+-

=試判斷該流體運動是勢流還是有渦流

解：??

?

???+--+-=??-??=222

2222222)()()()(2c)(21yxxyyxxyyuxuxyzω除原點)0,0(==yx外0=zω，該流動為勢流。盡管質(zhì)點沿圓周運動，但微團并無繞其自身軸的轉(zhuǎn)動。

圖1-3水箱底部小孔排水時同心圓流線

渦量與環(huán)量

渦量

流體運動可以分為有旋運動和無旋運動，當(dāng)流體的旋轉(zhuǎn)角速度不為0，即ω≠0時，流體的運動是有旋的；當(dāng)ω=0時,流體的運動是無旋的。所以判斷流體是無旋流動還是有旋流動,應(yīng)根據(jù)流體微團本身是否旋轉(zhuǎn),而與微團運動的軌跡并無關(guān)系。

流體的旋轉(zhuǎn)角速度可以用張量式表示如下

???

?

????-??=jiijkxuxu21ω（1-28）其中腳標(biāo)k表示流體運動平面的法線方向。

流體力學(xué)中多采用渦量(vorticity)來描述流體微團的旋轉(zhuǎn)。定義旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍為渦量，即

kkω2=Ω（1-29a）

渦量是一矢量，它與旋轉(zhuǎn)的平面垂直，其方向的正負(fù)按右手法則確定，如圖1-4所示。寫成矢量形式

vrotvvcurl=??==Ω（1-29b）

在流場中，渦量是位置和時間的函數(shù)，即

)t,z,y,x(kkΩΩ=（1-30）

如同流速場描述質(zhì)點的運動情況，渦量場則表達流體微團的旋轉(zhuǎn)情況。

用流線用來描述流場，同樣，可用與流線類似的渦線來描述渦量場。在某一瞬間,在流場中繪制的處處與渦矢量相切的曲線稱為渦線(vortexline)。渦線一般不與流線重合，但相交，如圖1-5所示。渦線微分方程與流線微分方程類似,可表示為

z

yxdzdydxΩ=Ω=Ω（1-31）以渦線為側(cè)壁的管段稱為渦管(vortextube)。渦管里面繞同一旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)著的流體稱為渦束或渦絲(vortexfilament)。

圖1-4渦量矢量（圖中改ω為Ω）圖1-5渦線（圖中改ω為Ω）

速度環(huán)量

分析帶旋轉(zhuǎn)的流體運動常要用到速度環(huán)量的概念。速度沿封閉曲線的積分稱為速度環(huán)量(circulation),通常用Γ表示

??=L

ld

Γ（1-32）

在直角坐標(biāo)系下為

dzudyudxuzL

yx++=Γ?（1-33）

斯托克斯定理

環(huán)量與渦量之間由斯托克斯（Stokes）定理聯(lián)系。斯托克斯定理表述為：沿包圍單連通域的有限封閉周線的速度環(huán)量，等于穿過此連通域的渦量通量。數(shù)學(xué)表述如下

????=?L

S

ldvdsn

Ω（1-34）

式中，S為表面積，L為周線長度。上式說明通過面的渦通量等于沿邊界的速度環(huán)量。Stokes定理應(yīng)用很廣，它把一個面積分和一個線積分聯(lián)系在一起。

在直角坐標(biāo)系下，式（1-34）表述為

()()()ds

z,ncosyuxuy,ncosxuzux,ncoszuyudzudyu

dxuSxyZxyzzy

L

x

??????

?????????????-??+???

????-??+????????-??=

++（1-35）

圖1-7環(huán)量與渦量

應(yīng)力張量

實際流體具有粘滯性。由于粘滯性的存在，有相對運動的各層流體之間將產(chǎn)生切應(yīng)力。因此，在運動的實際流體中，不但有壓應(yīng)力，而且還有切應(yīng)力。如在運動流體中任一點A取垂直于z軸的平面（圖1-8），則作用在該平面上A點的表面應(yīng)力并非沿內(nèi)法線方向，而是傾斜方向的。表面應(yīng)力在x、y、z三個軸向都有分量：一個與z平面成法向的正應(yīng)力zzp；兩個與z平面成切向的切應(yīng)力zxτ及zyτ。壓應(yīng)力和切應(yīng)力的第一個下標(biāo)表示作用面的法線方向，即表示應(yīng)力作用面與那個軸垂直；第二個下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向，即表示應(yīng)力作用方向與那個軸平行。同樣在垂直于y軸平面上，作用的應(yīng)力有yyp、yxτ、yzτ；在垂直于x軸的

平面上，作用的應(yīng)力有xxp、xyτ、xzτ。這樣，任一點在三個互相垂直的作用面上的應(yīng)力共有9個分量，其中三個壓應(yīng)力xxp、yyp、zzp和六個切應(yīng)力xyτ、xzτ、yxτ、yzτ、zxτ、zyτ。

寫成矩陣形式

???

?

?

?????=??????????=zzzy

zx

yzyy

yxxzxy

xx

ppppppppppppPττττττ3332

31

232221

1312

11（1-36a）

或壓應(yīng)力與切應(yīng)力均用統(tǒng)一符號ijp表示，表述如下

????

?

?????==3332

31

232221

131211

ppppppppppPij（1-36b）稱為應(yīng)力張量(stresstensor)，它是一個二階張量，而且yxxyττ=，zyyzττ=，xzzxττ=（證明見后）。因此，應(yīng)力張量是一個對稱張量。

圖1-8垂直于z軸平面上A點的表面應(yīng)力

下面討論切應(yīng)力和壓應(yīng)力的特性。1.切應(yīng)力的特性

切應(yīng)力互等定律，即作用在兩互相垂直平面上且與該兩平面的交線相垂直的切應(yīng)力大小都是相等的。表述如下：

yxxyττ=，zyyzττ=，xzzxττ=（1-37）

證明如下：在實際流體中取一微小六面體，邊長dx、dy、dz，各表面的應(yīng)力如圖1-9所示。對通過六面體中心點S并平行于x軸的軸線取力矩，因質(zhì)量力通過中心點S，則得

2

1

)(2121)(2

1

=???+-?-???+

+?dydxdzdyydydxdzdzdxdydzzdzdxdyyzyzyzzy

zyzyττττττ忽略三階以上的微量，則

0dxdydzdxdydzyzzy=-ττ

于是得

yzzyττ=

同理，可以證明xzzxyxxyττττ==及。

圖1-9實際流體微小六面體各表面的應(yīng)力分量

2.壓應(yīng)力的特性

壓應(yīng)力的大小與其作用面的方位有關(guān)，三個相互垂直方向的壓應(yīng)力一般是不相等的，即

zzyyxxppp≠≠。但從幾何關(guān)系上可以證明，同一點上，三個相互垂直面的壓應(yīng)力之和，

與那組垂直面的方位無關(guān)，即)(zzyyxxppp++值總保持不變。在實際流體中，任何三個互相垂直面上的壓應(yīng)力的平均值定義為動水壓強，以p表示，則

)ppp(3

1

pzzyyxx++=（1-38）

因此，實際流體的動水壓強也只是位置坐標(biāo)和時間的函數(shù)，即),,,(tzyxpp=。

一般規(guī)定，切應(yīng)力的方向與坐標(biāo)軸一致時為正；法向應(yīng)力的方向與作用面的外法線一致時為正，與作用面的內(nèi)法線一致時為負(fù)，即壓應(yīng)力為負(fù)。

牛頓流體的本構(gòu)方程

把應(yīng)力張量ijp與變形速率張量ijε聯(lián)系起來的方程稱為本構(gòu)方程(constitutiveequation)。

滿足切應(yīng)力與剪切變形線形關(guān)系的流體為牛頓流體。一般的牛頓流體有水，空氣，油等。本節(jié)只討論不可壓縮牛頓流體中應(yīng)力張量與變形速率張量的關(guān)系。

1.切應(yīng)力與流速變化的關(guān)系

因變形和速度變化有關(guān)，所以切應(yīng)力與流速變化有關(guān)。由牛頓內(nèi)摩擦定律可知，在二維平行直線流動中，切應(yīng)力的大小表述為

dt

ddyduxyxθ

μμ

τ==即切應(yīng)力與剪切變形速度（即角變形率）成比例。這個結(jié)論可以推廣到三維情況。由流體微團運動分析知，xoy平面上的角度形率為

)(21y

uxux

yxy??+??=ε

這是微團的角變形率，而實際上的直角變形率dtdθ應(yīng)為上式的兩倍。所以

)(

y

ux

ux

yyx??+

??=μτ同理，對三個互相垂直的平面上均可得出

?????

????????+??==??+??==??+??==)xuz

u()zuyu()yux

u(zx

zx

xzyzyzzyxyxyyxμττμττμττ（1-39a）

這就是粘性流體中切應(yīng)力的普遍表達式，稱為廣義的牛頓內(nèi)摩擦定律。以張量的形式表述為

)ji,3,2,1j,i(,

2pijij≠==με（1-39b）

2.法向應(yīng)力與線變形率的關(guān)系

各個方向的法向應(yīng)力可以認(rèn)為等于動水壓強p加上一個附加應(yīng)力，即

zzzzyyyyxxxxppppppppp'+-='+-='+-=,,

這些附加應(yīng)力可以認(rèn)為是由于粘滯性所引起的相應(yīng)結(jié)果，因而和流體的變形有關(guān)。因為粘性的作用，流體微團除發(fā)生角變形外，同時也發(fā)生線變形，即在流體微團的法線方向上有相對的線變形率

z

uxuz

x??????、、yuy，使法向應(yīng)力（壓應(yīng)力）的大小與理想流體相比有所改變，產(chǎn)生附加壓應(yīng)力。在理論流體力學(xué)中可以證明，對于不可壓縮均質(zhì)流體，附加壓應(yīng)力與線變形率之間有類似于式（1-39）的關(guān)系，即

z

u

pyupxupzzzyyyxxx

??-=??-=??-=μμμ2,2,2'''

式中，負(fù)號是因為當(dāng)x

ux??為正值時，流體微團是伸長變形，周圍流體對它作用的是拉力，xx

p'應(yīng)為負(fù)值；反之，當(dāng)x

ux?