線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)的數(shù)學描述

線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)的數(shù)學描述第一頁，共四十頁，2022年，8月28日2.1.2傳遞函數(shù)矩陣及有關定義第二頁，共四十頁，2022年，8月28日第三頁，共四十頁，2022年，8月28日2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.2.1狀態(tài)與狀態(tài)空間完全地表征系統(tǒng)時間域行為的一個最小內(nèi)部變量組稱為動力學系統(tǒng)的狀態(tài)。組成這個變量組的變量

稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，其中

為初始時刻。由狀態(tài)變量構成的列向量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，簡稱為狀態(tài)。狀態(tài)向量取值的向量空間稱為狀態(tài)空間。第四頁，共四十頁，2022年，8月28日一個動態(tài)系統(tǒng)的任意選取的兩個狀態(tài)變量組之間為線性非奇異變換的關系。1.狀態(tài)變量組可以完全表征系統(tǒng)行為;2.狀態(tài)變量組的最小性體現(xiàn);3.狀態(tài)變量組在數(shù)學上的特征體現(xiàn);4.狀態(tài)變量組包含了系統(tǒng)的物理特征.第五頁，共四十頁，2022年，8月28日2.2.2動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第六頁，共四十頁，2022年，8月28日第七頁，共四十頁，2022年，8月28日第八頁，共四十頁，2022年，8月28日第九頁，共四十頁，2022年，8月28日2.2.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

與相關概念第十頁，共四十頁，2022年，8月28日

對于系統(tǒng)的為系統(tǒng)的輸入解耦零點；

稱滿足

的為系統(tǒng)的輸出解耦零點；

稱滿足稱滿足

的為系統(tǒng)的傳輸零點。第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日，輸出變量取為電阻的端電壓。例考查圖所示的簡單電路，電路各組成元件的參數(shù)值未已知，輸入變量取為電壓源第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日和流經(jīng)電感的電流iL作為電路的

狀態(tài)變量。第二步：列出原始電路方程運用電路定律，可列出圖中左、右兩個回路的電路方程為第一步：確定狀態(tài)變量根據(jù)電路理論可知，此電路最多有2個線性無關的變量；因此，可選取獨立儲能元件的變量，即電容端電壓第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日，所以可將上述方程改寫為只包含未知變量和考慮到規(guī)定為狀態(tài)變量，并有和的方程組和第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日第三步：導出狀態(tài)方程首先，以和為待定變量求解上述聯(lián)立方程，得到第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日進而，將其表為向量方程的形式，就導出了此電路的狀態(tài)方程第四步：導出輸出方程根據(jù)電路的關系式，有將其改寫后即可得到此電路的輸出方程第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日2.3兩種描述形式的比較及相互轉(zhuǎn)換2.3.1兩種描述形式的比較1.使用的數(shù)學方法不同;2.對于復雜系統(tǒng):用系統(tǒng)辨識方法容易系統(tǒng)的傳遞函數(shù),而辨識系統(tǒng)完整的狀態(tài)方程各測量方程有時做不到;3.傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論實現(xiàn)分析和綜合的基礎,狀態(tài)空間方法是現(xiàn)代控制理論中系統(tǒng)設計的基礎。傳遞函數(shù)僅描述輸入-輸出關系（外部特性）。第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日，由點A到點B之間平行板電容的兩端電壓為例2.3.1對于圖2.3.1所示的網(wǎng)絡系統(tǒng)，設系統(tǒng)的輸入電流為，輸出電壓為。由點C到D之間平行板電容的兩端電壓為流經(jīng)電阻電感的電流為。顯然，。由Kirchhoff電流定律得出再由Kirchhoff電壓定律得第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日于是得到系統(tǒng)得狀態(tài)方程和量測方程為由此看出，它是一個三階系統(tǒng)。這個系統(tǒng)的特征方程為第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日另一方面，我們?nèi)菀浊蟮迷撓到y(tǒng)得傳遞函數(shù)為它所代表得是一個穩(wěn)定得二階系統(tǒng)。第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日2.3.2化輸入-輸出描述為

狀態(tài)空間描述第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日例2.3.2給定系統(tǒng)得輸入—輸出描述為則利用式第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日即可定出相應得一個狀態(tài)空間描述為第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日例2.3.3給定系統(tǒng)得輸入—輸出描述為則利用式第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日即可定出其相應得一個狀態(tài)空間描述為第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日給定系統(tǒng)得輸入—輸出描述為先利用式定出第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日從而由式即可導出相應得狀態(tài)空間描述為第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日2.3.3化狀態(tài)空間描述為傳遞函數(shù)描述線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

并且，當時為真的，當時為嚴格真的，且有

第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日2.4線性系統(tǒng)的代數(shù)等價性已知兩個同維的由式：和式：表示的線性定常系統(tǒng)如果存在一個適當階的定?？赡婢仃嘝，使得的系統(tǒng)參數(shù)矩陣滿足式則稱系統(tǒng)為代數(shù)等價的。第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日同一線性定常系統(tǒng)的兩個不同的狀態(tài)空間描述為代數(shù)等價的。2.4.2代數(shù)等價系統(tǒng)的公有屬性

相互代數(shù)等價的線性定常系統(tǒng)具有相同的特征多項式，特征方程和極點。

相互代數(shù)等價的線性定常系統(tǒng)具有相同的輸入解耦零點，輸出解耦零點和傳輸零點。

相互代數(shù)等價的線性定常系統(tǒng)具有相同的傳遞函數(shù)

第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日2.5復合系統(tǒng)的數(shù)學模型2.5.1子系統(tǒng)并聯(lián)的情形第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十六頁，共四十