第09講 高考難點突破一：圓錐曲線的綜合問題（定點問題） 精講（解析版）-2023年高考數(shù)學一輪復習

第09講高考難點突破一：圓錐曲線

的綜合問題（定點問題）（精講）

目錄

第一部分：典型例題剖析

題型一：橢圓中的定點問題

角度1：橢圓中的直線過定點問題

角度2：橢圓中存在定點滿足某條件問題

題型二：雙曲線中的定點問題

角度1：雙曲線中的直線過定點問題

角度2：雙曲線存在定點滿足某條件問題

題型三：拋物線中的定點問題

角度1：拋物線中的直線過定點問題

角度2：拋物線存在定點滿足某條件問題

第二部分：高考真題感悟

第一部分：典型例題剖析

題型一：橢圓中的定點問題

角度1：橢圓中的直線過定點問題

典型例題

22

例題1.（2。22?江西上饒?高二期末（文）汨知橢圓》＞叱…）的一個頂點為。（。/），

離心率為孝.

（1）求橢圓的方程：

（2）過橢圓右焦點且斜率為的直線，”與橢圓相交于兩點A8,下軸交于點E,線段

A3的中點為P,直線/過點E且垂直于。P(其中。為原點)，證明直線/過定點.

【答案】(l)《+y2=l(2)證明見解析

4

(1)依題意，3=6,3"=4c2又匕=1,=〃+c2,.-.c2=3,.'.a2=4：.橢圓的標準方程為

a2

X2,

-=1.

(2)由(1)知行焦點坐標為(6,0),設直線"?方程為尸女1-石)，4(百，弘)，8(馬，％)由

《+2-1r2

4+

'一得，(1+4%2卜2-87^2》+12*-4=0,.-x+x

y=k(x_E)I-1+小

與二^7,力一百)=一芭4直線OP的斜率%=%=-[,.?.直線/的斜率

1+4/Xp4k

k產(chǎn)4k,令x=0得點、E坐標為(0,-G&)，，直線/的方程為y=4點一上%,即y=%(4x-，

直線為亙過定點

-><>

例題2.(2。22?北京市十一學校高二期末)已知橢圓C：%*(。>。>。)右焦點為

尸(c,0),8(0,b)為橢圓的上頂點，。為坐標原點，/處。=?且△F80的周長為3+8)

O

是橢圓上一動點，M是直線工=4上一點，且直線PM〃x軸.

⑴求橢圓。的方程：

(2)記直線PF與橢圓另一交點為Q,直線QM是否過x軸上一定點？若是，求出該定點：若

否，請說明理由.

【答案】⑴《+$=1；(2)過定點N仔,01.

43U)

⑴解：因為橢圓的右焦點為*G0),8(0⑼為橢圓的上頂點，且/即。=9

6

所以tanZ.FBO=—=,即。=6c,

b3

又a=\Jb2+c2=2r?Z?+c+a=3+,s/3,

解得c=l,a=2,6=6,

22

所以橢圓方程為三+2=1;

43

⑵尸(1,0),易知直線PQ斜率為0時,，QM為x軸，

則若。M過定點，則定點位于x軸上，

當直線尸。斜率不為0時,設PQ：x=〃9+l,

x=my+\

—.—，得(3病+4)/+6陽一9=0,

)T+T=1

設尸(％,y)，Q(々，％)，M(4,y),

Mll6m9

則y+%=-%=-q2;，

+43〃i+4

所以直線QM的方程為y-y=手匹(苫-4),

4一/

令"0,得x=4-止?=4-正”0,

乂一必/一為

因為叫?必=-嬴==5匹+%)，

所以x=4_：=g，

22

故直線QM過定點N(|,o]

例題3.(2022?安徽?合肥工業(yè)大學附屬中學高二期末)已知橢圓C:]+/=l(“>6>0)的

離心率為正，一個焦點6與拋物線y2=_4夜x的焦點重合.

2

⑴求橢圓C的方程；

⑵若直線/：尸船+〃?交C于48兩點，直線KA與關(guān)于A軸對稱，證明：直線/恒過一

定點.

22

【答案】⑴三+二=1：(2)詳見解析.

42

⑴由丁=-4&x,可得耳卜及,0),

???c=JL又離心率為巫，

2

；?。=2,Z?2=2,

V22

...橢圓C的方程為二+二v-=1.

42

⑵設A(X1,yJ,8(孫％)，

y=kx-\-m

由<fy2IJJ*得（2公+1）/+4mkx+2nr-4=0,

—+—=

42

A=（4時-4（2^+l）（2/n2-4）>0,可得病<2+4/,

4mk2m2-4

由直線與68關(guān)于x軸對稱，

%+褊=。，即：'逮+—777=°.

1

'x,+V2x2+\/2

/.y（w+后）+%（%+6）=（kx、+機）（%2+&）+（丘2+"?）（玉+及）=0,

即2kxyX?+（夜R+M（x+9）+26相=0,

2kx2w~~4+（0&+--]+20m=0,

2公+1I2k2+\）

可得％=2&h

所以直線/方程為y=k（x+2夜），恒過定點（-2V2,0）.

同類題型歸類練

22

1.（2022.全國?高三專題練習）橢圓亍+,=1,過點尸（1,0）的直線AB和CQ相互垂直（斜

率存在），M、N分別是AB和C。的中點.求證：直線MN過定點.

【答案】證明見解析

由題意可知,設AB直線為y=?（x-l）,M（X|，x）,4（%2，%）,5（&,%）,則

因為M分別是48的中點，所以玉=七玉,,=匹/，

k

KOM—一—；，K~

xlx2+x3x2-x3

因為AB在橢圓￡+21=1上，

43

所以，4一,由①-②，得互二五+之上2；=0,即

MV?…43

22

X2-X,4『1號+毛x2-x34,

所以'kAH=-'=&,"=-'，

4x}4

4k之

”=_3X.=-------7

3+4匕,時4無2-3k

■玉4,解得，

-3k3+4/'3+4公

y=k&-l)y'-3+4&2

（1）當&=0時，M點即是尸點，此時，直線A/N為x軸.

1（43〃、

（2）當時，將上式M點坐標中的左換成-不，同理可得N.

k13《+43/+4J

3k-3k

①當直線MN不垂直于x軸時，直線MN的斜率k=3￡+43：昔，=了,

MN44k4（1"）

3H一"正

其方程尸-由3k二7k^^（上4k由21.化簡得Ik（4^1

直線MN過定點（5，°）.

②當直線MN垂直于x軸時，;=4匕此時，4=±1,直線MN也過定點信,01.

3k:+43+4%2<7）

綜上所述，直線A/N過定點（*（））.

2.（2022?全國?高三專題練習）已知橢圓亍+3=1，點尸（4,0）,過點P作橢圓的割線PAB,

C為8關(guān)于x軸的對稱點.求證：直線AC恒過定點.

設A（5，X）,3仇,必），則C（x?,-%）,

設AC與x軸的交點為M(租,0),AP=APB.AM=pMC'

x+/JX

4_%+m=t2

1+41+M

由定比分點公式坐標公式得:

0J+年()=%一"

1+21+〃

即玉+/1々=4(1+4)①，%+2%=°②，百+4/=〃?(1+4)③，乂_〃%=0④，

由②④得2=-，(§)

43

?.?點A、8在橢圓上，得，2■ji2

4X2+4%_22

43,

兩式相減得…小一

將①②代入上式得xt-Ax2=\-A?

x：+W

43將③④代入上式同理可得為+〃X,=空±0⑦

?.?點A、C在橢圓上,

2)22m

-------------1---------------U,

43

對比⑤⑥⑦得機=1,故直線AC恒過定點（1,0）.

3.（2022?陜西?千陽縣中學高三階段練習（文））橢圓”：［+耳=1（4>6>0）的左頂點為

ab"

A（-2,0）,離心率為1.

2

⑴求橢圓M的方程；

⑵己知經(jīng)過點（0,#）斜率存在的直線/交橢圓M于aC兩點，。是直線x=T上一點.若

AD=BC，求直線/的方程.

［答案］⑴：+/=1⑵"w或y=*x+坐或y=-坐x+9

422222

a=2,

（1）解：由題意得山=￡=g

解得從=1.

a2

b2=a2-c2

所以橢圓”的方程為!+丁=「

⑵解:設/:y="+亭,

由,y_/得（1+4&2）7+4限”1=0

X2+4;/=4

△=（4園『+40+4攵2）=4065+1）>0.

=-

設B（x，y）,。（毛,%）'則芭+x2=_---77V,

1+4《1+4K

所以歸一對=Ja+vf-4不巧=?

由而=而，知禺-3|=|為-引，即2,4（16爐+1）,

\+4k2

解得爐=o或4，所以％=。或％=±正.

22

所以，直線/的方程為尸無或尸也x+走或產(chǎn)一立x+且.

22222

4.（2022.陜西漢中?高二期末（文））在平面直角坐標系九0），中，已知點A（<0）,5（4,0）,

3

M是一個動點，且直線AM,8M的斜率之積是-二，記M的軌跡為區(qū)

（1）求E的方程；

（2）若過點尸（2,0）且不與x軸重合的直線/與E交于P,。兩點，點P關(guān)于x軸的對稱點為勺

（片與。不重合），直線6Q與x軸交于點G,求點G的坐標.

【答案】⑴3《=1（"0）⑵（8,0）

lo12

（1）設〃（x,y）,則直線AM的斜率為旨，直線BM的斜率為士，

???工7,17=-［，整理得］+4=1（"。），

x+4x—441612

故E的方程為33=1（y*°）,

⑵由題意知，過點”的直線尸。的斜率存在且不為0,可設其方程為無="+2,

設尸（%,%），。（%,%）,則耳（％f）,

22

將x=my+2代入土+工=1,得（3，"2+4））*+\2my-3f>=0.

1612'

則△=（12〃Z）2+4X36（3加2+4）>0,

\2m36

M+>2=一.2H，必必==2：-

3m+4zl3m+4

y+y,x-x,

則直線PQ方程為七'=一L,

tx+y超一占

22

乂(*2-斗)工丫_加)'"當一>0

+my+2=叼跖一/%+陽跖+沖I+2

令"0,則工=■十%二]

%+x%+x

、2+y

c-36

c2mx——-------

=網(wǎng)逅+2=一含3+2=8,

%+%12w

3療+4

???點G的坐標為（8,0）.

角度2：橢圓中存在定點滿足某條件問題

典型例題

29

例題1.(2023?全國?高三專題練習)已知橢圓C:￡+￡=l(a>b>0)的兩焦點分別為

片(—1,0)和6(1,0),短軸的一個端點為(0,6).

(1)求橢圓C的標準方程和離心率；

(2)橢圓。上是否存在一點P,使得PaLPF??若存在，求耳心的面積；若不存在，請

說明理由.

22

【答案】⑴土+l=1;⑵不存在，理由見解析.

43

⑴由焦點坐標知c=l,由短軸端點(0,6)知b=G，所以/=6+°2=3+1=4,故所求

22

橢圓標準方程為上r+二v=1.

43

(2)假設橢圓C卜一存在一點尸(%,%),使得？耳，尸鳥，則

[X：+y=1

所方=(T-%-%).(1-0)=0,即片+笳=1,聯(lián)立￥_+￡_]，得x；=-8,此

方程無解.故橢圓上不存在點P,使得尸石，P8.

(2022?北京市十一學校高二期末)已知橢圓C：4+y2

例題2.Ca>h>0)的右頂點

a

為A(2,0),且為其上一點.

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)8是橢圓。上異于左右頂點的一點，線段A8的中垂線交丁軸于點。，且為等邊

三角形，求8點橫坐標.

【答案】⑴匕+y2=l，e=；(2)5點橫坐標-'!?.

427

（1）由題設，?+'=1,又乎）在橢圓上，則:+磊=1，可得〃=1,

2

所以橢圓C的方程二+>2=1,故離心率為e=，/一"=3.

4-a2

⑵令3（見〃）且〃二0,則AB中點為（竺上2,/）,中垂線斜率％=-g，

22n

......r?nm-2,"7+2、nr+n2-4

故線r段nAB的中垂/IX線為7=------（x-----）,故。（0,---------）,

2n22n

又△AB￡>為等邊三角形,即|AO|=|A8|,

22A2

所匕匚以l、l（/-〃-~-+--加-~-—--4）c—+4A=（/m-2c\）2~+/T）,I口I.n-2=1i--機--,

2n4

210

整理得21”?2-64機-20=（7〃?+2）（3，*-10）=0,而相=一亍或機=§（舍），

所以1=竺，即〃=±逑，

497

當8（。竽）時，。（。，-羊），經(jīng)驗證為等邊三角形，滿足題設；

當次-1一華）時，D（0,雪）,經(jīng)驗證△M￡>為等邊三角形，滿足題設；

2

所以3橫坐標為-

22

例題3.（2022?河南許昌?高二期末（文））已知雙曲線。：5-5=1（“〉0/>0）的離心率

cTb

為逐，右焦點E與點”（0,26）的連線與其一條漸近線平行.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）經(jīng)過點尸的直線/與雙曲線C的右支交于點A、B,試問是否存在一定點P,使

NOPA=NO朋恒成立，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴f一號=1（2）存在，P（冬0）

（1）設尸（c,0）,由條件知網(wǎng)0的斜率等于

a

即一2加二上,又?.?e=￡=逐，c2=<72+b2,

caa

■.Z?—2?—1,

???雙曲線C的方程為：x2-^=l.

4

⑵存在點P滿足NOPA=NOPB恒成立，且點P在工軸上.

理由如下:設點尸(7,0),,??/過點?(6,0),設直線/:x=ay+石，

x=my+小

由(y2，消去不得(4根2-1)/+8石畋+16=0,A=64(〃/+l)>0,

x---=1

4

設4萬,凹),B(x29y2)

由韋達定理得%+力=-2空，①，另?必=若:②

4機-14加—1

???ZOPA=ZOPB,B4、PB的斜率之和為0,

即+；j廣0,因為％=刃［+百，%2=my2+\/5,

所以代入整理得：2陽/%+(石—)(X+%)=°，③

將①②代入③可得3^_8鬲(盧-/)=o,即8,”(6_1)=0,④

4/7I2-14/n2-l

???④式對任意實數(shù)加都成立，.?1=4，

P吟,0),即存在點P滿足NOPA=NOPB恒成立，且點尸在x軸上.

同類題型歸類練

22

1.(2023?全國?高三專題練習)已知橢圓C：=+3=l(a>b>0)的左右頂點分別為A(-2,0),

ab

3

4(2,0),右焦點為F,點7(1,5)在橢圓上.

(1)求楠圓C的標準方程；

(2)戶為橢圓上不與A，4重合的任意一點，直線AP，4P分別與直線X=4相交于點M,N,求

證：FM1FN.

22

【答案】⑴三+匕=1(2)證明見解析

43

(1)由題知：。=2,將點7(1,彳3)代入方程得：:1+舒9=1'解得從=3,???橢圓C的標準

方程為《+鵬=1.

43

22

(2)由⑴知c=1,F(I,O).設尸(%,%)，則二+%_=1,直線AP的方程為y-%=三口-%),

43%+2

令x=4,則加=鼻，即M(4,&、)，直線4尸的方程為丫一為二尺^》-%),令x=4,

%+2x0+2/一2

貝UW=-^4,即N(4,FMFN=(3,-^L).(3,^-)=3x3+x

七一2x0-2%)+2%—2x()4-2x()-2

=9?12.y；q:2x3(1-3I。0:.兩工而，即尸M_LFM

V-4題2-4

22

2.（2023?全國?高三專題練習）已知橢圓￡:夕+斗=1（a>〃>（））的左右頂點是雙曲線

C2:[-y2=1的頂點，且橢圓G的上頂點到雙曲線C?的漸近線距離為邛5.

⑴求橢圓q的方程;

（2）點F為橢圓的左焦點，不垂直于x軸且不過F點的直線/與曲線G相交于A、B兩點，若

直線必、FB的斜率之和為0,則動直線/是否一定經(jīng)過一定點？若存在這樣的定點，則求

出該定點的坐標：若不存在這樣的定點，請說明理由.

22

【答案】⑴2+2=1;⑵存在，（-4,0）.

43

⑴雙曲線。2：亍-y=i的頂點坐標為（？20）,漸近線方程為x±2y=0,

\2b\2x/15…,r-

依題意，a=2,橢圓上頂點為（0力）到直線尤±2y=0的距離=解得，=g,

V55

o2

所以橢圓的方程為三+匯=1.

43

⑵依題意，設直線/的方程為尸船+機，A（%,yJ、8（々,必），點尸（T°），

fy2

由斤+石印消去），并整理得（3+4/*+8初ir+4>-12=0,則西+馬=不瞿,

y=kx+m

4m2-12

x-x=

i23+442

y+y_Ax,+m+tn_lkxx+(Z:+m)(x+x)+2m

直線FA.FB的斜率之和為}2K2X2=°,

X]+1x2+1Xj+1x2+1(Xj+l)(X2+l)

即2腦%2+(%+加)(玉+&)+2機=0,有2k?T,2+小+MC+2〃?=0,整理得m=4k,

3+4k3+4k

此時△=64%2〃?2-16(4公+3)(療-3)=48(4%2+3-/)=144(1一4/)，否則0=0,直

線/過F點,

因此當A>0且％W0,即且&H0時，直線/與橢圓C1交于兩點，直線/：

y=k(x+4),

所以符合條件的動直線/過定點（-4,0）.

3.(2022?上海中學東校高二期末)已知橢圓的C的方程：^+4=1.

63

(1)設尸為橢圓c異于橢圓左右頂點A、人上任一點，直線PA的斜率為公，直線P4的斜率

為自，試證明為定值.

(2)求橢圓中所有斜率為1的平行弦的中點軌跡方程.

(3)設橢圓上一點A(2,l),且點M,N在C上，且AMJ.4V,。為垂足.證明：存

在定點Q,使得I狽I為定值.

【答案】(1)-；(2)*+2丫=0(-2342)(3)存在點2仁4),使得00為定值.

⑴設尸小,為)，4卜布,0),4(指,0),因為尸為橢圓C上一點，

所以盤+如1=1,所以姬=3一日，

632

所以K=―=一顯宏,

x0+<6x0—v6

,3_V

所以/q也=%%=%=__2_=_1.

122

'x0+^6x0->/6x()-6x0-62

故KK為定值

(2)設弦的兩個端點分別為尸(％,y),。(々,y2),PQ的中點為M(x,y).

則支■+支=1,①

63

1,②

2097

①減②得:為一々+乂一＞2一=0,

63

N+巧

(乂+%)=0.

63(%-%)

又玉+/=2x,%+丫2=2y,%X=1,；.x+2y=0.

Xy-/

由于弦中點軌跡在已知橢圓內(nèi)，

---+----=I

聯(lián)立63.-.x=±2

x+2y=0

故斜率為2的平行弦中點的軌跡方程：x+2>-=0(-2<x<2)

(3)設點M&,y),N(j%),

若直線MN斜率存在時，設直線MN的方程為：y=h+，”，

代入橢圓方程消去了并整理得：（1+2欠2卜2+4加a+2病-6=0,

2m2-6

可得西+芻=一4km

1+2*2-1+2公

因為4WJL4V,所以麗7.麗=0，即（玉-2）（七-2）+（乂-1）（%-1）=0,

根據(jù)％=3+肛％=依2+加，代入整理可得：

（公+1）中2+^km-k-2）^x]+X2）+（/7?-1）'+4=0,

所以（4+1）蕓[+（版-"2）（一

1?乙K1\II乙K）

整理化簡得（2%+3加+1）（2%+帆—1）=0,

因為A（2,l）不在直線MN上，所以2Z+機-IHO,

故24+3m+l=0,k*l,于是MN的方程為y=（kwl）,

所以直線過定點直線過定點

當直線MN的斜率不存在時，可得N（x，-yJ,

由麗麗=0得：（玉-2）（x,-2）+（y,-l）（-y,-1）=0,

得（占一2）?+l—y：=0,結(jié)合E+]=i可得：3x；-8X1+4=0,

解得：x產(chǎn),或方=2（舍）.

3L

此時直線MN過點「信，-g].

令。為4P的中點，即。

若。與P不重合，則由題設知AP是R^AOP的斜邊，故QQ|=JAP上平，

若D與尸母合，則|OQ|=g|AP|,故存在點°償,使得|區(qū)為定值.

22

4.（2022?上海?格致中學高二期末）已知橢圓C:]+/=l,過定點了（/,0）的直線交橢圓

于RQ兩點，其中fw（O,a）.

(1)若橢圓短軸長為2G且經(jīng)過點求橢圓方程；

(2)對(1)中的橢圓，若t=6，求△OPQ面積的最大值，并求此時直線PQ的方程;

(3)若直線PQ與x軸不垂直，問：在x軸上是否存在點S(s,0)使得NPST=NQST恒成立？如

果存在，求出sj的關(guān)系；如果不存在，說明理由.

22

【答案】(1)三+匯=1

43

(2)4OP。面積的最大值為G，PQ心+近y-3=0或瓜-。-3=。

(3)存在，st=a2

⑴，.?橢圓短軸長為2石，2匕=，解得：〃=G;二.橢圓方程為、■+~^-=1；

a23

+hV-22

???點1’1在橢圓匕41r3解得:4=4,橢圓方程為上+2v_=1.

443

(2)由題意可設直線尸(2：工=沖+百，「(演,乂)，。(9,必)，

?2

三+二=1

由，43得：（3“+4）/+66陽-3=0,A=108m2+12（3/n2+4）＞0,

x=my+G

66m_3

Vi4~y=----：---,%%=-T7，

717273療+43加3+4

,即

3

??.△OPQ面積的最大值為G，此時直線PQ的方程為：、屈+夜y-3=0或6x-夜y-3=0.

(3)，.,直線PQ與x軸不垂直，可設直線PQ:x=/?y+r(加工0),P(%,yj,。(々,必)，

，22

*?)_1

由H一得：(從裙+。2)>2+26療〉+/?2/一〃282=0

x=my+t

2

222222

「?A=4ab(從加2+〃272)〉0,則%+%=_2mtbbt-ab

從M+〃2')"ijrnr+a2

NPST=NQST,???左外+%3=0,即^^+-^=0,

?■?y(W-s)+%(%-s)=。,即y(陽2+f)+%(〃明+f)-s(x+%)=。,

，2M)L%+&-s)(必+%)=0，貝iJ2m-:]_(_$)產(chǎn)"，=,

b^m+a-zb~m~+a~0

:.2mb2[r2-a2-r(r-5)]=0,

,.,m^O,■'-V—a2—?(r-5)=0,則st：/,

\x軸上存在點S(s,O)使得N尸S7=NQS7恒成立，此時“=/

題型二：雙曲線中的定點問題

角度1：雙曲線中的直線過定點問題

典型例題

22

例題1.(2022?江蘇唐二期末)已知雙曲線(?:[-}=1(4〉0,6>0)的離心率為近，兩

條準線間的距離為2夜.

(1)求C的標準方程；

(2)斜率為％的直線/過點(1,0),且直線/與。的兩支分別交于點A,B,

①求攵的取值范圍；

②若。是點8關(guān)于x軸的對稱點，證明：直線AO過定點.

【答案】(1)蘭—片=1；(2)①②證明見解析.

44

「，=也

a=2

(1)由已知得，:可得,

c=2y/2

2?幺=2后

C

2o

又雙曲線中"=/—"2=4,所以C的標準方程為：--^=1.

44

⑵設直線/：y=Mx-l),A(%，x),8(%,%)，

y=k(x-\)

2222

由，42y2消去y可得，(l-k)x+2kx-k-4^0.

-------M1

44

則占+人=吩與,多”士=,4=4/+4(1-/2)伏2+4)=4(4-3用,

1—k1—k

①因為直線與雙曲線交于兩支，所以A〉。且王々<0,,解得:

一1<%<1；

②設AC:y=?"+)2(x-xj+y,令y=0,二'Xf)+9+、?也

占-々X+%y,+y2

2X,X-(X.+X)2(—公一4)+242

=(；2+"一22=鼠一2(L)=4,即直線9過定點EM.

例題2.(2022?安徽?高二期末)設直線％=胴(相>0)與雙曲線C：/一￡=根的兩條

3

漸近線分別交于A,B兩點,且AOAB(。為坐標原點)的面積為G.

(1)求加的值；

⑵與坐標軸不垂直的直線/與C交于M,N兩點，點M關(guān)于x軸的對稱點為AT,F為C

的右焦點，若AT,F,N三點共線，證明：直線/經(jīng)過x軸上的一個定點.

【答案】(1)"?=1(2)證明見解析

(I)雙曲線C：x2-^-=m(，〃>0)的漸近線方程為y=±百x,

不妨設點A在x軸上方，貝ijA,3兩點的坐標分別為(m,45m)和("?，-gm),

所以S^OAB=gmx2#11n=>/3,

解得m=l.

2

⑵由(1)知C：丁―X=l,則尸的坐標為(2,0),

3

設/與X軸交于點(P，0),則，的方程為y=-x—p)(k^O),

設M(XI,y),N(X?,y?).則M'(X|,-X).

y=k(x-p),

2

聯(lián)立4,v,得(3-/)/+292》一伏2P2+3)=。,

卜丁I

由題可知3-廿二0,所以%+々=與仁,王々=駕士.

k—3k—3

因為M',F,N三點共線，所以右/=占

即/,即一兇（巧-2）=丫2（%一2）,

Xj-2x2-2

所以-&（X|-p）（x2-2）=k（x2-p）（XI-2）.

因為以0,所以（芭-p）（x2-2）+（x2-/?）（%-2）=0,

所以2%*2_（0+2）（為+x2）+4p=0,

所以2?&F+34眩+0,

k2-3k2-3

所以2公p+6-2/公-4Pz2+4"-12〃=0

解得P=；，

所以直線/經(jīng)過無軸上的定點（；,0）.

例題3.（2022?廣東深圳?高二期末）已知圓/：卜+26『+/=爭的圓心為加，圓M

（x-2G）-+y2=j的圓心為N,一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡

為曲線C.

⑴求曲線。的方程；

⑵已知點尸（6,3）,直線/與曲線。交于A,B兩點,且蘇.麗=0,直線/是否過定點？若

過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

【答案】（1）［一］=1，xN3；⑵過，（12,-6）.

（1）設圓E的圓心為E（x,y）,半徑為r,

貝1」但閭=『+三，|￡Af|=r-1,所以1fMi-但2=6<|A?V］.

由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M,N為焦點、實軸長為6的雙曲線的右支，

22

所以動圓的圓心E的軌跡方程為工-匯=1,x>3；

93

⑵設B（x2,y2）,直線，的方程為x=叼+f.

由■豆「虧=1"23,得（療一3）>2+2%）+產(chǎn)一9=0,且布一3/0，

x=my+1,

-2mt

故又而,麗=。，所以（占一6乂9一6）+（*-3）（%-3）=0.

%月=一^-

m-3

又再=my}+t,x2=my2+1,

所以PAPB=(/ny,+，一6)(6為+^-6)+(y,-3)(y2-3)

=(/7?+l)y%+(〃江一6加一3)(%+，2)+(/-6y+9

(m2+1)(/-9)-2m/(〃〃一66一3)+(r-12/4-45)(/W2-3)

=--------------------------------------------------------------------=0,

nv-3

即18"?2+3〃?1一產(chǎn)+18，-72=0,又

18療+3皿一/+18，—72=18帆2+3〃江—?-6乂，—12)=(3m+/—6)(6加一，+12)=0,故

，=6%+12或，=-3帆+6.

若/=一3機+6,則直線/的方程為x=m(y—3)+6,

過點P(6,3),與題意矛盾，所以/H-3/M+6,故f=6〃?+12,

所以直線/的方程為x=w(y+6)+12,過點(12,-6).

同類題型歸類練

1.（2022?全國?高三專題練習）在平面直角坐標系xO），中，動點P與定點F（2,0）的距離和

它到定直線/：x的距離之比是常數(shù)之叵，記尸的軌跡為曲線E.

23

⑴求曲線E的方程；

⑵設過點A（右，0）兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點M,N（異于點A），求證：直線

MN過定點.

【答案】（l）￡-y2=i（2）證明見解析

3

⑴解:設P（x,y）,

因為P與定點尸（2,0）的距離和它到定直線/：x的距離之比是常數(shù)苧，

7（%-2）2+/2>/3

所以3一—亍，

X——

化簡得二一3=1,

所以曲線E的方程為[-丁=]

⑵設Mgyi）fNg”）,

當直線MN斜率不存在，直線AM,4V分別為y=x-6,y=-x+/,

r2

分別聯(lián)立了-y2=i,解得M（2石，G）,M2&,-6）,

此時直線MN的方程為x=2&,過點（26，0）；

當直線MN斜率存在時設其方程為、=奴+加，（k0土曲）

3

以2=1

由《3）,消去y得（1一3%2）12一6h加一3機2—3=0,

[y=kx+m

所以△=（-6而）2-4（1-3k2）（-3m23）>0,即>+1—3公>0,

6km-3m2-3

Xy+X=-——7,XX,=-----—,

2-I-3k-「\-3k2

因為AM_LAN,

k

所以L-AN=A?-乎方=-1，即%必=-（演-X/3）（X2