湖北省鄂州市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

鄂州市2021?2022學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)

高一數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)

題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域

內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.已知(l-i)z-2,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.在△A8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,A=45°,C=30°,C=2,則

LR2A/6376

A.V2B.2V2C.--~D.~-~

3.某單位有員工147人，其中女員工有63人.為做某項(xiàng)調(diào)查，擬采用分層抽樣法抽取容量為21的樣本，則

男員工應(yīng)選取的人數(shù)是

A.8B.9C.10D.12

4.設(shè)e為單位向量，"=2,當(dāng)a,e的夾角為《時(shí)，a在e上的投影向量為

1--1-百一

A.—eB.eC.—eD.—e

222

5.某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加圍棋比賽，事件“至少有1名男生”與事件“至少

有1名女生”

A.是對(duì)立事件B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是對(duì)立事件D.不是互斥事件

6.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

A.若加1",m±a,則a_L)B.若/篦〃八，m±a,〃〃/?,則a_L"

C.若znl",m//a,n〃B、則a〃4D.若〃?〃八，m±a,nip,則a〃尸

7.在正方形ABC。中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為C￡的中點(diǎn)，則而=

3—,1—-1—-3—"1—"—?3—,1—?

A.-AB+-APB.-AB+-ADC.-A3+ADD.-AB+-AD

4444242

8.在三棱錐P-A8C中，平面平面ABC.PA=PB=AB=6,ZBAC=90°,AC=2,則三棱錐

P-ABC的外接球的表面積為

A?5〃B.-----C?8兀D.207r

3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.復(fù)數(shù)z滿足（2—3i）-z=（2+3/）（3+2i）,則下列說(shuō)法正確的是

A.z的實(shí)部為3B.z的虛部為2C.z=-3+2iD.|z|=V13

10.2020年前8個(gè)月各月社會(huì)消費(fèi)品的零售總額增速如圖所示，則下列說(shuō)法正確的有

零售總額增速

1~2月3月4月5月6月7月8月月份

A.受疫情影響，1?2月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額明顯下降

B.社會(huì)消費(fèi)品的零售總額前期增長(zhǎng)較快，后期增長(zhǎng)放緩

C.與6月份相比，7月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度有所擴(kuò)大

D,與4月份相比，5月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額實(shí)際增速回升幅度有所擴(kuò)大

11.用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的高之比為1：2,則關(guān)于

上、下兩部分空間圖形的說(shuō)法正確的是

A.側(cè)面積之比為1：2B.側(cè)面積之比為1：8C.體積之比為1：27D.體積之比為1：26

12.在△4BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列條件能判斷△ABC是鈍角三角形的有

A.acosA=bcosBB.AB-BC=2a

C.0二）=--sinC——D.Z?cosC+ccosB=b

ctbsinA+sinB

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若加為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z=根一2+（病一4）20,則|z卜

14.某圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為8的正方形，則該圓柱一個(gè)底面的面積為.

15.已知甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為3和甲和乙是否命中目標(biāo)互不影響，且各次射擊是

45

否命中目標(biāo)也互不影響.若按甲、乙、甲、乙…的次序輪流射擊，直到有一人擊中目標(biāo)就停止射擊，則停止射

擊時(shí)，甲、乙共射擊了四次的概率是.

16.如圖，在△ABC中，BC=BA,BC=3,點(diǎn)p為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PAPC的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（本小題滿分10分）

（1）用擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣做勝負(fù)游戲，規(guī)定：兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)正面或同時(shí)出現(xiàn)反面算甲勝，一個(gè)正面、

一個(gè)反面算乙勝.這個(gè)游戲是否公平？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

（2）若投擲質(zhì)地均勻的三枚硬幣，規(guī)定：三枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)正面或同時(shí)出現(xiàn)反面算甲勝，其他情況算乙勝.這

個(gè)游戲是否公平？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

18.（本小題滿分12分）

己知向量a=（2,2）,h=（—2,x）.

（1）若〃〃求x的值：

（2）若11。一2可，求a與1的夾角的余弦值.

19.（本小題滿分12分）

在①使三棱錐P-A8C體積取得最大值，②族?蕊=3這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答.

如圖1,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P是8C的中點(diǎn),將△然2沿AP翻折形成圖2中的三棱錐,,

動(dòng)點(diǎn)M在棱AC上.

（1）證明：平面平面PM&

（2）求直線MB與平面膽C所成角的正切值的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

20.（本小題滿分12分）

在△ABC中，已知角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2ccosA+2acosC=Z?+2zsin8.

（1）求角A；

（2）若△ABC的面積為上，求。的最小值.

2

21.（本小題滿分12分）

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。是正方形，平面A8CD，平面出8,E,尸分別是線段4。，PB的中點(diǎn),

PA=AB.

證明：

（1）EF〃平面POC；

（2）PB_L平面。EF.

22.（本小題滿分12分）

2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式在北京國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）舉行，某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解

人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽,

滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組［20,25）,

第二組［25,30）,第三組［30,35）,第四組［35,40）,第五組［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，

（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者.

（i）若有甲（年齡38）,乙（年齡40）兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)

抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和3，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別

2

為42和I,據(jù)此估計(jì)這m人中35?45歲所有人的年齡的方差.

鄂州市2021~2022學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)?高一數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

I.A

由題意z=2=/=i+對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,1),在第一象限.故選A.

1-z(l+l)(l-z)2

2.B

2芯

2sin45。

由正弦定理得―』-=2a.故選B.

sinAsinCsin30°

2

3.D

男員工84人，女員工63人，所以當(dāng)樣本容量為21人時(shí)，男員工為些x21=12.故選D.

14

4.B

由題意，4在e上的投影向量為口85。工=&故選B.

5.D

事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”能同時(shí)發(fā)生，即兩名學(xué)生正好一名男生，一名女生，故兩

事件既不是對(duì)立事件也不是互斥事件.故選D.

6.C

A.若加1〃，m±a,則顯然a_L/?,A正確；B.若-n,mLa,則〃_La,又〃〃尸，

則平面/?內(nèi)存在直線c〃“，所以cJ_a.所以B正確；C.若加1〃，m//a,n〃B、則”

/?可能相交，可能平行，C錯(cuò)誤；D.若〃2〃拉，m.La,nl/3則易得a〃尸，D正確.故選C.

7.D

_1/、■—>—*__1（>—?]—?、3

根據(jù)題意得而=&+碼，又AC=A8+A￡）,AE=-^AB，所以A尸=][AB+AQ+/A3j=w

---1----

AB+-AD.故選D.

2

8.C

如圖，取A8的中點(diǎn)E,BC的中點(diǎn)。，連接PE,△以B是等邊三角形，則莊_LAB.因?yàn)槠矫嬉訠_L平面

ABC,平面FABA平面ABC=A8,PEu平面PAB,所以PEL平面ABC,又￡Z）U平面ABC,所以

PEA.ED.過(guò)。作OOJ_平面ABC,則。?！ㄊ珽.因?yàn)镹C43=90°,所以三棱錐尸-ABC的外接球的球

心在力。上，設(shè)球心為。，連接OB,0P,設(shè)外接球半徑為凡由已知PE='gxG=g,BC=

22

=77.8。=巨，0D=JR?」,在直角梯形PEDO中,ED=-AC=\>/?2=12+[1-

2V722

R=尤，所以三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4%R2=4〃x(&y=8%.故選C.

9.BD

由于(2-3?>z=(2+3i)(3+2i),可得z=(2+3i)(3+2i)=旦=13i-(j+3i)+30=_3+2i,

2-3z2-3z(2-3zj(2+3z)

所以z的實(shí)部為-3,成部為2,所以W=—3-2i,,=J(-3『+22=岳.故選2D

10.AB

對(duì)于選項(xiàng)A：由圖可知，1?2月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額名義增速和實(shí)際增速都小于0,所以1?2月份社會(huì)

消費(fèi)品的零售總額明顯下降，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由圖可知，社會(huì)消費(fèi)品的零售總額前期增長(zhǎng)較快，

后期增長(zhǎng)較緩，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由圖可知，6月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度為

(1.8)-(-2.8)=1,7月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度為(一1.1)一(一1.8)=0.7,所以選項(xiàng)C錯(cuò)

誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由圖可知，4月份社會(huì)消費(fèi)品的零售總額實(shí)際增速間升幅度為(-9.1)-(-18.1)=9,5月份

社會(huì)消費(fèi)品的零售總額實(shí)際增速回升幅度為(-3.7)-(-9.1)=5.4,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AB.

11.BD

依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺(tái)，所以小棱錐與原棱錐的底面邊長(zhǎng)之比為1：3,高之比為1：3,

所以小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比為1：9,體積之比為1：27,即小棱錐與棱臺(tái)的側(cè)面積之比為1：8,體積

之比為1：26.故選BD.

12.BC

對(duì)于A,由acosA=Z?cosB及正弦定理，可得sinAcosA=sin3cos3,即sin2A=sin2B,所以2A=28

或2A+2B=不，所以A=B或A+8=2,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A不能判斷；對(duì)于

2

B,由AB-BC=-accosB=2a,得cos8<0,則8為鈍角，故B能判斷；對(duì)于C,由正弦定理生心=，—

c+ba+h

得從+/一々2=一力c?，則COSA=—L,A=—9故C能判斷；對(duì)于D,由。cosC+ccos3=Z?及正弦定

23

理化邊為角，可知sinBcosC+sinCeosB=sinB,即sinA=sin3,因?yàn)锳,3為△ABC的內(nèi)角，所以A=8,

所以△ABC是等腰三角形，故D不能判斷.故選BC.

13.0

加一220

因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小,所以m—2+（〃/-4）為實(shí)數(shù),可得4,解得加=2,則忖=|0|=0.

m1-4=0

14.—

冗

因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為8的正方形，所以該圓柱的底面圓的周長(zhǎng)為其側(cè)面展開(kāi)圖正方形的邊長(zhǎng)2夜,

V2,2

該圓柱底面圓半徑為一，故該圓柱一個(gè)底面的面積S==??

7171

15.—

100

設(shè)事件A表示“甲射擊一次命中目標(biāo)”，事件8表示“乙射擊一次命中目標(biāo)”，則A,8相互獨(dú)立，停止射擊

時(shí)甲、乙共射擊了四次，說(shuō)明甲、乙第一次射擊都未命中，甲第二次射擊未命中，乙第二次射擊命中，此時(shí)的

概率p（而砌=（1_3卜卜」]111

xx-=—.故停止射擊時(shí)，甲、乙共射擊了四次的概率是」一.

\I575100100

16.-1

由題意，設(shè)赤=%前，/le[0,l],所以而=而+威=一麗+成=—%前+就，PC=（l-/l）BC.又

BC=3,BABC=3,所以M=143心+拓）（1—%）3d=—/（1—/L）BW+（1—九）瓦.3d=9

（A2-/l）+3（l-/l）=9/l2-12A+3=3（3/l2-4A+l）=9^/l-1^-1,當(dāng);l=g時(shí)，PA.尸C取得最小值一1.

17.解:

（1）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，對(duì)應(yīng)的樣本空間Q=｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反））.

記事件A,B分別為“甲勝”，“乙勝”，則P（A）=P（B）=；,

???這個(gè)游戲是公平的.

（2）拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，對(duì)應(yīng)的樣本空間Q=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，

正，正）（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）｝.

記事件A,B分別為“甲勝”，“乙勝”。

則叫）=!=;，P（B）=1.

這個(gè)游戲不公平.

18.解：

(1)平面向量a=(2,2),Z?=(-2,x),

若?！▌t2x-2x(—2)=0,

解x=—2.

(2)若a-L(a-2。)，則—2g)=a—2a￡=0,

即(22+22)—2x(2x—4)=0,解x=4.

.-./?=(-2,4),

-;ab2x(-2)+2x4>/10

a與b的夾角的余弦值為,I,?=/:—,-=———.

硼H3k2fT42I。

19.

(1)證明：若選擇①

V三棱錐P-ABC=咚棱錐B-APC，

由于△4PC的面積為定值，所以當(dāng)B到平面APC距離最大時(shí)，三棱錐8-APC體積最大,

即當(dāng)BPJ_平面APC時(shí)，體積有最大值.

因?yàn)锽PU平面PM8,所以平面平面以C.

若選擇②

因?yàn)锳C=AB-ACcosZCAB=2x2xcosZCAB-3,

所以cosNC48=2.

4

在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2ABAC-cosZCAB=2,所以=

因?yàn)镻￥+PC2=BC2,所以PB工PC.

因?yàn)镻3_LQ4,P4r|PC=P且如，PCu平面B4C,所以P8_L平面RIC.

因?yàn)锽Pu平面PMB,所以平面平面處C.

(2)解：因?yàn)锽P_L平面以C,所以/BMP就是直線MB與平面%C所成的角.

記NBMP=e,則tane=空，

PM

又BP=CP=1,AP=V3.

BP1

當(dāng)刊1/=%=。時(shí)，PM最大,tan。最小，此時(shí)tan6=----=7=—；

PM63

…1x73上

當(dāng)P/WLAC時(shí)，PM最小，tan?最大，此時(shí)PM=-------=—,

22

則tan6=%1_2百

PM國(guó)一亍

T

所以直線MB與平面以C所成角的正切值的取值范圍是

20.解:

(1)由正弦定理得2(sinCcos4+cosCsinA)=sinB+2sinAsinB,

:.2sin(C+A)=sinB+2sinAsinB.

*.*A+8+C=TT,

/.sin(C+A)=sinB.

/.sinB-2sinAsin.

在△ABC中，sinBwO,

sinA=L,又OVA<TT,

2

?A7C_p.57c

??A=—----?

66

(2);△ABC的面積為上.

2

?

??S0=-1c,?cs.inA4=—1b,ex1—=1一,

2222

be=2.

由余弦定理得〃=h2+c2—2bccosA=b2+c2—4cosA2Z?c—4cosA=4—4cosA(當(dāng)且僅當(dāng)b=C時(shí)取

等號(hào)).

①若4=工則〃24一4cosA=4-2#=(#-1『(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=JI時(shí)取等號(hào));

6

②若4=K，則a224—4cosA=4+2j5=(G+l)(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時(shí)取等號(hào)).

綜上，若4=二，則。的最小值為6-1；若4=2,則。的最小值為/+1.

66

21.證明：

(1)取PC的中點(diǎn)M,連接DM,MF.

D

VM,尸分別是PC,P5的中點(diǎn)，

MF//CB,MF=-CB.

2

為D4的中點(diǎn)，四邊形ABC。為正方形，

DE//CB,DE=~CB.

2

：.MF//DE,MF=DE,