北京市2022屆高三3月月考數(shù)學試卷(含詳解)

北京一六一中學2022屆高三年級月考試題數(shù)學試卷

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目的要求.

2

1在復(fù)平面內(nèi)’復(fù)數(shù)不對應(yīng)的點與原點的距離是

A.1B.72C.2D.2加

已知集合「={》€(wěn)用1<%<3},Q={XGRX2

2劉,,則pn他Q)=()

A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.[L2]

2222

3.日知0v8〈仙1雙曲緯C,"'=1與工=1的()

4sin20cos20cos~0sin~0

A.實軸長相等B.離心率相等c.焦點相同D.漸近線相同

函數(shù)/（%）=而2左一；是（）

4.

A.周期為萬的偶函數(shù)B.周期為乃的奇函數(shù)

C.周期為2%的偶函數(shù)D.周期為2%的奇函數(shù)

5.把函數(shù)y=2、的圖象向右平移f個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=、，貝h的值為

A.—B.log23C.log32D.也

6.已知x<-l,那么在下列不等式中，不成立的是

A.x2-1>0B.x+—<-2C.sinx-x>0D.cosx+x>0

x

7.設(shè)｛《,｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為4,則“q<0”是“對任意的正整數(shù)〃,4,1+。2”<0"

的

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,聘一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注

水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度，則該球的半徑為（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

1,17

9.已知P為拋物線y=5一上的動點，點P在x軸上的射影為〃，點A的坐標是（6,彳），則

+的最小值是（）

A.8B.—C.1()D.—

22

r4-1

10.已知函數(shù)滿足/(—x)=2—/(x),若函數(shù)y=——與y=/(x)圖像的交點為

X

m

（x,M）,（%,%），…，（X,"，X”），則Z（x，+y）=

/=1

A.0B.mC.2mD.4m

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.

11.a,￡是兩個平面，m,"是兩條直線，則下列命題正確的是.①如果m_L〃，m±a,

n//J3,那么a_L￡：②如果〃z_La,n!la.那么〃?_L〃；③如果〃//a,〃?ua,那么〃〃/“；④如

果〃z_La,mL/3,那么a//〃.

12.若（l+x）"=1++43?H----FX",且弓：.2=1：3,則”=.

13.設(shè)當尤=。時，函數(shù)/（x）=J5sinx-3cosx取得最大值，則cos8=.

14.若a,b,-2這三個數(shù)經(jīng)適當排序后可成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，請寫出滿足題意的

一組b的值__________.

15.過點尸（1,6）作圓/+y2=1的兩條切線，切點分別為A,8,則麗.而=.

三、解答題：共6小題，共85分.解答題寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

16.若存在△/SC

同時滿足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個，請選擇一組這樣的三個條件并解答下列問題:

口1口求4的大??；

口2口求cosB和4的值.

條件①：sinC=之亞：

14

條件②：b—a=l；

條件③：bcosA^--；

2

7

條件④：a=—c.

3

17.人民日報客戶端2020年6月23日消息，由國際組織“70P500”編制新一期全球超級計算機500強榜

單6月23日揭曉榜單顯示，在全球浮點運算性能最強的500臺超級計算機中，中國部署的超級計算機數(shù)量

繼續(xù)位列全球第一，達到226臺，占總體份額超過45%；“神威?太湖之光”和“天河二號”分列榜單第四、第

五位.超算，即超級計算或高性能計算，是計算機界“皇冠上的明珠“，也被視為科技突破的“發(fā)動機'’.在目前

最需要突破的研究領(lǐng)域——C。以。一19新型冠狀病毒的防治中，超算正在發(fā)揮力量.為了了解國產(chǎn)品牌處

理器打開文件的速度，某調(diào)查公司對兩種國產(chǎn)品牌處理器進行了12次測試，結(jié)果如下：(數(shù)值越小，速度

越快，單位是MIPS)

測試測試測試測試測試測試測試測試測試測試測試測試

123456789101112

品牌

3691041121746614

A

品牌

2854258155121021

B

口1口從品牌N的12次測試結(jié)果中，隨機抽取一次，求測試結(jié)果小于7的概率；

口2口在12次測試中，隨機抽取三次，記X為品牌/的測試結(jié)果大于品牌8的測試結(jié)果的次數(shù)，求X的分

布列和數(shù)學期望E(X)；

口3口經(jīng)過了解，前6次測試是打開含有文字與表格文件，后6次測試是打開含有文字與圖片的文件.請你

依據(jù)表中數(shù)據(jù)，運用所學的統(tǒng)計知識，對這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進行評價.

18.如圖，在直三棱柱ABC-中，NB4C=90°,AB=AC=AA]=2,E8C中點.

口1口求證：平面々BCG_L平面AEG；

口21求直線/C與平面AEG所成角的正弦值;

口3口若線段AB上存在一點滿足與M_LC；E,試確定M位置，并說明理由.

19.已知橢圓C：部+〃=l（a>b>0）的四個頂點恰好是邊長為2,一內(nèi)角為60。的菱形的四個頂點.

口L求橢圓C的方程及其離心率;

口2口若“、8為橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，試問：在直線/：x+y-3=0上是否存在點P,使得

△4BP為等邊三角形,若存在，求出點尸坐標；若不存在，說明理由.

20.已知函數(shù)/（x）=

%—1

口1口當a=l時，求曲線/（力在（O,7（O））處的切線方程；

口2口求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間；

口3口當〃>0時，寫出方程/（力=左（攵eH）的解的個數(shù).（只需寫出結(jié)論）

21.如圖，設(shè)Z是由〃X”個實數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表，其中劭①/勺，2,3,〃）表示位于第i行第

/列的實數(shù)，且劭e{1,一1}.記S（〃，〃）為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對于n）,記力（/）為4的第

nn

，?行各數(shù)之積，為/的第/列各數(shù)之積.令/（A）=?；（A）+?：/（A）

i=l；=1

aw。12Cl\n

(12\。22。2〃

an\斯2

(□)請寫出一個/eS(4,4),使得(4)=0；

(□)是否存在4eS(9,9),使得/是)=0?說明理由;

(□)給定正整數(shù)〃，對于所有的NeS(〃，〃),求/(⑷的取值集合.

北京一六一中學2022屆高三年級月考試題數(shù)學試卷

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目的要求.

2

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)一對應(yīng)的點與原點的距離是

1+i

A.1B.72C.2D.2拉

【1題答案】

【答案】B

【解析】

【詳解】幣=而派與=.對應(yīng)的點與原點的距離是-

故選：B

2.已知集合尸={xeR|l〈x<3},2=/?|x2>4),貝()

A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.[1,2]

【2題答案】

【答案】C

【解析】

【分析】先求解集合。中的不等式，結(jié)合集合的交集、補集運算，即得解

【詳解】由題意，2={xeR|，N4}={x|xN2或x?2}

故金。={x]-2<x<2}

則Pn(aQ)={x|l4x<2}=[l,2)

故選：C

2222

3.已知0<。〈工，則雙曲線C1：—---->=1與。2：T------1=1的()

4sin?。cos?。cos2^sin?。

A.實軸長相等B.離心率相等C.焦點相同D.漸近線相同

【3題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)G，c2的方程，分別求出實軸長、離心率、焦點、漸近線方程，對四個選項一一驗證.

TT

【詳解】因為0<。（生，所以sin（9<cose.

4

對于A：G的實軸長為2sin。，C2的實軸長為28s0故A錯誤；

c1C1

對于B：G的離心率為一=——，a的離心率為一=——.故B錯誤；

asin0acos?

對于c：G的焦點在x軸上，G的焦點在v軸上?故c錯誤；

cos0

對于D：G，的漸近線方程為了=土上.故D正確.

sin。

故選：D

4,函數(shù)/（x）=sin2x-；是（）

A.周期為）偶函數(shù)B.周期為萬的奇函數(shù)

C.周期為2%的偶函數(shù)D.周期為2乃的奇函數(shù)

【4題答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用降事公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可逐項分析求解.

……\l-cos2x11、

【詳解】f（X）=-----------=—cos2x,

故/（x）的最小正周期為n，為偶函數(shù).

故選：A.

5.把函數(shù)y=2'的圖象向右平移，個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=、，貝丫的值為

A.gB.log23C.log,2D.&

【5題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】

先將函數(shù)按題意平移得到y(tǒng)=2i,再由題中條件得到2'=3,進而可得出結(jié)果.

2X

【詳解】函數(shù)y=2,的圖象向右平移，個單位長度，得：y=2i=上，

-2,

所以，2'=3,得：?=log23.

故選B

【點睛】本題主要考查函數(shù)的平移以及對數(shù)的運算，熟記函數(shù)平移的法則以及對數(shù)的定義即可，屬于基礎(chǔ)

題型.

6.已知x<-l,那么在下列不等式中，不成立的是

A.尤2_]>0B.x+-<-2C.sinx—x>0D.cosx+x>0

x

【6題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用作差法可判斷A、B選項的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項的正誤.綜合可

得出結(jié)論.

2

【詳解】Qx<-1,則/一l=(x—l)(x+l)>0,X+J_+2=」+2X+1=(X+1)<0，

XXX

Xvsinxcosxe[—1,1],/.sinx—x>0>cosx+x<0.

可得：ABC成立，D不成立.

故選：D.

【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用作差法來進行判斷，同時也要注意正弦、余弦有界性的應(yīng)

用，考查推理能力，屬于中等題.

7.設(shè)｛%｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為4,則“q<0”是“對任意的正整數(shù)〃<0”

的

A充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

【7題答案】

【答案】C

【解析】

[詳解]試題分析：由題意得，4,1+02”<0Oq(/“-2+q2"T)<()0q2(e>(q+1)<()=g(—8,-1),

故是必要不充分條件，故選C.

【考點】充要關(guān)系

【名師點睛】充分、必要條件的三種判斷方法：

□定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假.并注意和圖示相結(jié)合，例如“plq”為真，則p是q的

充分條件.

口等價法：利用plq與非q」非p,qnp與非p□非q,pDq與非q非p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否

定式的命題，一般運用等價法.

口集合法：若AOB,則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若人=8,則A是B的充要條件.

8.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注

水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度，則該球的半徑為（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【8題答案】

【答案】A

【解析】

【分析】作出球的正視圖，根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形，列關(guān)于球半徑火的方程求解即可.

【詳解】如圖為球的一個正視圖，力8長度等于正方體棱長，中點為則M8=4,

球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,

.?.A/D=8-6=2cm,

設(shè)球的半徑為R,則CM=R—2,CB=R,

...在RtABCW中，/?2=(/?-2)2+42,解得R=5.

故選：A.

1,17

9.已知尸為拋物線y=a/上的動點，點P在x軸上的射影為〃，點A的坐標是(6,彳)，則

|削+歸閘的最小值是()

A.8B.—C.10D.—

22

【9題答案】

【答案】B

【解析】

【詳解】依題意可知焦點F(0,J),準線為y=-J,延長PM交準線于H點

則|PF|=|PH|,|PM|=|PH|-J,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-y,即求|PF|+|PA|的最小值.

IK7j

因為|PF|+|PA閆FA|,又|FA|=’62+(了-5)2=10.

119

所以|PM|+|PA|*0—-=y.故選B.

r4-1

10.已知函數(shù)滿足/(—x)=2—/(X),若函數(shù)y=±_與y=/(x)圖像的交點為

X

m

UPy),(%，％)，…，a”，)，則￡(%+》)=

I=I

A.0B.mC.2mD.4m

【10題答案】

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：由題意得，函數(shù)/(x)(xe&和/(-x)=2—/(x)的圖象都關(guān)于(0,1)對稱,所以兩函數(shù)的

交點也關(guān)于(0,1)對稱，對于每一組對稱點(七,％)和(玉,X)＞都有￡+x；=0,R+y；=2.從而

m

+%)=3.2=加.故選B.

/=12

考點：函數(shù)性質(zhì).

【易錯點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì).本題作為高考選擇題的壓軸題，考生的易錯點是不明確本題要考

察的知識點是什么,不知道正確利用兩個函數(shù)的對稱性(中心對稱)，確定兩個函數(shù)的交點也是關(guān)于(0,1)

對稱，最后正確求和得出結(jié)論.本題考查了函數(shù)的對稱性，但不是從奇偶性的角度進行考查，從而提高了考試的

難度.

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.

11.a，￡是兩個平面，m,〃是兩條直線，則下列命題正確的是.①如果m_L〃，m±a,

nl1/3,那么a_L〃；②如果m_Le,ntla,那么加_L"；③如果〃//a,mua,那么〃〃/〃；④如

果加_L&,mA.j3,那么a//〃.

【11題答案】

【答案】②④

【解析】

【分析】對于①：a、4可能相交，也可能平行，即可判斷；

對于②：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可以證明；

對于③：mHn或m、"異面，即可判斷；

對于④：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可以證明.

【詳解】對于①：如果m_L〃，mLa,那么〃//a或〃ua.因為〃//月，那么a、尸可能相交，也可能

平行.故①錯誤.

對于②：如果〃//a,所以過〃的平面/ca=/,〃/〃.因為加_La根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得加_L/,所

以相，〃.故②正確；

對于③：如果〃//a,mua,那么機、〃沒有公共點，所以加〃〃或加、〃異面.故③錯誤；

對于④：如果加_La,m±/?,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得：a//〃.故④正確.

故答案為：②④

12.若(l+x)"=1+卬%+。2%2+qx3H-l-xn,("eN"),且q:%=1：3,則“=.

【12題答案】

【答案】7

【解析】

【詳解】因為(1+x)"=1+qx+&x?+qV+..eN),

q=C:,4=C>

z~?lcj

由％:%=1：3,可得—7=-----=----=-.解得n=7

一C：n(n-l)n-\3

13.設(shè)當x=9時，函數(shù)〃x)=J^sinx-3cosx取得最大值，則cos<9=.

【13題答案】

【答案】—立

2

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求出仇于是可求cos。

【詳解】/(x)=V3(sinx-V3COSX)=2括sin[-3),

則/⑻=2瓜電-1)=2后，

馳e—2=±+2k兀=e=Z+2k兀,kwZ.

326

05萬G

62

故答案為：-巫.

2

14.若a,b,-2這三個數(shù)經(jīng)適當排序后可成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，請寫出滿足題意的

一組。，6的值.

【14題答案】

【答案】斫1,6=4.

【解析】

【分析】由a,b,-2這三個數(shù)經(jīng)適當排序后可成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，列方程組，解出

服6的值.

【詳解】可以?。篴=\,b=4.

a,b,—2這三個數(shù)經(jīng)適當排序后可成等差數(shù)列，可排為—2,a,bDQDQ-2+b=2a.

a,b,—2這三個數(shù)經(jīng)適當排序后可成等比數(shù)列，可排為a,—2,6口口口口a8=(—2『.

解得：a=\,6=4.

故答案為：a=\,b=4.

15.過點PG,及作圓V+y2=i兩條切線，切點分別為A,8,則麗.麗=

【15題答案】

3

【答案】-

2

【解析】

【詳解】如圖，連接P。，在直角三角形PAO中，04=1,幺=百，所以，tan/AP0=Y3，

3

|PA|-|P^COSAAPB=A百xg=T

三、解答題：共6小題，共85分.解答題寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

16.若存在△N8C同時滿足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個，請選擇一組這樣的三個條件并解

答下列問題：

(1)求力的大??；

(2)求cosB和〃的值.

條件①：sinC=：

14

條件②：b—a=1；

條件③：bcosA^---

2

7

條件④：u=-^c.

【16?17題答案】

【答案】（1）見解析;

(2)見解析.

【解析】

【分析】若選擇①@④:

71

(1)由正弦定理可得sinA的值，結(jié)合。一。=1,可求0<A<一,即可得解A的值；

2

TT

(2)由題意可得4>c,可得0<C<一,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos。的值，利用三角形內(nèi)角

2

和定理，兩角和的余弦公式可求cosB,進而可求sinB,利用正弦定理即可求解。的值.

若選擇①③④：

57T

(1)利用正弦定理可得sinA的值，由于。cosA=-一，可得范圍一<A〈不，即可求解A的值；

22

1T

(2)由題意利用大邊對大角可求0<。<一，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC的值，利用兩角和的

2

余弦公式可求cosB,進而可求sinB,由于。COSA=-2,可求6的值，根據(jù)正弦定理可得

2

【小問1詳解】

共有①②③、①②④、①③④、②③④四種選法，

根據(jù)條件②可知6>a,B>A,則/為銳角；根據(jù)條件③可知cos/<0,/為鈍角；

故②和③不能同時選擇，故僅可選①②④或①③④.

若選擇①②④：

,:a=Lc,sinC=迪，由正弦定理可得sinA=4*C=且，

314c2

714

'：b-a=\,：.a<b,可得0<A<一,可得A=一.

23

若選擇①③④：

-：a=-c,sinC=—.由正弦定理可得sinA=3型C=立，

314c2

,A57rA.2兀

在△AJBC中，,?*Z7cosA=—,—<A<乃，A——.

223

【小問2詳解】

若選擇①②④：

771

在小ABC中，—c,:.a>c,0<C<—,

32

?.?sinC=上叵，可得cosC=Jl—sin?。：/,

1414

cosB=cos［萬一(A+C)］=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=——x---------x—=——,

2142147

，sinB=>/l-cos2B-，曲

7

4G.

由正弦定理可得丁丁_方,可得7b=8a,

ba

Vh—a—1,a-7■

若選擇①③④：

77t

在△ABC中，???Q=-C,：.a>c/.o<C<—,

3f2

?.?sinC=述，可得cosC=Jl—sh?C=U,

1414

Pi□/oiio11

cosB=cos［乃一(A+C)J=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=x+—x-^-=—,

??sinB=A/1-COSB-------,

14

5

旦5

5-2-

=--5由正弦定理可得〃=絲"?=三丁=7.

VbcosA2--1

sinB5J3

-2-

14

17.人民日報客戶端2020年6月23日消息，由國際組織”:TOP500”編制的新一期全球超級計算機500強榜

單6月23日揭曉榜單顯示，在全球浮點運算性能最強的500臺超級計算機中，中國部署的超級計算機數(shù)量

繼續(xù)位列全球第一，達到226臺，占總體份額超過45%；“神威?太湖之光”和“天河二號”分列榜單第四、第

五位.超算，即超級計算或高性能計算，是計算機界”皇冠上的明珠“，也被視為科技突破的“發(fā)動機在目前

最需要突破的研究領(lǐng)域——CO以。一19新型冠狀病毒的防治中，超算正在發(fā)揮力量.為了了解國產(chǎn)品牌處

理器打開文件的速度，某調(diào)查公司對兩種國產(chǎn)品牌處理器進行了12次測試，結(jié)果如下：（數(shù)值越小，速度

越快，單位是MIPS）

測試測試測試測試測試測試測試測試測試測試測試測試

123456789101112

品牌

3691041121746614

A

品牌2854258155121021

B

（1）從品牌/12次測試結(jié)果中，隨機抽取一次，求測試結(jié)果小于7的概率；

（2）在12次測試中，隨機抽取三次，記X為品牌4的測試結(jié)果大于品牌8的測試結(jié)果的次數(shù)，求X的分

布列和數(shù)學期望E（X）；

（3）經(jīng)過了解，前6次測試是打開含有文字與表格的文件，后6次測試是打開含有文字與圖片的文件.請

你依據(jù)表中數(shù)據(jù)，運用所學的統(tǒng)計知識，對這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進行評價.

【1779題答案】

7

【答案】（1）—

12

（2）答案見解析.（3）答案見解析.

【解析】

【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接計算；

（2）先求出各個概率，寫出分布列，求出數(shù)學期望；

（3）進行數(shù)據(jù)分析，從不同的角度得到合理的結(jié)論即可.

【小問1詳解】

記事件4品牌N的12次測試結(jié)果中，測試結(jié)果小于7.

一共有：3口6口4口1口4口6口6共7種情況.

7

所以P（A）=^.

【小問2詳解】

在12次測試中，品牌4的測試結(jié)果大于品牌B的測試結(jié)果的次數(shù)為6.

X的所有可能取值為：0,1,2,3.

尸（X=O）=^q；P（X=1）=鏟卷

11V-zj2/‘乙’

「"=2）=等吟P（X=3）=m=2

所以X的分布列為：

X0123

1991

P

H2222H

19913

數(shù)學期望為E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=-

112222112

【小問3詳解】

本題答案不唯一.

結(jié)論一：品牌8處理器對含有文字與表格的文件的打開速度快一些，品牌4處理器對含有文字與圖片的文

件的打開速度快一些.

理由如下：從前6次測試（打開含有文字與表格的文件）來看，對于含有文字與表格的相同文件，品牌/的

測試有2次打開速度比品牌B快（數(shù)值?。?，品牌5有4次比品牌/快，從后6次測試（打開含有文字與圖片

的文件）來看，對于含有文字與圖片的相同文件，品牌/有4次打開速度比品牌8快（數(shù)值?。?

結(jié)論二：品牌/打開文件的速度快一些.

理由如下：品牌/處理器測試結(jié)果的平均數(shù)為二92，品牌8處理器測試結(jié)果的平均數(shù)為Q7二，所以品牌/

1212

打開文件的速度快一些.

18.如圖，在直三棱柱ABC-AqG中，ZBAC=90°,4?=AC=AA=2,E是BC中點.

口1口求證：平面用BCG工平面AEG；

口2口求直線/C與平面AEC,所成角的正弦值；

口3口若線段AB上存在一點滿足與MJ.CE，試確定”的位置，并說明理由.

【18?20題答案】

【答案】（1）證明見解析；

⑵

3

（3）M為靠近4的三等分點.

【解析】

【分析】（1）證明4E_L平面B/CG即可;

(2)以《原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可求直線ZC與平面AEG所成角的正弦值;

(3)利用(2)中的空間直角坐標系，根據(jù)瓦瓦?*=0即可求M的位置.

【小問1詳解】

由題可知AEYBC,BBi±平面ABC,

Y/Eu平面48C,/.±AE,

又?.?6月08。=8,平面平面4EG，，平面gBCG，平面AEG.

【小問2詳解】

如圖所示建立空間直角坐標系,

則4(0,0,0),C(O,2,O),3(2,0,0),￡(1,1,0),C,(0,2,2),

則衣=(0,2,0),通=(1,1,0),西=(0,2,2),

設(shè)平面AEG的法向量為2=(x，x，zJ,

in?AE=玉+y=0

則＜取X=T則玩=(1,一1,1),

m-AC〕=2yl+2z1=0

設(shè)直線ZC與平面AEG所成角為0，

?―.1\m-AC\2J3

則sin(9=cosm-AC\==—j=—=—；

1\Jm\.-\AC\73x23

【小問3詳解】

4(2,0,2),3(2,0,0),4(0,0,2)，設(shè)M(x,0,y),

則砥=(-2,0,2),BM=(x-2,0,y),

_______尤一24

BA,//BM=>------=—=>y=2-x,故M(x,0,2-x),

—22

B]M=(x-2,0,-x),C|￡=(L-1,-2),

——?—?2

B、M±C]E=>B[MGE=0nx-2+2x=0=>x=—,

???M停o，g)為網(wǎng)靠近A的三等分點.

19.已知橢圓C靛十5}(a>b>Q')的四個頂點恰好是邊長為2一內(nèi)角為60。的菱形的四個頂點.

口y求橢圓c的方程及其離心率;

口2口若48為橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，試問：在直線/：x+y-3=0上是否存在點尸，使得

△Z8P為等邊三角形，若存在，求出點尸坐標；若不存在，說明理由.

[19-20題答案】

【答案】(1)—旦;

33

(2)存在，尸為或(0,3).

【解析】

【分析】(1)由題意通過解直角三角形即可求得。、匕值，再根據(jù)a、6、c的關(guān)系求出c即可；

(2)若△N8P是等邊三角形，則尸點為力8中垂線與/的交點，分斜率為零、斜率存在且不為零、斜率不

存在三種情況討論即可.

【小問1詳解】

爐+工

???橢圓C:=l(a>b>0)的四個頂點恰好是一邊長為2,一內(nèi)角為60°的菱形的四個頂點,

=2cos30°=V3?b=2sin30°=1?c—y/^2?

橢圓C的方程為工+＞2=1,離心率e=￡=*=Y6.

3a上3

【小問2詳解】

設(shè)A&,%),則8(-玉，-%),

①當直線A8的斜率為0時.，A3的垂直平分線就是＞軸，＞軸與直線/：x+y-3=o的交點為P(0,3),

又???|AB|=2G，\PO\=3,：.ZPAO=a)°,

：./\PAB是等邊三角形，.??此時P(0,3)；

②當直線A3的斜率存在且不為0時，設(shè)A8的方程為y=丘伏工0),

2

廠2一1

+V

由，T-=,得(3/+1)1=3,

y=kx

則|AO|="后:網(wǎng)+3

\3k'+\

設(shè)A3的垂直平分線為丁=一,％,它與直線/：*+丁一3=0的交點記為尸(x0,%),

k

y=-x+3

x。%+9

1解得＜則|PO|

y=——xN伏-1)2

k%

???△248為等邊三角形，，應(yīng)有歸。|=6|49|，

代人得到第=解得"=0(舍)，k=-T,

此時直線AB的方程為＞=中垂線為、=》，

x+y—3=0(33、

\=＞P—,一.

[y=x(22；

③若48斜率不存在時，A.8為橢圓上、下頂點，坐標為(0,1)、(0,-1),

48中垂線為x軸，/與x軸交點為P(3,0),

|陽=2月"|=屈，故△形尸不是等邊三角形，不滿足題意.

＜33A

綜上，存在點P,尸為5，彳或(°，3).

12Z)

or

20.已知函數(shù)=J.

口1口當a=l時，求曲線/(x)在(OJ(O))處的切線方程；

口2口求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

口3口當a>0時，寫出方程/(x)=Z(左wR)的解的個數(shù).(只需寫出結(jié)論)

【20?22題答案】

【答案】(1)y=-2x-l

(2)答案見解析(3)當人<0或女=aea+'時，方程有一個解；當0W4<aea+i時，方程無解；當2>aea+'，

方程有兩個解

【解析】

【分析】(1)先求導(dǎo)，代入可得/(0)=-1,/'(0)=—2,利用直線方程的點斜式即得解；

(2)求導(dǎo)，分。=0,。>0,a<0討論導(dǎo)函數(shù)正負即得解;

(3)結(jié)合單調(diào)性，極值，邊界情況得到函數(shù)簡圖，數(shù)形結(jié)合即得解

【小問1詳解】

e\x-\)-exc'(x—2)

當a=1時,尸(x)=

/(x)=(尤-d)2

e。

又/(0)=力=-"(0)=-2

(J-1

故曲線在(0J(0))處的切線方程為y=-2x—1

【小問2詳解】

/卬一(a+1)]

r")=U-1)2

若arO,令/''(x)=0,x=^^

①當a=0時，/(x)=3記

<0,又函數(shù)的定義域為{X|XN1}

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1),(1,+8)

②當。＞0時:x=

a

令f(x}>O：.x>—,故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(也■,+?))；

aa

令/'(x)<0x<1或1<x<"L故/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,1),(1,—)

aa

③當a<0時，x=也■<1

a

令r(x)〉0x〈四，故/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-00,—)；

aa

令/'(x)<0:.x>l或"！<x<l,故/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+。。),("Ll)

aa

【小問3詳解】

當。>()時，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(四,+00),單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,1),(1，四)

aa

極小值,且X—-8時，/(%)-?0,