矩陣分析第五章

（3）三角不等式：對于中的隨意兩個向量都有例：在維線性空間中，對于隨意的向量定義北京理工高校高數(shù)教研室***證明：都是上的范數(shù)，并且還有引理（Hoider不等式）：設(shè)北京理工高校高數(shù)教研室***則其中且。引理（Minkowski不等式）：設(shè)則北京理工高校高數(shù)教研室***其中實(shí)數(shù)。幾種常用的范數(shù)定義：設(shè)向量，對隨意的數(shù)，稱為向量的范數(shù)。常用的范數(shù)：（1）1－范數(shù)北京理工高校高數(shù)教研室***（2）2－范數(shù)也稱為歐氏范數(shù)。（3）－范數(shù)定理：

證明：令，則北京理工高校高數(shù)教研室***于是有另一方面北京理工高校高數(shù)教研室***故由此可知定義：設(shè)是維線性空間上定義的兩種向量范數(shù)，假如存在兩個與無關(guān)的正數(shù)使得北京理工高校高數(shù)教研室***定理：有限維線性空間上的隨意兩個向量范數(shù)都是等價的。利用向量范數(shù)可以去構(gòu)造新的范數(shù)。例：設(shè)是上的向量范數(shù)，且，則由所定義的是上的向量范數(shù)。例：設(shè)數(shù)域上的維線性空間，北京理工高校高數(shù)教研室***為其一組基底，那么對于中的隨意一個向量可唯一地表示成又設(shè)是上的向量范數(shù)，則由所定義的是上的向量范數(shù)。矩陣范數(shù)北京理工高校高數(shù)教研室***定義：對于任何一個矩陣，用表示依據(jù)某一確定法則與矩陣相對應(yīng)的一個實(shí)數(shù)，且滿足（1）非負(fù)性：當(dāng)只有且僅有當(dāng)（2）齊次性：為隨意復(fù)數(shù)。（3）三角不等式：對于隨意兩個同種形態(tài)矩陣都有北京理工高校高數(shù)教研室***（4）矩陣乘法的相容性：對于隨意兩個可以相乘的矩陣，都有那么我們稱是矩陣的范數(shù)。例1：對于隨意，定義可以證明如此定義的的確為矩陣的范數(shù)。北京理工高校高數(shù)教研室***證明：只須要驗(yàn)證此定義滿足矩陣范數(shù)的四條性質(zhì)即可。非負(fù)性，齊次性與三角不等式簡潔證明?，F(xiàn)在我們驗(yàn)證乘法的相容性。設(shè)，則北京理工高校高數(shù)教研室***北京理工高校高數(shù)教研室***例2：設(shè)矩陣，證明：是矩陣范數(shù)。證明：非負(fù)性，齊次性和三角不等式簡潔證得?，F(xiàn)在我們考慮乘法的相容性。設(shè)，那么北京理工高校高數(shù)教研室***因此為矩陣的范數(shù)。北京理工高校高數(shù)教研室***例3：對于隨意，定義可以證明也是矩陣的范數(shù)。我們稱此范數(shù)為矩陣的Frobenious范數(shù)。證明：此定義的非負(fù)性，齊次性是明顯的。利用Minkowski不等式簡潔證明三角不等式?，F(xiàn)在我們驗(yàn)證乘法的相容性。設(shè)，則北京理工高校高數(shù)教研室***于是有北京理工高校高數(shù)教研室***例4：對于隨意，定義證明如此定義的是矩陣的范數(shù)。證明：首先留意到這樣一個基本事實(shí)，即由一個例題可知此定義滿足范數(shù)的性質(zhì)。北京理工高校高數(shù)教研室***Frobenious范數(shù)的性質(zhì)：（1）假如，那么（2）（3）對于任何階酉矩陣與階酉矩陣北京理工高校高數(shù)教研室***都有等式關(guān)于矩陣范數(shù)的等價性定理。定理：設(shè)是矩陣的隨意兩種范數(shù)，則總存在正數(shù)使得北京理工高校高數(shù)教研室***誘導(dǎo)范數(shù)定義：設(shè)是向量范數(shù)，是矩陣范數(shù)，假如對于任何矩陣與向量都有則稱矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。例1：矩陣的Frobenius范數(shù)與向量的2-范數(shù)是相容的.證明:因?yàn)楸本├砉じ咝８邤?shù)教研室***依據(jù)Hoider不等式可以得到北京理工高校高數(shù)教研室***北京理工高校高數(shù)教研室***于是有例2：設(shè)是向量的范數(shù)，則滿足矩陣范數(shù)的定義，且是與向量范相容的矩陣范數(shù)。證明：首先我們驗(yàn)證此定義滿足范數(shù)的四條性質(zhì)。非負(fù)性，齊次性與三角不等式易證?，F(xiàn)在考慮矩陣范數(shù)的相容性。北京理工高校高數(shù)教研室***設(shè)，那么因此的確滿足矩陣范數(shù)的定義。北京理工高校高數(shù)教研室***最終證明與是相容的。由上面的結(jié)論可知這說明與是相容的。定義：上面所定義的矩陣范數(shù)稱為由向量范數(shù)所誘導(dǎo)的誘導(dǎo)范數(shù)或算子范數(shù)。由北京理工高校高數(shù)教研室***向量P--范數(shù)所誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)稱為矩陣P--范數(shù)。即常用的矩陣P--范數(shù)為，和。定理：設(shè)，則（1）我們稱此范數(shù)為矩陣的列和范數(shù)。北京理工高校高數(shù)教研室***（2）

表示矩陣的第個特征值。我們稱此范數(shù)為矩陣的譜范數(shù)。（3）我們稱此范數(shù)為矩陣的行和范數(shù)。

例1：設(shè)北京理工高校高數(shù)教研室***計算，，和。解：北京理工高校高數(shù)教研室***因?yàn)樗?。練?xí)：設(shè)或北京理工高校高數(shù)教研室***分別計算這兩個矩陣的，，和。例2：證明：對于任何矩陣都有北京理工高校高數(shù)教研室***如何由矩陣范數(shù)構(gòu)造與之相容的向量范數(shù)？定理：設(shè)是矩陣范數(shù)，則存在向量范數(shù)使得證明：對于隨意的非零向量，定義向量范數(shù)，簡潔驗(yàn)證此定義滿足向量范數(shù)的三特性質(zhì)，且北京理工高校高數(shù)教研室***例：已知矩陣范數(shù)求與之相容的一個向量范數(shù)。解：取。設(shè)北京理工高校高數(shù)教研室***那么矩陣的譜半徑及其性質(zhì)定義：設(shè)，的個特征值為，我們稱為矩陣的譜半徑。例1：設(shè)，那么北京理工高校高數(shù)教研室***這里是矩陣的任何一種范數(shù)。例2：設(shè)是一個正規(guī)則陣，則證明：因?yàn)楸本├砉じ咝８邤?shù)教研室***于是有例3：設(shè)是上的相容矩陣范數(shù)。證明：（1）

（2）為可逆矩陣，為的特征值則有北京理工高校高數(shù)教研室***例5：假如，則均為可逆矩陣，且這里是矩陣的算子范數(shù)。矩陣序列與極限定義：設(shè)矩陣序列，其中北京理工高校高數(shù)教研室***，假如個數(shù)列都收斂，則稱矩陣序列收斂。進(jìn)一步，假如那么我們稱矩陣為矩陣序列的極限。北京理工高校高數(shù)教研室***例：假如設(shè)，其中那么北京理工高校高數(shù)教研室***定理：矩陣序列收斂于的充分必要條件是其中為隨意一種矩陣范數(shù)。證明：取矩陣范數(shù)必要性：設(shè)

北京理工高校高數(shù)教研室***那么由定義可知對每一對都有從而有上式記為北京理工高校高數(shù)教研室***充分性：設(shè)那么對每一對都有即北京理工高校高數(shù)教研室***故有現(xiàn)在已經(jīng)證明白定理對于所設(shè)的范數(shù)成立，假如是另外一種范數(shù)，那么由范數(shù)的等價性可知北京理工高校高數(shù)教研室***這樣，當(dāng)時同樣可得因此定理對于隨意一種范數(shù)都成立。同數(shù)列的極限運(yùn)算一樣，關(guān)于矩陣序列的極限運(yùn)算也有下面的性質(zhì)。（1）一個收斂的矩陣序列的極限是唯一的。（2）設(shè)北京理工高校高數(shù)教研室***則（3）設(shè)，其中，那么（4）設(shè)，其中

北京理工高校高數(shù)教研室***那么（5）設(shè)，且，均可逆，則也收斂，且例1：若對矩陣的某一范數(shù)，則北京理工高校高數(shù)教研室***例2：已知矩陣序列：則的充要條件是。證明：設(shè)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形其中北京理工高校高數(shù)教研室***于是明顯，的充要條件是又因北京理工高校高數(shù)教研室***其中北京理工高校高數(shù)教研室***于是的充要條件是。因此的充要條件是例3：設(shè)是的相容矩陣范數(shù)，則對隨意，都有矩陣的冪級數(shù)北京理工高校高數(shù)教研室***定義：設(shè)，假如個常數(shù)項級數(shù)都收斂，則稱矩陣級數(shù)收斂。假如個個常數(shù)項級數(shù)北京理工高校高數(shù)教研室***都確定收斂，則稱矩陣級數(shù)確定收斂。

例：假如設(shè)，其中北京理工高校高數(shù)教研室***那么矩陣級數(shù)是收斂的。北京理工高校高數(shù)教研室***定理：設(shè)，則矩陣級數(shù)確定收斂的充分必要條件是正項級數(shù)收斂，其中為隨意一種矩陣范數(shù)。證明：取矩陣范數(shù)北京理工高校高數(shù)教研室***那么對每一對都有因此假如收斂，則對每一對常數(shù)項級數(shù)北京理工高校高數(shù)教研室***都是收斂的，于是矩陣級數(shù)確定收斂。反之，若矩陣級數(shù)確定收斂，則對每一對都有北京理工高校高數(shù)教研室***于是依據(jù)范數(shù)等價性定理知結(jié)論對任何一種范數(shù)都正確。北京理工高校高數(shù)教研室***定義：設(shè)，稱形如的矩陣級數(shù)為矩陣冪級數(shù)。北京理工高校高數(shù)教研室***定理：設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為為階方陣。若，則矩陣冪級數(shù)確定收斂；若，則發(fā)散。北京理工高校高數(shù)教研室***證明：設(shè)