人教版九年級(jí)上冊(cè) 第 22章 《二次函數(shù)》培優(yōu)練習(xí)卷

《二次函數(shù)培優(yōu)練習(xí)卷一．選擇題1．下列函數(shù)中，當(dāng)＜0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增而增大的有（）①＝②＝x+1③＝﹣x

④＝xA．個(gè)B．個(gè)C．D．個(gè)2．對(duì)于函數(shù)＝﹣（+1

2

+2的圖象的有關(guān)性質(zhì)敘述正確是（）A．函數(shù)的最小值為2C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

B．與y的交點(diǎn)為（，）D．對(duì)稱軸是＝﹣3．若點(diǎn)（﹣，B（，C（，）在次函數(shù)yx123

+4x﹣的圖象，則y，1y，y大小關(guān)系是（）23A．＜＜123

B．＜＜231

C．＜＜y321

D．＜＜2134．拋物線＝ax++c經(jīng)過點(diǎn)（20對(duì)稱軸為直線x＝，其部分圖象如圖所示．對(duì)于此拋物線有如下四個(gè)結(jié)論：①＞；②+4+c＝；③若＞＞，則x＝1+m時(shí)函數(shù)值大于＝﹣n時(shí)的數(shù)值；④點(diǎn)（﹣，0）一定在此物線上．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②B．C．D．③④5將拋物線y＝22

+1向左移動(dòng)4個(gè)單位再向上移2單位后拋物線的頂點(diǎn)（）A4，）B4，﹣）C﹣4，）D﹣，﹣）6如圖次函數(shù)＝2+bx+c的象經(jīng)過點(diǎn)1說法正確的（）A．＜B．2

﹣ac＜．﹣+＜0．圖象的對(duì)稱軸是直線x37．對(duì)于拋物線＝﹣+2）+3，下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為）①拋物線的開口向下；②稱軸是直線x﹣；③圖象不經(jīng)過第一象限；④當(dāng)＞時(shí)，隨的大而減?。瓵．B．C．D．8．如圖，正方形OABC的邊長為2，與x軸半軸的夾角為15°，點(diǎn)B在拋線y＝ax（＜）的圖象，則a的值為（）A．B．C．2D．9．已知函數(shù)＝ax2bx+ca≠）的圖象如圖，下列5個(gè)結(jié)論，中正確的結(jié)論有（）①abc＜3+＞04+2+＜02+＝0b2＞acA．B．C．D．10．若拋物線y＝+bx﹣（≠）經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，）和點(diǎn)（83拋物線＝+﹣3（≠）的對(duì)稱軸是直線（）A．＝B．＝2C．＝D．＝﹣11．在拋物線＝2

﹣x+的圖象上有三個(gè)點(diǎn)（3，則y，，123123的大小關(guān)系為（）A．＜＜231

B．＜＝123

C．＜＜y123

D．＜＜32112．在平面直角坐標(biāo)系中，二次數(shù)＝ax+bx（≠）的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)論：①abc＜；c+2＜；9﹣+c＝；a﹣≥（ambm為實(shí)數(shù)⑤4ac2

＜．其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．個(gè)二．填空題13．將二次函數(shù)y＝2

B．個(gè)C．個(gè)D4個(gè)+2+1的圖象先向右平移2個(gè)單，再向上移3個(gè)位，所得到的新圖象對(duì)應(yīng)的解析式是．．對(duì)二次函數(shù)y＝+2+1，當(dāng)0＜≤時(shí)函數(shù)值總是非負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取范圍為．．拋物線y（）+4的對(duì)軸是．．點(diǎn)（﹣，（P（5，y）均二次函數(shù)＝ax2﹣c（＜）的圖象112233上，則y，，的小關(guān)系是．12317．如圖，菱形ABCD的個(gè)頂點(diǎn)在二次函數(shù)＝+2（＜）的圖象上，，分別是該拋物線的頂點(diǎn)和拋物線與y的交點(diǎn)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y＝（﹣2a，為數(shù)且a≠0）與x軸交于點(diǎn)，與軸于點(diǎn)C過點(diǎn)CD∥軸拋物線交于點(diǎn)．若點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，則

的值為．三．解答題19．已知二次函數(shù)y＝﹣+3．求該二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)；在所給坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)大致圖象，并寫出當(dāng)y0時(shí)，的取值范圍．20．已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，2過點(diǎn)1，0）（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)標(biāo)．21．我國為了實(shí)現(xiàn)到2020年達(dá)全面小康社會(huì)的目標(biāo)，近幾年加大了扶貧工作的力度，合肥市某知名企業(yè)為了幫助某小型業(yè)脫貧，投產(chǎn)一種書包，每個(gè)書包制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量（萬個(gè)）與銷售價(jià)（元）之間關(guān)系可以近似看作一次函數(shù)y＝+b，據(jù)統(tǒng)計(jì)當(dāng)售價(jià)定為30元/個(gè)時(shí)每月銷售40萬個(gè)當(dāng)售價(jià)定為35元/個(gè)時(shí)，每月銷售30萬個(gè)．請(qǐng)求出k、的．寫出每月的利潤w（萬元）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)解析式．該小型企業(yè)在經(jīng)營中，每月銷售價(jià)始終保持25≤36元之間，求該小型企每月獲得利潤w（萬元）的范圍．22．如圖，拋物線y＝﹣2++與x軸交于（﹣0）和（3與軸于點(diǎn)點(diǎn)關(guān)拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．拋物線頂點(diǎn)為．求拋物線的解析式．當(dāng)點(diǎn)在物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)在直線AD上是否存在點(diǎn)F使得以點(diǎn)ACE、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說理由．（3）點(diǎn)P為線上方拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)，連接PA，．當(dāng)

eq\o\ac(△,S)

＝，若在PAD軸上存在以動(dòng)點(diǎn)Q使PQ+的最小值．

QB最小若存在直接寫出此時(shí)點(diǎn)的標(biāo)及PQ+

QB23．如圖，拋物線y＝ax+a＞）過點(diǎn)（，矩形ABCD的邊在線段上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)點(diǎn)、在拋物上，BAD平分線交BC于M，點(diǎn)是的中點(diǎn)，已知OA＝2，且：＝：3．求拋物線的解析式；F、分為軸，軸的動(dòng)點(diǎn)，順次連接MN、、F構(gòu)成四形MNGF求四邊形MNGF周長的最小值；（在x下方且在拋物線上是否存在點(diǎn)△中OD邊上高為

？若存在，求出點(diǎn)P的標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）矩形不動(dòng)，將拋物線向右平移，當(dāng)平移后的拋物線與形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)K、L，且直線平形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．24．2019年在舉辦的女足界杯，為人們奉獻(xiàn)了一場(chǎng)足球盛宴．某商場(chǎng)銷售一批足球文化衫，已知該文化衫的進(jìn)價(jià)為件元，價(jià)為每件60元時(shí)，每個(gè)月可售出100件．根據(jù)市場(chǎng)行情，現(xiàn)決定漲價(jià)售，調(diào)查表明，每件商品的售價(jià)每上漲1，每個(gè)月會(huì)少售出2件每件商品的售為x，每個(gè)的銷量為y．求與x間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)每個(gè)月的利潤恰好為元；當(dāng)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)每個(gè)月獲得利潤最大？最大月利潤為多少？25．定義：將函數(shù)的圖象繞點(diǎn)（，）旋轉(zhuǎn)180°，得到新的函數(shù)l'的圖象，我們稱函數(shù)l'是函數(shù)關(guān)點(diǎn)P的相函數(shù)．例如：當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)y（x）關(guān)于點(diǎn)P（，0）的相關(guān)函數(shù)為＝﹣（﹣）﹣5．（1）當(dāng)m0①一次函數(shù)y＝﹣1關(guān)于點(diǎn)P相關(guān)函數(shù)為；②點(diǎn)（，﹣）在二次函數(shù)＝﹣ax

﹣ax（≠）關(guān)于點(diǎn)的關(guān)函數(shù)的圖象上，求的．（2）函數(shù)y（﹣）

2

+2關(guān)于點(diǎn)P的關(guān)函數(shù)y﹣（x+3）

﹣，則m；（3）當(dāng)m1≤≤+2時(shí)，函數(shù)y＝2﹣﹣2關(guān)點(diǎn)m）的相關(guān)函數(shù)的最大值為6，求m的．參考答案一．選擇題1．解：①＝，正比例函數(shù)，＝＞，隨著增而增大，正確；y＝﹣x，一次函數(shù)，k﹣＜0，隨x增大而減小，錯(cuò)誤；y＝﹣x，＝﹣＜，開口向下，對(duì)稱軸為x＝，故當(dāng)x0，圖象在對(duì)稱軸左側(cè)，函數(shù)值y隨的大而增大，正確；y＝x2，二次函數(shù)，＝＞0，開口向上，對(duì)稱為x＝，故當(dāng)＜0時(shí)，象在對(duì)稱軸左側(cè)，隨著x的增大而減小，錯(cuò)誤．故選：．2．解：二次函數(shù)＝﹣（+1）2+2的圖象的開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，2函數(shù)有最大值2，圖象與y軸的交為0，故選：．3．解：對(duì)稱軸為直線x＝﹣

＝﹣，∵＝＞，∴＜﹣時(shí)，隨x的大而減小，x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)（﹣，）的稱點(diǎn)為0，11∴＜＜．123故選：．4．解：∵拋物線開口向下，∴＜，∵拋物線交y軸的正半軸，∴＞，∴＜，故①錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x1，而點(diǎn)（﹣，）關(guān)于直線＝1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為4，∴16+4+c＝，故②正確；∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直x＝，∴橫坐標(biāo)是1﹣點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+，∵若＞＞0，∴1+＞1+n，∴＝時(shí)函數(shù)值小于＝1﹣時(shí)的函數(shù)值，③錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸為﹣

＝1，∴＝﹣a，∴拋物線為y＝ax﹣ax+，∵拋物線yax+bx+經(jīng)點(diǎn)（20∴4a+4+＝0，即8a+＝，∴＝﹣a，∴﹣＝4，∵點(diǎn)（﹣，）的對(duì)稱點(diǎn)是（40∴點(diǎn)（﹣故選：．

，0）一定在此拋物線上，故④確，5．解：拋物線y＝x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為0，把0，）向左移動(dòng)4個(gè)位，再向上移動(dòng)2個(gè)單位后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)﹣4移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)﹣3故選：．6．解：．由于次函數(shù)＝ax

++的象與軸交于正半軸，所以＞，故A誤；B．二次函數(shù)y＝2+bx+的象與x軸由交點(diǎn)，所以b﹣ac＞，故錯(cuò)誤C．當(dāng)＝﹣時(shí)，y＜，即﹣+＜0，故C錯(cuò)誤；D．因?yàn)锳1，0（，所以對(duì)稱軸為直線＝故選：．7．解：

＝3，故D正確∵＝﹣（+2）+3，∴拋物線開口向下、對(duì)稱軸為直x＝﹣2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，故、②都正確；在y＝﹣（+2）

+3中，令y0可求得＝﹣2+

＜，或x﹣﹣＜，∴拋物線圖象不經(jīng)過第一象限，③正確；∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x＝﹣2，∴當(dāng)＞﹣，隨x的增大減小，∴當(dāng)＞2時(shí)，隨x的增大而減小，故④正確；綜上可知正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：．8．解：如圖，連接OB，過B作BD⊥x軸于D；則∠BOA＝°∠＝30°；已知正方形的邊長為2，則OB2

；Rt△中，＝2

，∠＝°，則：BD＝OB＝故B（﹣

，OD＝，﹣

OB＝；代入拋物線的解析式中，得

）＝﹣，解得＝﹣故選：．

；9．解：①由拋物線的對(duì)稱軸可：

＞0，∴＜，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)可知c＞0，∴abc＜，故①確；②∵＝，∴＝﹣a，∴由圖可知x﹣，＜0∴＝﹣c＝+2+＝3a+＜，故②錯(cuò)誤；③由（﹣，）關(guān)于直線＝1對(duì)稱點(diǎn)為3，（0，）關(guān)于直線x＝對(duì)稱點(diǎn)為（，∴＝，＞，∴＝a+2+＞0，故③錯(cuò)誤；由②可知：2a+＝，故④正確由圖象可知：△＞0，∴2

﹣ac＞，故⑤正確；故選：．10．解：∵拋物線y＝+﹣（≠）經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，）和點(diǎn)，3∴拋物線yax+﹣（≠）的對(duì)稱軸是直線＝故選：．11．解：＝2﹣+的對(duì)稱軸x＝，

＝2．（﹣，y）三點(diǎn)到對(duì)稱軸的離分別為，，2，123∴＞＞，132故選：．12．解：①由拋物線可知：＞，＜0，對(duì)稱軸x﹣

＜0，∴＞，∴abc＜，故①確；②由對(duì)稱軸可知：﹣

＝﹣，∴＝a，∵＝時(shí)，＝+b+＝0，∴+3＝，∴+2＝﹣+2＝﹣＜，故②正確；③（，0）關(guān)于x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣3，∴＝﹣時(shí)，＝﹣b+＝0，故③正確；④當(dāng)＝﹣，的小值為a﹣c，∴＝時(shí)，＝2

++，∴2+bm+ca﹣+，即a﹣≤（am④錯(cuò)誤；⑤拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，eq\o\ac(△,0)＞，即b﹣ac＞，∴4ac2＜，故⑤正確；故選：．二．填空題（共6小題）13．解：y＝+2+1＝（x）2，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0點(diǎn)（﹣1）先右平移2個(gè)單位，再向上移3個(gè)單所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為1所以新圖象對(duì)應(yīng)的解析式為＝（﹣）

2

+3．故答案為y（﹣）

+3．14．解：對(duì)稱軸為：，，分三種情況：①當(dāng)對(duì)稱軸x0時(shí)，即＜，＞0，滿足當(dāng)＜≤時(shí)的函數(shù)值總是非負(fù)數(shù)；②當(dāng)

時(shí)，≤﹣＜，﹣4＜≤，當(dāng)1﹣2≥，1≤≤，滿足當(dāng)0＜x≤4時(shí)的函數(shù)值總是非負(fù)數(shù)；當(dāng)1﹣2＜時(shí)，不能滿足當(dāng)0＜≤時(shí)的函數(shù)值總是非負(fù)數(shù)；∴當(dāng)﹣≤≤時(shí)，當(dāng)0＜≤時(shí)的函數(shù)值總是非負(fù)數(shù)，③當(dāng)對(duì)稱軸﹣≥，即m≤﹣，如果滿足當(dāng)＜x≤時(shí)的函數(shù)值總是非負(fù)數(shù)，則x＝時(shí)，≥，16+4+1≥，m≥﹣，此種情況無；綜合可得：當(dāng)m≥﹣1時(shí)，當(dāng)0＜≤時(shí)函數(shù)值總是非負(fù)數(shù)．15．解：∵＝（）﹣為拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x﹣故答案為：直線＝．16．解：二次函數(shù)y＝﹣axc（＜）的圖象的對(duì)稱軸為直線＝﹣＝，而（﹣和P（，）直線＝的距離都為2，（到直線＝距112233離為4，所以＝＞．123故答案為y＝＞．12317解∵＝ax

+2（＜的對(duì)稱軸是＝﹣

＝﹣1與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（，2∴點(diǎn)的標(biāo)是（，2∵菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)在二次數(shù)＝ax+2+2（＜）的圖象上，點(diǎn)A、分別是該拋物線的頂點(diǎn)拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)與關(guān)直線x﹣對(duì)稱，∴點(diǎn)的標(biāo)為（﹣2，故答案為﹣2，18．解：∵拋物線y＝（﹣2）+的稱軸為直線＝，而CD∥軸，∴＝，∵點(diǎn)坐標(biāo)為（40∴點(diǎn)坐標(biāo)為（，∴＝，∴＝＝2．故答案為2．三．解答題（共7小題）19．解：（）當(dāng)y＝時(shí)，x

﹣x＝0，解得x＝，＝312所以該二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐為，0，因?yàn)椋僵亁+3＝﹣+4＝（﹣）

2

﹣，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1（2）函數(shù)圖象如圖：由圖象可知，當(dāng)y＜時(shí)，1＜＜3．20．解）設(shè)拋物線解析式為＝a（+1+2，把（，0）代入得a（）＝，解得a﹣，所以拋物線解析式為y＝﹣（+1）

2

+2；（2）當(dāng)x0，＝（x+1）

2

+2＝，則拋物線與y的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，當(dāng)y＝時(shí)﹣（+12+2＝解得x＝﹣3則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（﹣123，，021．解）由題意得：

，解得．答：的為2，b的值為100．（2）由題意得w＝（﹣182+100＝﹣x2+136﹣1800答：函數(shù)解析式為：＝2x+136x﹣．（3）∵＝2x+136x﹣1800＝2（x﹣）

+512，∴當(dāng)＝34時(shí)，取大值，最大值為512；當(dāng)x＜34時(shí)，隨x的大而增大；當(dāng)x＞34時(shí)，隨x的大而減?。弋?dāng)＝25時(shí)，w＝﹣×25+136×25﹣1800＝；當(dāng)x＝36時(shí)，w＝﹣×36+136×36﹣1800＝．綜上，的范圍為350≤≤512．答：該小型企業(yè)每月獲得利潤w（萬元）的范圍是350≤≤．22．解）∵拋物線＝﹣2

++與x軸交于（﹣，）和B（，∴，解得，，∴拋物線的解析式為：＝（2）存在，分三種情況討論，①如圖1所示，

；∵四邊形為平行四邊形，∴EF可由平移得到，、為應(yīng)點(diǎn)AF為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∵（，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1，∴向右平移了一個(gè)單位，∵（﹣，∴的橫坐標(biāo)為，∵直線AD的解析式為＝+，∴當(dāng)＝0時(shí)，＝，∴（，②如圖2所示，此時(shí)點(diǎn)F與重合，∴（，③如圖3所示，根據(jù)平移的規(guī)律，得知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，當(dāng)x＝﹣時(shí)，＝﹣，∴（﹣，﹣綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）或（，）或（﹣，﹣（3）如圖4所示，過點(diǎn)作AD的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，過點(diǎn)垂直于BN，與x軸交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)直線BN的解析式為＝+b，過點(diǎn)B（，0解得＝﹣，∴直線解析式為y＝x﹣，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x1，∴（，﹣設(shè)直線AD與拋物線的對(duì)稱軸的點(diǎn)為點(diǎn)M∴（，1∵

＝﹣＝，eq\o\ac(△,S)DA∴＝，∴（，3∵tan∠ABN，∴∴+

QB＝，QB＝PQ+，∴當(dāng)、、H三點(diǎn)共線時(shí)，PQ+∵＝，∠NPHABN

QB最小，即為，∴＝∴+

．QB的最小值為，此時(shí)點(diǎn)Q（2.5，23．解）∵點(diǎn)A在線段上，（，＝∴（，）∵：＝：3∴＝OA＝∵四邊形是矩形∴⊥∴（，﹣）∵拋物線yax+經(jīng)過點(diǎn)DE∴

解得：∴拋物線的解析式為y＝﹣（如圖1作點(diǎn)M關(guān)于x的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)y軸的稱點(diǎn)點(diǎn)N連接FM'、GN'、N'∵＝x﹣4＝（﹣）2﹣8∴拋物線對(duì)稱軸為直線＝∵點(diǎn)、在物線上，且∥軸，D（，﹣6）∴＝＝﹣，點(diǎn)C、關(guān)直線x＝4對(duì)稱CD∴＝4+（﹣）＝﹣＝6即（，﹣）CD∴＝＝，（，0）∵AM平分BAD，∠＝∠ABM90°∴∠BAM＝°∴＝＝∴（，﹣）∵點(diǎn)、關(guān)于軸稱，點(diǎn)F在軸∴'（，F(xiàn)M＝'∵為中點(diǎn)∴（，﹣）∵點(diǎn)、關(guān)于軸稱，點(diǎn)G在軸∴'（﹣，﹣＝'∴

＝MN+NG+GF+＝+'++FM'四邊形MNGF∵當(dāng)'、、G、在同一直線上時(shí)，N'GF+'M''最小∴＝+'N＝四邊MNGF∴四邊形MNGF周長最小值為12．（3）存在點(diǎn)P，使△中邊上的高為

．

＝2+10＝12過點(diǎn)作∥軸直線OD點(diǎn)∵（，﹣）∴＝，直線OD解析式為＝﹣設(shè)點(diǎn)坐為t，

2﹣4t0＜＜8則點(diǎn)E（，﹣3）①如圖2，當(dāng)0＜2，點(diǎn)在左∴＝﹣＝﹣t﹣（tEP

﹣4t）＝﹣t

+t∴

＝eq\o\ac(△,S)

+eq\o\ac(△,S)

＝PEeq\o\ac(△,S)P

﹣x+﹣＝PE＝＝﹣t+DPPDPD∵△中邊上的高h(yuǎn)＝

，∴

＝ODeq\o\ac(△,S)∴﹣t2+＝×2

×方程無解②如圖3，當(dāng)2＜8，點(diǎn)在右∴＝﹣＝2PE

﹣4t﹣（﹣t＝t

﹣∴

＝eq\o\ac(△,S)

﹣eq\o\ac(△,S)

＝﹣PE﹣＝PE（x﹣+）＝PEPE＝2eq\o\ac(△