2022年高考數(shù)學(xué)（藝術(shù)生）沖刺專題《數(shù)列的綜合應(yīng)用》（含答案）

專題一、數(shù)列的綜合應(yīng)用測試題

命題報告：

1.高頻考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合，數(shù)列與函數(shù)的、不等式、方程等的綜合

考情分析：數(shù)列的綜合問題在近幾年的高考試題中一直比較穩(wěn)定，難度中等，主要命題點是等差數(shù)列和等

比數(shù)列的綜合，數(shù)列和函數(shù)、方程、不等式的綜合，與數(shù)列有關(guān)的探索性問題以及應(yīng)用性問題等，對于數(shù)

學(xué)文化為背景的數(shù)列問題需要特別關(guān)注。

3.重點推薦：基礎(chǔ)卷第2、7等，涉及新定義和數(shù)學(xué)文化題，注意靈活利用所給新定義以及讀懂題意進行求

解。

一.選擇題(共12小題，每一題5分)

1.(廣安期末)在等差數(shù)列⑸｝中，a*3,若從第7項起開始為負，則數(shù)列⑸｝的公差d的取值范圍是()

A.[-3,-3)B.[-3,+8)C.(-8,-A)D.(旦，為

454554

【答案】：A

'@6=&2+4<1=3+4<1〉0

a?=a2+5d=3+5d<0

【解析】，解得-WwdV一旦.故選：A.

45

2.(永定區(qū)校級月考)定義在(0,+8)上的函數(shù)f(X),如果對于任意給定的等比數(shù)列a”｛f(a“)｝仍

是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(0,+8)上的如下函數(shù)：①f(x)=x3；②

f(x)=3S；③f(x)=｛；④f(x)=lgx,則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)"的f(x)的序號為()

A.①②B.①③C.②④D.③④

【答案】B

【解析】由任意給定的等比數(shù)列a“，公比設(shè)為q,

定義在(0,+8)上的如下函數(shù)：①f(x)=xs；

圍山q,即有f(:哄/芻嗎一q3為常數(shù),

3

%gan

則f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”；

②f(x)=3"；

WtLq,即有與空乙"1工3a.+1-aa不為常數(shù)，

anfla-3^

則f(x)不為“保等比數(shù)列函數(shù)”；

③f(x)=4；

亙出q,即有學(xué)卑=」迪=叵=?為常數(shù),

an仁)VanVan

則f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”；

④f(x)=lgx>

2=q,即有_1：an+1不為常數(shù),

則f(x)不為“保等比數(shù)列函數(shù)”.

符合題意的是①③.

故選：B.

2an*0<an<2-

(

2an-1'

3.(黃岡期末)數(shù)列⑸｝滿足a向=(”若31--,貝！I32018-()

5

BcD.A

5-f45

【答案】A

2an，0<an<7

..2an-L

【解析】:?a”“二ak1),

52

Aa2=2ai-1=-Le[0,—)f

52

/.as=2a2=2X[0,A.),

552

/?ai=2a3=AG[L1),

52

Q

/.a5=2a.i-1=—=ai,

5

???數(shù)列｛a0｝是以4為周期的數(shù)列,

又2018=504X4+2,

?.?UG2018-?2—---1-----

5

故選：A.

a+a,+a=99

4.（華南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）設(shè)數(shù)列｛a#為等差數(shù)列，其前n項和為S”，已知?4'

叱「叱”，若對任意n￡N*,都有Sn<Sk成立，則k的值為（）

A.22B.21C.20D.19

【答案】C

a+a+a7~99

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,由14可得3a4=99,即a4=33

a,+%93

由可得3a5=93,解得知=31,???d=?2,

4、aa+(n?4)d=?2n+41,,

n4,???％>0,解得n<205二，的最大值為S20,則k=20

故選C

N*)b/]

an+???

anan+1

5.在數(shù)列｛4｝中,，又，則數(shù)列｛bj的前n項和S“為（）

A.血C._JL.D.魯

n+12n-l

【答案1A

n(n+l)

-2,n

【解析]%」+2+……+n

n+1n+12

?二b二1一4-二4（!」?。瑒t數(shù)列｛b1的前n項和

nanan+ln(n+l)nn+1'

S產(chǎn)4+點焉）=4（1焉尸書

故選：A.

c22

nn

6.已知數(shù)列｛aj的前n項和為S,“對任意的nWN*有~33,且lVSkV12則k的值為（）

A.2或4B.2C.3或4D.6

【答案】：A

2

s

【解析】對任意的nWN*有113a1n萬,

可得ai=Si=2ai-2,解得ai=-2,

33

n22時，a?=Sn-S?.i>

s產(chǎn)區(qū)「2又Sn-3&n3

33

相減可得a“=2au-2-2a「i+2,

3333

化為an--2an-1,

則3n=-2?(-2)1,■-=(-2)",

-2(1-(-2)刃

s?=1-(-2)=-2[l-(-2)"],

3

k

l<Sk<12,化為5V(-2)<19,

2

可得k=2或4,

故選：A.

7.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米

處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000

米，此時烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜仍然前于他10米.當(dāng)阿基里斯跑完

下一個10米時，烏龜仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里

斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10-2米時，烏龜爬行的總距離為()

A.B,直二LC.D.支二2

9090090900

【答案】：B

【解析】由題意知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列｛a“｝,

且a!=100,q=_l_,an=10'；

10

...烏龜爬行的總距離為

-21

100-10x方

一1。,105-1

--------一~-

l-q--------------------900

故選：B.

8.已知函數(shù)f(x)=sin(x-3)+x-1,數(shù)列｛a#的公差不為0的等差數(shù)列，若f(aD+f(a2)+f(a3)+--*+f

(a?)=14,貝!|ai+az+a3+…+a?=()

A.0B.7C「.14D.21

【答案】：D

【解析】Vf(x)=sin(x-3)+x-1,f(x)-2=sin(x-3)+x-3,

令g(x)=f(x)-2,則g(x)關(guān)于(3,0)對稱,

Vf(aD+f(a2)+…+f(a7)=14,

：.f(a,)-2+f(a2)-2+—+f(a7)-2=0,

即g(ai)+g(a2)+…+g(a?)=0,

.*.g(a,i)為g(x)與x軸的交點，由g(x)關(guān)于(3,0)對稱，可得a』=3,

ai+az+,,,+a?=7a(=21.故選：D.

9.巳知數(shù)列｛aj的前n項和為首項ai=-2,且滿足S“+-^+2=a(兒22),則SZOM等于()

3$n0

A2016B_2017C_2018d2019

?"2017--2018-'2019-2020

【.答案】：D

【解析】數(shù)列｛aj的前n項和為S”,滿足S0+L+2=a(n>2),

Dn

Sn^~+2=Sn~Sn-l3n:飛二+2由于$i=a產(chǎn)得

。n

則：，所以:

3

當(dāng)n二2時，S2=S+2-

14

4

S3=S+2

25

當(dāng)n=3時，

猜想：s=力±,所以選擇D。

nn+2

專題二、雙曲線與拋物線測試題

基礎(chǔ)達標(biāo)測評

【高頻考點】雙曲線和拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡單是幾何意義的應(yīng)用，直線與雙曲線、拋物線的位

置關(guān)系。

【考情分析】本階段是高考考查重點內(nèi)容之一，重點是拋物線，再客觀題中考察拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,

主要考查拋物線的定義，若以解答題的形式出現(xiàn)，往往壓軸題的位置，考察拋物線的定義有關(guān)的最值，距

離以及定點（定值）問題，試題綜合性強，難度大，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何形狀也是在高考中考察，主

要在客觀題中出現(xiàn)，考察雙曲線的離心率，漸近線等問題，難度不大。

【重點推薦】基礎(chǔ)卷第20題存在問題是高考經(jīng)常考察的重點內(nèi)容；拔高卷14題，考察歸納推理和類比推

理的應(yīng)用，考察綜合利用知識的能力。

選擇題

1.（榆林二模）若拋物線x?=16y上一點（x。，y。）到焦點的距離是該點到x軸距離的3倍，則y°=,（）

A.2B.72C.1D.L

【答案】：A

【解析】拋物線x2=16y上一點（x。，y。），到焦點的距離是該點到x軸距離的3倍，可得y0+R=3y。，所以

2

yo=-2.=—=2.故選"：A.

44

x2y2

i_0clc+],_0nlQ=]（kEZ）

2.（永州二模）若方程一一表示雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.2x±y=0B.x±2y=0C.亞x±y=0D.x±y=0

【答案】：D

22

X____+y_____1/1r

k-2016k-20181口

【解析】根據(jù)題意，方程表示雙曲線，必有（k-2016）（k-2018）<0,解

可得2016VkV2018,又由kOZ,則k=2017,

則雙曲線的方程為x-yJl,其中a=l,b=l,焦點在x軸上，則雙曲線的漸近線方程為y=±x,即x土y=0；

故選：D.

22

3.新課標(biāo)H）雙曲線號上g1（a>0,b>0）的離心率為遙，則其漸近線方程為（)

C.y=±^^xD.y=±^/^x

A.y=土&xB.y=±^/3x

22

【答案】：A

【解析】???雙曲線的離心率為e=￡=J5,則星2=J（￡）2_「加三五,即雙曲線的漸近

線方程為丫=士耳=±亞，故選：A.

a

4.（泰安一模）己知F是拋物線x?=y的焦點，A,B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3,則線段AB的中

點到x軸的距離為（）

A.3B.1C.5D.工

444

【答案】：C

【解析】拋物線x'y的焦點F（0,1）準(zhǔn)線方程y=-1,

44

設(shè)A（xi,yi）,B（x2）yz）.*.|AF|+1BF=yi+—+y2+—=3,解得yi+yz=區(qū),

442

，線段AB的中點縱坐標(biāo)為互，

4

，線段AB的中點到x軸的距離為反，故選：C.

4

22

'=］（a〉0,b>0）

5（臨沂三模）已知雙曲線ab

的一條漸近線平行于直線1：y=x+2,一個焦點在直線

1上，則雙曲線的方程為（）

22222

【答案1A

22

【解析】雙曲線三41（a〉0,b>0）的一條漸近線平行于直線1:y=x+2,一個焦點在直線1上，可

ab

得一條漸近線方程尸x,且一個焦點為（-2,0）,即有.1,c=2,又c：=a：+b：,解得a=bf/^,則雙曲線的

a

22

方程為與一于1.故選：A.

6.（丹東一模）設(shè)F為拋物線C：y=2px（0>0）的焦點，直線x-2y-3P=0交C于A,B兩點，0為坐標(biāo)

原點，若AFAB的面積為5s5,則p=（）

A.返B.&C.2I）.4

2

【答案1B

【解析】F(R,0)為拋物線C：y=2px(0>0)的焦點，直線x-2y-3P=0與x軸交于P(3p,0),聯(lián)立

2

2

直線x-2y-3p=0和y'=2px,可得y"-4py-6p'=0,可得△=16p2+24p'=40p'>0,yi+y?=4p,yiy2=-6p,AFAB

22

的面積為5傷，即為」FP?(3p-2.)xV(4p)+24p_5^,解得p=&,故選：B.

22

7.知雙曲線C：Z(a>0,b>0)的一個焦點坐標(biāo)為(4,0),且雙曲線的兩條漸近線互相垂直，

2,2x

ab

則該雙曲線的方程為()

2222

A.—......=1B.----^―

881616

222222

C.工---三-=1D.—---工―二1或工---三-=]

888888

【答案】：A

22

【解析】雙曲線C:今冬=1(a>0,b>0)的一個焦點坐標(biāo)為(4,0),可得c=4,即有a；+b：=c：=16,

a2b2

雙曲線的兩條漸近線互相垂直，即直線尸上x和直線尸垂直，可得a=b,解方程可得a=b=2^,則雙

aa

22

曲線的方程為「-好1.故選：A.學(xué)-科網(wǎng)

OO

8.(寧德二模)過拋物線y2=4x的焦點F作一傾斜角為二的直線交拋物線于A,B兩點(A點在x軸上方),

3

則的=()

BF

A.遙B.&C.3D.2

【答案】：C

2

【解析】設(shè)A(xi,y,),B(x2,yz),則拋物線y=4x中p=2.AB|=xi+x2+p=---^2---=_§￡_,/.XI+X2=-1P.,

sim2933

Xx1X2=Pi-l,可得XF3,XZ=L則用工3,故選：C.

43|BF|L+1

3

9.(莆田期末.)己知拋物線C：x2=2py的焦點為F,過F且傾斜角為60°的直線1交C于A,B兩點若IAB|=16,

貝ljp=()

A.2B.4C.6D.12

【答案】：A

【解析】拋物線C：x2=2py的焦點為F(0,R),過F且傾斜角為60°的直線l：y-艮=后,可得x=4

22v/

代入拋物線方程，可得：yJ7py+L2=0，

則：y.+y2=7p,過F且傾斜角為60°的直線1交C于A,B兩點若|AB|=16,可得16=7p+p,

解得P=2.故選：A.

22

10.(天津)已知雙曲線=上廣1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線

2.2

ab

交于A,B兩點.設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為&和d”且di+dz=6,則雙曲線的方程為()

22222222

A.^―-z_=lB.C.2—-2_=1D.L-X_=l

3993412124

【答案】：A

【解析】由題意可得圖象如圖，CD是雙曲線的一條漸近線y=k_x，即bx-ay=0,F(c,0),AC1CD,BD±

CD,FE±CD,ACDB是梯形，F(xiàn)是AB的中點，EF=±止?jié)h3,EF-.bc^b,所以b=3,雙曲線』

信22

2Pab

2222

(a>0,b>0)的離心率為2,可得g=z可得：工專一=4,解得則雙曲線的方程為：--工_=1.故

11.(順慶區(qū)校級模擬)P為雙曲線二1右支上一點，F(xiàn),,F2分別為雙曲線的左右焦點，且

49

PF,?PF/0

,直線PF2交y軸于點A,則AAFF的內(nèi)切圓半徑為(

3D.走

A.2B.3C.

22

【答案】：A

【解析】：PR_LPF2,△APH的內(nèi)切圓半徑為r,PFi|+|PA|-|AFi|=2r,PF?|+2a+|PA|-|AFi|=2r,

12.（靜海區(qū)校級模擬）設(shè)拋物線y,=2x的焦點為F,過點M（盜，0）的直線與拋物線相交于A,B兩點,

s

與拋物線的準(zhǔn)線相交于點C,|BF|=2,則4BCF與4ACF的面積之（）

SAACF

A.2B.Ac.AD.L

3572

【答案】B

【解析】：拋物線準(zhǔn)線為x=-L,過A,B.作準(zhǔn)線的垂線AP,BQ,則BQ=BF=2,不妨設(shè)B在第象限，則B

2

RLI