第4章離散趨勢(shì)測(cè)度

笑話有一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家,他把頭放在熱的平底鍋中,把腳放在冰箱中,然后說:”現(xiàn)在,在平均的意義上我感覺很好.”一個(gè)社區(qū)的平均家庭收入可能是令人舒適的每年10萬(wàn)美元,但假如這個(gè)均值是從200戶極窮的人家與20戶極富的人家的收入計(jì)算得來的,它就不能代表他們中的任何一個(gè).明顯，只了解變量的集中趨勢(shì)是不夠的！一、測(cè)定離散程度的指標(biāo)及其作用1.說明數(shù)據(jù)的分散程度，反映變量的穩(wěn)定性、均衡性。數(shù)據(jù)之間差異越大，變量的穩(wěn)定性或均衡性越差。2.衡量平均數(shù)的代表性。離散程度越大，平均數(shù)的代表性就越小。3.統(tǒng)計(jì)推斷的重要依據(jù)判別統(tǒng)計(jì)推斷前提條件是否成立，衡量推斷效果好壞的重要尺度。集中趨勢(shì)弱、離散趨勢(shì)強(qiáng)集中趨勢(shì)強(qiáng)、離散趨勢(shì)弱（一）全距和四分位差（二）方差和標(biāo)準(zhǔn)差（三）變異系數(shù)（四）偏度離散程度的度量全距（Range）：全部數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。即：四分位差（interquartile

range）：第三個(gè)四分位數(shù)與第一個(gè)四分位數(shù)之差。即：RIQR152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174全距＝174-152=22（cm）四分位差＝167-160＝7（cm）152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174185190190200全距＝200-152=48（cm）四分位差＝168-160＝8（cm）Q1Q2Q3微小值極大值（一）全距和四分位差（二）方差和標(biāo)準(zhǔn)差（三）變異系數(shù)（四）偏度離散程度的度量方差（variance）：各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差（meansquaredeviation

Standarddeviation

）：是方差的算術(shù)平方根。也稱均方差、均方根差、離差均方根等。Var2S2MSDSTDEV

S方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算簡(jiǎn)單式加權(quán)式總體方差及標(biāo)準(zhǔn)差簡(jiǎn)單式樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算一般的計(jì)算過程：列表第一步計(jì)算均值第二步計(jì)算離差第三步離差平方第四步乘以權(quán)數(shù)簡(jiǎn)捷計(jì)算方法：不計(jì)算離差方差及標(biāo)準(zhǔn)差的作用方差及標(biāo)準(zhǔn)差的作用68.27%95.45%99.73%STAT《統(tǒng)計(jì)學(xué)》其次章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的作用標(biāo)準(zhǔn)差可以用來度量相對(duì)位置和異樣值的檢測(cè)。Z分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值，標(biāo)明Xi

距離其平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)數(shù)。某學(xué)生期末考試時(shí)，數(shù)學(xué)成果為85分，據(jù)此計(jì)算的Ｚ分?jǐn)?shù)為0.5；英語(yǔ)成果為70分，Ｚ分?jǐn)?shù)也是0.5。則說明該學(xué)生兩科考試成果的相對(duì)位置是相同的，即都高于平均成果0.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。一個(gè)數(shù)據(jù)集中某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)據(jù)反常地大或小，一般稱其為極端值或異樣值，應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步加以檢查、鑒別。一般的建議是：凡Ｚ分?jǐn)?shù)小于-3或大于+3的數(shù)據(jù)均可以被認(rèn)為是異樣值。異樣值的診斷Ｚ分?jǐn)?shù)法異樣值：質(zhì)量限制統(tǒng)計(jì)中限制圖的原理限制下限限制上限中心線

若數(shù)據(jù)落在限制線外，則認(rèn)為生產(chǎn)過程失去限制，推斷錯(cuò)誤的概率小于0.5%。國(guó)外一項(xiàng)探討表明，IQ值呈正態(tài)分布，其平均數(shù)為100，標(biāo)準(zhǔn)差為15。問：凡IQ值高于145的人都被視為天才，閱歷法則是否支持這一論斷？

結(jié)論：支持《統(tǒng)計(jì)學(xué)》其次章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174185190190200異常值練習(xí):前NBA巨星MichaelJordan身高78英寸，而WNBA運(yùn)動(dòng)員R.lobo身高76英寸。很明顯，Jordan高出2英寸，但誰(shuí)相對(duì)來說更高一些？Jordan在男性中的身高是否超過了lobo在女性中的身高？（男性身高的平均數(shù)為69.0英寸，標(biāo)準(zhǔn)差為2.8英寸；女性身高平均數(shù)為63.6英寸，標(biāo)準(zhǔn)差為2.5英寸。）是非標(biāo)記的均值及標(biāo)準(zhǔn)差其值僅表現(xiàn)為具有某種特征或不具有某種特征兩種狀況的標(biāo)記稱為是非標(biāo)記，也稱交替標(biāo)記。性別：男、女（非男）產(chǎn)品質(zhì)量：合格、不合格1010是非標(biāo)記的均值及標(biāo)準(zhǔn)差具有某種標(biāo)記的總體單位數(shù)不具有某種標(biāo)記的總體單位數(shù)總體單位總數(shù)是非標(biāo)記的均值及標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)記的均值：是非標(biāo)記的標(biāo)準(zhǔn)差：某廠某月份生產(chǎn)了1000件產(chǎn)品，其中合格品900件，不合格品100件。求產(chǎn)品質(zhì)量分布的集中趨勢(shì)與離散趨勢(shì)。集中趨勢(shì)離散趨勢(shì)不同贊同率下的標(biāo)準(zhǔn)差贊同率反映兩種看法的對(duì)立狀況，越接近50%，爭(zhēng)論的強(qiáng)度越大，可把這種“爭(zhēng)論強(qiáng)度”用方差或標(biāo)準(zhǔn)差的方法進(jìn)行計(jì)算和表示（一）全距和四分位差（二）平均差（三）方差和標(biāo)準(zhǔn)差（四）變異系數(shù)（五）偏度離散程度的度量變異現(xiàn)象舉例假如某家人每天的食譜都是一樣的，窮還是富？南美安第斯山，窮人老是吃土豆和玉米變異太小是“單調(diào)”、“齋”寧欺山莫欺水水裏的危急更多更隱藏，猝不及防什么是“戲劇性變更”現(xiàn)實(shí)中的變更小，但無(wú)巧不成書，要把很多小概率事務(wù)匯合一處，“濃縮”人生男性笨還是女性笨？在平均智力水平方面，男女并無(wú)明顯差別。但在被測(cè)為最聰慧的2％人群和最傻的2％人群中，男子人數(shù)均為女子的兩倍。參與這項(xiàng)探討的英國(guó)愛丁堡高校教授蒂莫西·貝茨說：“男性更簡(jiǎn)潔處在頂點(diǎn)和底部?！薄短┪钍繄?bào)》提到一種理論，男子為在女性面前更具魅力，會(huì)儘量提陞自己的智力。可比STAT《統(tǒng)計(jì)學(xué)》其次章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數(shù)可以相互比較STAT《統(tǒng)計(jì)學(xué)》其次章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可比變異系數(shù)（離散系數(shù)）：數(shù)列的離散水平指標(biāo)與數(shù)列均值的比值。STAT《統(tǒng)計(jì)學(xué)》其次章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（一）全距和四分位差（二）平均差（三）方差和標(biāo)準(zhǔn)差（四）變異系數(shù)（五）偏度離散程度的度量4.3統(tǒng)計(jì)分佈的形態(tài)相對(duì)于正態(tài)分佈而言，總體的分佈是否對(duì)稱?集中趨勢(shì)是高是低？分別用偏度和峰度指標(biāo)來反映。三階中心矩、四階中心矩可用來描述偏度和峰度兩個(gè)指標(biāo)可檢驗(yàn)數(shù)據(jù)集的分佈是否接近正態(tài)分佈(Skew=0，Kurt=0)。統(tǒng)計(jì)實(shí)務(wù)中常用來進(jìn)行質(zhì)量管理(如產(chǎn)品、過程等的一樣性、穩(wěn)定性)一、矩（動(dòng)差）矩（動(dòng)差）——一系列刻畫數(shù)據(jù)分布特征的指標(biāo)的統(tǒng)稱。變量值與數(shù)值a之離差的K次方的平均數(shù)稱為變量x關(guān)于a的K階矩，即：K階原點(diǎn)矩（當(dāng)a=0時(shí)）是數(shù)據(jù)的K次方的平均數(shù).一階原點(diǎn)矩即算術(shù)平均數(shù)；二階原點(diǎn)矩即平方平均數(shù)。

K階中心矩矩（當(dāng)a=均值

時(shí)）是以均值為中心計(jì)算的離差K次方的平均數(shù)k=1時(shí)，稱為一階中心矩，它恒等于0，即m1=0；k=2時(shí)，稱為二階中心矩，也就是方差，即m2=σ2。

二、偏度（Skewness）偏度——指數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱程度或偏斜程度。以對(duì)稱分布為標(biāo)準(zhǔn)來區(qū)分偏態(tài)分布又分左偏（負(fù)偏）和右偏（正偏）.左偏分布（負(fù)偏）右偏分布（正偏）偏態(tài)的測(cè)度方法-30+3

極左偏態(tài)對(duì)稱分布極右偏態(tài)一般有：（一）由均值與眾數(shù)（中位數(shù)）之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù)：（二）由三個(gè)四分位數(shù)之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù)值域：-1Sk1

極左偏態(tài)對(duì)稱分布極右偏態(tài)-10+1

偏度系數(shù)（三）利用3階中心矩來計(jì)算偏度系數(shù)。測(cè)定偏度最常用的方法原理：若分布不對(duì)稱，則3階中心矩不為0。不對(duì)此程度愈嚴(yán)峻，3階中心矩的確定值愈大。為消退量綱的影響，可除以σ3。0

對(duì)稱分布左偏分布

右偏分布偏態(tài)系數(shù)的含義左偏分布(也稱負(fù)偏分布)：偏態(tài)系數(shù)SK<0；偏態(tài)系數(shù)的絕對(duì)值越大，偏斜越嚴(yán)重?cái)?shù)據(jù)向左邊延伸得更多右偏分布(也稱正偏分布)：偏態(tài)系數(shù)SK>0；偏態(tài)系數(shù)的絕對(duì)值越大，偏斜越嚴(yán)重。數(shù)據(jù)向右邊延伸得更多對(duì)稱分布：偏態(tài)系數(shù)=0。

三、峰度（Kurtosis）峰度——是指變量的集中程度和分布曲線的陡峭（或平坦）的程度。對(duì)峰度的度量通常以正態(tài)分布曲線為比較標(biāo)準(zhǔn)，分為正態(tài)峰度、尖頂峰度和平頂峰度.平頂分布尖峰分布尖頂峰度的分布曲線比正態(tài)分布曲線更加尖峭、更高更窄；平頂峰度的分布曲線比正態(tài)安排曲線更為平緩、更低更扁平。峰度系數(shù)原理：分布曲線的尖峭程度與偶數(shù)階中心矩的數(shù)值大小有干脆關(guān)系。以四階中心矩m4為基礎(chǔ)，為了消退量綱的影響，再除以標(biāo)準(zhǔn)差的四次方σ4所得到的相對(duì)數(shù)即可衡量峰度。當(dāng)K=0時(shí)，分布曲線為正態(tài)曲線；當(dāng)K＞0時(shí)，為尖頂曲線，表示數(shù)據(jù)比正態(tài)分布更集中在均值旁邊；K的數(shù)值越大，則變量分布曲線之頂端越尖峭；當(dāng)K＜0時(shí)，為平頂曲線，表示數(shù)據(jù)比正態(tài)分布更分散；K的數(shù)值越小，則變量分布曲線之頂端越平坦。對(duì)于正態(tài)分布曲線有：m4/σ4=3，故峰度系數(shù)為：峰度系數(shù)的含義扁平分布尖峰分布峰度系數(shù)K<0，與正態(tài)分布相比該分布一般為扁平。峰度系數(shù)K>0，與正態(tài)分布相比該分布一般為尖峰。均值和方差相同的正態(tài)分布【例3-13】依據(jù)表3-3的數(shù)據(jù)，計(jì)算運(yùn)用壽命分布的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)。解：計(jì)算結(jié)果表明，偏度系數(shù)幾乎為0，峰度系數(shù)略小于0，說明該產(chǎn)品運(yùn)用壽命的分布特別接近對(duì)稱分布，分布曲線頂峰略比正態(tài)分布平坦一些?？偟恼f來，該產(chǎn)品的運(yùn)用壽命的分布特別接近正態(tài)分布。STAT《統(tǒng)計(jì)學(xué)》其次章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)離散形態(tài)的概念非對(duì)稱的，偏斜的分布對(duì)稱的、高度適中的分布既偏斜又低平的分布偏度（skewness）：度量數(shù)據(jù)分布非對(duì)稱方向及程度的指標(biāo)。SKSTAT《統(tǒng)計(jì)學(xué)》其次章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)STAT《統(tǒng)計(jì)學(xué)》其次章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)動(dòng)差法偏度的計(jì)算：一階中心矩衡為零，偶數(shù)階中心矩為正數(shù)，奇數(shù)階中心矩可以反映分布偏度。三階中心矩有計(jì)量單位，不便于比較，故用具有相同單位的3相除，去掉單位本章小結(jié)測(cè)度集中趨勢(shì)的各指標(biāo)的含義、計(jì)算方法、特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)合測(cè)度離散程度的各指標(biāo)的含義、計(jì)算方法、特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)合偏度與峰度的含義和測(cè)度方法利用Excel計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)量變異指標(biāo)1.一個(gè)班統(tǒng)計(jì)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為75，標(biāo)準(zhǔn)差為12.運(yùn)用全距閱歷法則估計(jì)最高和最低的通常分?jǐn)?shù)。在這里，50分能被視為通常的分?jǐn)?shù)嗎？2.女性的身高具有鐘形分布，其平均數(shù)為63