10.排列、組合、概率與統(tǒng)計-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題復(fù)習(xí)

nmm列與n．．．．．．mn!?數(shù)公式:n?數(shù)公式:.0+012nmm列與n．．．．．．mn!?數(shù)公式:n?數(shù)公式:.0+012rnrr．．．

?數(shù)的個質(zhì)①C;從個同素中出個素就下-m個素從個nn同元中出-m個素方是一對的因是樣.②C根組定與法理；在定+1個同素取個nnn元素法，于一素只在與不兩可，果這元，需從下的n個元中取m個元所以

如不這元則從余n個素中取個素所共C

n

種，分原有Cnnn

.1．類數(shù):完一件事，有n辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，??，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成件事共有=n+nn+?種不同的方法．M排2.分計原:完一件事,要分成n個步驟,做第一步有m種不同的方法第二步有種不同的方法,??,第步有m種不同的方法么完成這件事共有Nn?種不同的方法．M組注：類數(shù)理分計原是列組的礎(chǔ)核，可來導(dǎo)列數(shù)組合合數(shù)式也用直解。們共同都把個件成干分件來行計算只過用類算理，一種法獨(dú)完事；需續(xù)干步能完成則分。用類數(shù)理重在“與之具獨(dú)性并性利用步數(shù)理重分；與之間有依和續(xù)比復(fù)的題常先分類分步。3.?的義從n不同的元素中任取m(mn個元素，按照一定順序成一列，叫做從n個不同元素中取出個元素的一個排列.?數(shù)的義從n不同元素中取出m≤n)個素排成一列，稱為從n不同元素中取出個元素的一個排列.從n個不同元素中取出個元素的一個排列數(shù)，用符號A表示.其中∈，n并且≤(n((mnmN)()!當(dāng)=n列稱全列列數(shù)為A=nn記!且定O!=1.n注：!;A4.?的義從n個不同的素中任取(m≤n個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.?數(shù)的義從n不同的元素中取出mmn)個素的所有組合數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)．用符號C表示.n(nn!C!!()!規(guī)定C，中mn∈，mn注:排是排成排，合是并一”,前有而者無.第頁

排列與組合

5．排、合的基策與法(Ⅰ排、組問幾解方：①直法②排除法③捆法在定求條下將個相元當(dāng)一元來慮待體排之后再慮們局部的列它主用解“元相問”④插法先一元排好然把待元插在們間兩的檔中此法主解“元不鄰題.⑤占法從素特性講對題中特元應(yīng)先列然再其他般元素從置特性講對題的特位應(yīng)先慮然再其剩余即采“先特后般的解原⑥調(diào)法當(dāng)些素序定，用此解題法：將個素行排列種，m)個素全列有m種，由于求m個元次一，此能取n其中某種法可利除起去調(diào)的用即元排一列其mA個元次一，有n種排方法.AⅡ)排組常解策：①特元優(yōu)安策；②理類準(zhǔn)分步略③排、合合題選排策（處理排列組合綜合性問題一般是先選素，后排列④正則，價化略⑤鄰題空理策；⑥不鄰題空理略⑦序題法理策；⑧分問直處的略⑨小團(tuán)排列題先體局部策；⑩構(gòu)模的略.6.二式理?于N(a)n0anrr0n,這公nnn式所示定叫二式理右的多式做()n的開.注:開具以特：項數(shù)共項；系數(shù)依為合CCC,;nnn且每項次是樣，為次展式的冪列的冪列?展式通：的開第r+1為a(0r≤r).r?式數(shù)性.①二展式的r(r叫二式系②在項開中首兩等離的項的項系相；即C0n1n,Crnnnn第頁

．．．nn()2201nnrnrrqrqrnr333533334xx．．．nn()2201nnrnrrqrqrnr333533334xx3410210151514．．．．．．．．．．．．．．9289n且當(dāng)時二系是漸大當(dāng)時，項系是漸小的2n()當(dāng)是偶時中項第項它的項系C最大;2nn當(dāng)是數(shù)時中間項為兩項,即項和第項它們的二項式系數(shù)C最大.④系和有二式數(shù)和C;奇數(shù)二式數(shù)和偶n

排列與組合

例10.一個心形壇分兩分中小圓分植坪綠灌，圍圓環(huán)分nn≥3，n∈N)等，植、、三不同花要相兩分植同顏色花?，圓分的等為a，a，多少同種方？圖2，圓環(huán)分13的4等份，a，a，a，有少同種方？123?，圓分的n等份a，a，a，??，，有少同種方？123n項而系的:

0nn

4n

1n

3n

n

.⑤

mm

C

m

mm排

?何來求

(a

展開式中含

a

b

r

的系數(shù)呢？其中

,qrN

且列與組合排列與組合

n把()n[(a]視為二式，找出含有r的項(a)，一面在(a)中含b的項Cnqpq，n在(a)中含c的項為CCac其系數(shù)為nnn!()!n!CrCqpCr.r!(n)!!()!r!q!!?式理應(yīng)：決關(guān)似算、除題運(yùn)二展式理且結(jié)放縮法明指有的等。例1.3個分從5個點中擇處覽不的選種是)(A)5(B)3(C)A(D)C55例2.5本同課讀分5位學(xué)每一本,則同分配法()(A)20種種種(D)100種例3.6個排一，、、丙須在起排種().(A)A()()AADAA34例4.如果合A={x≤21}，則成合的素數(shù)().7()1個(B個()6個(D)個例5.如的展式中項數(shù)和128,展式的系是)23()7(B(C)21()例6.設(shè)1+x(1+)+?x=a++a+?則=()123()(B)C)()10例7.在(1的開中的系是)()-297)-252(C)297(D)207例8.對小55的然數(shù)，積55n-??68)-n)于()())()D)695569例9.若12)a+x+?xax，?的值_______.01218第頁

概率

1.隨事及概:?事件在一定的條件下必然要發(fā)生的事件,叫必然事件.?能事:在一定的條件不可能發(fā)生的事件做不可能事件.?事件在定的條件下可能發(fā)生也可不發(fā)生的事件做隨機(jī)事件.?事件概:一般地,在大量重復(fù)行同一試驗時事A發(fā)生的頻率總是接近于某個常n數(shù),它附近擺動,時就把這個常數(shù)叫做事件的概率記作().?從數(shù)上映一事的能的小,的值圍率是1,不能件概是0.2.等能件概:?事件一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每個結(jié)果稱為一個基本事件?能事的率如果一次試驗由個基本事件組成,而所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那1每件的都是,如果個事件A包有m那么事件的概率n().n3.?事：不能同時發(fā)生的兩個事件叫互事件如果件、互斥那事A+B發(fā)(AB有個生)概，于件B別生概和即A+B)=P(，推廣()P(A)(A)()112n?事件兩個事件必有一個發(fā)生的斥事件叫立事件.①對事的率等：.②互對的個件定斥但斥不定對事從集的度，事A對事所的果成集，全I(xiàn)中事件A含結(jié)組的合補(bǔ).第頁

P(AB)＝＝P(AB)＝＝·1概率

相獨(dú)立件A(或B)是發(fā)生對事件B(或發(fā)生的概率沒有影響,這的兩個事件叫做相互獨(dú)立事件注獨(dú)立事件是對任意多個事件講，而互斥事件是對同一驗來講的多個事件，且這多個件不能同時發(fā)生，故這些事件相互間必然影響，因此互斥事一定不是獨(dú)立事件.?個相互獨(dú)立事件時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的，即AA)·P(B).證明設(shè)甲試驗共有N種等可能的不同果，其中屬于A發(fā)生的結(jié)果有m種，乙試驗共有N種等可能的不同結(jié)果，其中屬于發(fā)生的結(jié)果有種，由于事件B互獨(dú)立，N與之間是相互沒有影響的，那么，、乙兩試驗的結(jié)果搭配在起，總共有N·N種不同的搭配，然這些搭配都是具有等可能性的.另，考察屬于事件B的試驗結(jié)果，顯然，凡屬于A的任何一種試驗的結(jié)果同屬于的任何一種乙試的結(jié)果的搭配，都表示與同時發(fā)生，即屬于事件B，這種結(jié)果總共有·種.因得：,∴AB)P(A)P(B)NN2注:當(dāng)兩事同發(fā)的率AB等這個件生率和這我們可

概率

例18.某商開促抽活，出的獎碼31，參加獎每位顧從0～9這個碼任抽六組一，顧客出六號中少5個搖的碼同不計序即可獎則獎概是_．用數(shù)作)例9.某射射次擊目的率是0.9.他連續(xù)射次，各射是擊目標(biāo)互間有響有列論①他次擊目的率0.9②恰擊目標(biāo)次概是×0.1他少中標(biāo)1次的率其正結(jié)的號是寫所正結(jié)的號)例20.A有一放個球個球個黃的≥y6B有一放3個球個球1個球箱兩各從己箱中取球比顏，定色為A勝異時B勝（1）、、表示B勝的率（2）A如調(diào)箱中球，能自獲的率大這兩事為立件.?:如事,A相互獨(dú)那么(A)(AA)PA)2n12?重復(fù)驗若n次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都依賴于其他各次試驗的結(jié)果，稱這次驗是獨(dú)立的如果在一次試驗中某事件發(fā)生概率為P那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中這個件恰好發(fā)生k次的概率：

P

(

)

注:式為二項式[-展開式的第項)注:①一地如事A與B相獨(dú)，么A與與，與B也都互立.②對何個件有

P()(A)(B)(例張券只張獎，個購，少有1人獎概是()(A)

(B)

(C

D

概率

1212例年月日甲地雨概是下雨概是0.12.假在天地是否雨互間有響,那甲乙都下的率)()()0.132)0.748(D例從1，，??這個中隨抽3個同數(shù)則個的為數(shù)的概是)()5(B)(C)921例袋中紅、球白各1個，次取個有回抽3次，下事8件中率的是)9()顏全相(B)顏不相顏全同顏色紅例袋中有球黑各個從任取球在下事中1恰1個球恰有2白球)至有1個球和全是球至有個球至有1個黑；(4至有個球全黑。對事的()()1()2()3)())例6.甲、兩人獨(dú)立解一題甲決個題概率，乙解決個題1概率，那恰有1人解這問的率()2()p(B)p)p(1)1(D)p)例17.某班50名生，其中15選A課，外35人修B課．從班級任選兩學(xué),他們是選修同程學(xué)的率．結(jié)用數(shù)示第頁

隨機(jī)變量與統(tǒng)計

隨機(jī)驗?如果足述件①試可在同情下復(fù)行②試的有能果明可的并且止一個③次驗是好現(xiàn)些果中一，在次驗前不肯定次試驗出哪個果它被為個隨試.?隨機(jī)驗結(jié)可用個量表么這的量做機(jī)如果機(jī)變量以一次一列,這樣隨變叫離型機(jī).注:隨變可取一間內(nèi)一值這的量做續(xù)隨機(jī).離散隨變：離型機(jī)量ξ可取值：,x,x,iξ取每個x(i)的概率P，則稱隨機(jī)量ξ概分，稱ξii的分列x……ip……2i有性①i；②.i稱Expp的學(xué)望平數(shù)均.n數(shù)學(xué)望簡期.數(shù)學(xué)期反了離型機(jī)量值平水注:隨變的數(shù)期：E(aE第頁

．．．．．．動越小nnPqp．．．．．．動越小nnPqp隨1統(tǒng)x當(dāng)已隨變布列P()p()時，稱kkp方差nn

總體布估:樣估總是研統(tǒng)問的個本想法,本量大估計準(zhǔn)將總與機(jī)量通后就可用率知研統(tǒng)問?體中個取同很時,其率布由所的本不值相的率來示其何示是應(yīng)條圖.顯然

D

≥

，故

.

為

的根差標(biāo)差隨變

的方與準(zhǔn)

?體中個取同較時,對頻分的研要到理本據(jù)知,都反了機(jī)量值的定波動集與散程.D小穩(wěn)定性越，．．

列出組間各間取的數(shù)頻其幾表就相的頻分直?頻率布從一角反了組據(jù)分的況因此頻分表常增設(shè)列積率而常頻分直圖面畫累頻分注:?變

的差D(D(a

)

D

.（a、均常）

?分布隨樣容的大更接總體布,當(dāng)本容無增且組隨機(jī)變量與統(tǒng)計

?與方的化2二分布如在次驗?zāi)臣怕蔖那在次立復(fù)驗中個事恰發(fā)k次的率是)[中kn,p]n于是到機(jī)量ξ概分如：1…k…nCp1nkpkqnn我們這的機(jī)量二分布記（,p中p為參，并記Ckpq(k,p).!注:二分~(n,有kpnp,(1p)k!()!k幾分布在獨(dú)重試中次機(jī)驗?zāi)臣l(fā)的率p,該件一發(fā)生所試驗次一取為整的散型機(jī)量“”表在k次獨(dú)重試驗事第次生.于得隨變率布下123kqp

的組無縮時,則率布方趨近總密曲時相的積率布圖會趨于條滑線即積布?過程的量制:通生過中質(zhì)控制,了統(tǒng)中設(shè)驗的基本想明正總及概密函的率掌握態(tài)線性及應(yīng)用并了“小率件的念和在次驗不能生思.正態(tài)布.（本不列考試圍Ⅰ)密曲與度數(shù)于續(xù)隨變圖位于x軸方曲叫密曲線以作圖的數(shù)(x叫做密度數(shù)則在一間[a,)內(nèi)的率于與x軸和直x機(jī)與直x圍的邊形的積如陰部）.由變于然事件故度曲與x軸夾分量面積于1.與(Ⅱ正分布正曲：果機(jī)量的率度：(計f()e（R,數(shù)且2稱從數(shù)的正態(tài)布用()示fx表式簡為()它的度線稱正曲.?態(tài)分的期望與差：若～(

，則的期望與差分別為：則稱這樣的隨機(jī)變量服從幾何分布,并記

(k,p)q

,其中

.p,k

?曲線性注：果機(jī)量從幾分即

P(g()則E

,D

.

①曲在x軸上，軸不相交②曲關(guān)直稱.③當(dāng)x時曲線于高，左向遠(yuǎn)時曲不地低呈現(xiàn)中間常用抽方有簡隨抽、統(tǒng)抽、層樣.類別共點不點聯(lián)系

適用圍

高、邊”的形線④當(dāng)x＜時曲上；x＞時曲下，且曲向左向兩無延簡單機(jī)抽

從總中個取

是后種法基礎(chǔ)

總體數(shù)少

伸時以x軸為近，無的近⑤當(dāng)一時曲的形由確，越，線矮”表示體分越散系統(tǒng)抽樣分層抽樣

抽樣程每個體抽取概相等

將體均成幾分按事先確的則在部抽將總分幾分層進(jìn)抽

在超部抽時用簡隨抽各層樣采簡單隨抽或統(tǒng)抽樣

總體數(shù)多總體差明顯的部組成

越，線瘦高，表總的布集中Ⅲ).?正態(tài)布如隨變概函數(shù)x則稱從標(biāo)正分即N(0,1))(x而＜b）計則Pb).

1(2，x)求，第頁

第頁

x(≤)P注意當(dāng)準(zhǔn)態(tài)布(x取時有x)0.5當(dāng)x(≤)P

例21.對于組據(jù)x(i=12，，?，果它改為x＋(i，2，，?iin)，其中c≠，則下面結(jié)論中正確的是()有

x)0.5

.比如

則

(A)平數(shù)方均變(B)均數(shù)了而差持變平均不，方變(D)平均與差發(fā)了化

必然于，如圖.

例22.已知

的分列（表示且

，則

的期值（）．?分布標(biāo)正分間關(guān)：

(A)

23

(B)

16

(C)1(D)

2936隨機(jī)變量與統(tǒng)計

若N()則ξ的分布函常F()表，且有P()F(x)).注:一般態(tài)布(),均化標(biāo)正態(tài)體來行若(只需變,就使(0,1)∴有式F())b∴若(則=))()?”原則.假設(shè)驗就態(tài)體言，行設(shè)檢可結(jié)如三：提統(tǒng)假設(shè)統(tǒng)計假里變服正分N(②確一試中的值a是落范(.③做出判斷：如果a，接受統(tǒng)計假設(shè)如果

隨機(jī)變量與統(tǒng)計

例設(shè)機(jī)變ξ的概分布為2(ξ=i)=a()i,i則a的是)317271727()(B)(C)(D)38381919例24.已知(n,，E=8，，則n與的分別（）A和()200.4和0.2和0.8例25.從含6個體總中取個量2的本一個體任個體a被抽的率與在個樣程中體被到的率為）1111A)均(B)均為第個，第二個(D)第個，第二個3633例①某高校為解生庭濟(jì)入況從自鎮(zhèn)的名生來自村150名生抽100名生樣某間任從件品抽10件本行產(chǎn)品量驗機(jī)樣層抽法述兩題和方配正的）(

，由這小率件就絕計

(A)①I，配①配，配(C)配I②I(D)①配，配?”原則應(yīng)用若機(jī)量服正分N(則ξ落在(內(nèi)的率99.7亦即在(外的率0.3，為概事，如果事發(fā)了就明種品合格即不從態(tài)布.10.線性歸（本不列考試圍回歸析研兩或個上量間相關(guān)的種計法嚴(yán)格來相關(guān)分兩，兩自變來，果們是機(jī)，它們?yōu)橄嚓P(guān)；果中個可控的，隨的另個隨的稱種關(guān)為回歸系由一非機(jī)變來計預(yù)另個隨變的測，建的學(xué)型及進(jìn)行統(tǒng)分，為元?dú)w析如果個學(xué)型線的稱一線性歸分析盡管有關(guān)的量的系確，但以過量驗找它之的統(tǒng)計規(guī)性然用個數(shù)系似描述們而這函是性，稱它線性回函。際在相系判出變之線相后一能很條直來近似表與兩變間的性系因存一最適直線這直用著名“小乘”以解課的閱材就“小乘”運(yùn)。散點圖表示有關(guān)系兩變的組據(jù)的形做點.第頁

例27.某校中有人其中一級300人高年人三級人，現(xiàn)采分抽法取量45人樣那么一高二高年抽的數(shù)別為()A，5，25，15，15(C)10530(D)15，10，例28.一個子裝大相的個球2個球從同取2個則中紅球數(shù)數(shù)期是_用字)例29.右是個量為的本頻分直圖請根圖中數(shù)填：?數(shù)據(jù)在圍；?數(shù)據(jù)在圍；例30.拋擲個子當(dāng)少一點點出時就說次驗功.（Ⅰ求次驗成的率（Ⅱ求次驗成次ξ的概率分列ξ的數(shù)學(xué)期與第10頁

123123數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例(第十章排列組合、概率與統(tǒng)計)答例1.A例例例4.C123123例5.C例例7.D例8.B例例解：?，先對a部分種植，有3不同的種法，再對a、a種植，2因為a、a與不同顏色，a、a