第五章平面向量總復習題及答案

PAGE平面向量總復習題一、選擇題1.下列說法中正確的是()A.向量a與向量b共線，向量b與向量c共線，則向量a與向量c共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點C.向量a與b不共線，則a與b的夾角為銳角D.始點相同的兩個非零向量平行答案：D2.兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的什么條件()A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：B3.當｜a｜＝｜b｜≠0且a、b不共線時，a＋b與a－b的關系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b).答案：B4.下面有五個命題：①單位向量都相等；②長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量；③若a，b滿足｜a｜＞

｜b｜且a與b同向，則a＞b；④由于零向量方向不確定，故0不能與任何向量平行；⑤對于任意向量a，b，必有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜其中正確的命題序號為()A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤解析：①單位向量方向不確定，故不一定相等，所以命題①錯誤；②方向相反的向量一定是共線向量，故命題②錯誤；③兩向量不能比較大小，故命題③錯誤；④0與任意向量平行，故命題④錯誤；⑤命題⑤正確.答案：B5.下列四式中不能化簡為的是()A.B.C.D.解析：A選項中，B選項中，=0，0=C選項中，=0，+0=+0=D選項中，答案：D6.已知正方形ABCD的邊長為1，＝a，＝b，＝c，則a＋b＋c的模等于()A.0B.2＋C.D.2解析：∵，∴a＋b＝c，∴a＋b＋c＝2c，∴｜2c｜＝2.答案：D7.如圖所示，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則下列等式中不正確的是()A.B.0C.D.答案：D8.已知a，b為非零向量，｜a＋b｜＝｜a－b｜成立的充要條件是()A.a∥bB.a，b有共同的起點C.a與b的長度相等D.a⊥b解析：｜a＋b｜＝|a－b｜｜a＋b｜2＝｜a－b｜2(a＋b)2＝(a－b)2a2＋2a·b＋b2a2－2a·b＋b2a·b＝0a⊥b答案：D9.下面有五個命題：①｜a｜2＝a2；②；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；⑤若a·b＝0，則a＝0或b＝0其中正確命題的序號是()A.①②③B.①④C.②④D.②⑤解析：②③(a·b)2＝(｜a｜·｜b｜cosα)2＝｜a｜2｜b｜2cos2α，a2·b2＝｜a｜2·｜b｜2，∴(a·b)2≠a2·b2⑤若a·b＝0，則a＝0或b＝0或a⊥b且a≠0，b≠0.答案：B10.若點P分有向線段成定比為3∶1，則點P1分有向線段所成的比為()A.－B.－C.－D.－解析：∵，則點P1分有向線段所成的比為－.答案：A11.若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b與ka-4b也互相垂直，則kA.－6B.6C.3D.－3解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，又∵(2a＋3b)⊥(ｋa－4b)，∴(2a＋3b)(ｋa－4b)＝2ｋa2－12b2＋(3ｋ－8)a·b＝－2ｋ－12＝0解得ｋ＝6答案：B12.已知點A(x,5)關于點C(1，y)的對稱點是B(－2，－3)，則點P(x,y)到原點的距離是()A.4B.C.D.解析：由中點坐標公式可得解得x＝4，ｙ＝1，再由兩點間距離公式得.答案：D13.將點(a,b)按向量a＝(h,k)平移后，得到點的坐標為()A.(a－ｈ，b＋ｋ)B.(a－ｈ，b－ｋ)C.(a＋ｈ，b－ｋ)D.(a＋ｈ，b＋ｋ)解析：設平移后點的坐標為(x′，ｙ′)，則根據(jù)平移公式可得答案：D14.點A(2，0)，B(4，2)，若｜AB｜＝2｜AC｜，則點C坐標為()A.(－1，1)B.(－1，1)或(5，－1)C.(－1，1)或(1，3)D.無數(shù)多個解析：由題意｜AB｜＝，

∴｜AC｜＝.故點C分布在以點A為圓心，半徑為的圓上，故點C坐標有無數(shù)多個.答案：D15.將曲線f(x，ｙ)＝0按向量a＝(ｈ，ｋ)平移后，得到的曲線的方程為()A.f(x－ｈ，ｙ＋ｋ)＝0B.f(x－ｈ，ｙ－ｋ)＝0C.f(x＋ｈ，ｙ－ｋ)＝0D.f(x＋ｈ，ｙ＋ｋ)＝0解析：設平移后曲線上任意一點坐標為(x′，ｙ′)，則根據(jù)平移公式可得又f(x，ｙ)＝0，∴f(x′－ｈ，ｙ′－ｋ)＝0即f(x－ｈ，ｙ－ｋ)為平移后曲線方程.答案：B16.設P點在x軸上，Q點在y軸上，PQ的中點是M(－1，2)，則｜PQ｜等于()A.4B.2C.5D.2解析：由題意設P(x，0)，Q(0，ｙ)，由中點坐標公式可得解得x＝－2，ｙ＝4，∴｜PQ｜＝.答案：B17.下列命題中，正確的是()A.｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜B.若a⊥(b－c)，則a·b＝a·cC.a2＞｜a｜D.a·(b·c)＝(a·b)c解析：A.a·b＝｜a｜·｜b｜cosα，｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜｜cosα｜≠｜a｜·｜b｜B.若a＝0，則a·b＝a·c，若b－c＝0，即b＝c，a·b＝a·c若a≠0，且b－c≠0由a⊥(b－c)，得a·(b－c)＝0∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，故B正確.C.若｜a｜＝0或1，則a2＝｜a｜.D.向量的數(shù)量積不滿足結合律.答案：B18.函數(shù)ｙ＝4sin2x的圖象可以由ｙ＝4sin(2x－)的圖象經(jīng)過平移變換而得到，則這個平移變換是()A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位解析：∵用x－替換掉函數(shù)ｙ＝4sin2x中的x可得ｙ＝4sin2(x－)＝4sin(2x－)故可將原函數(shù)圖象向左平移個單位得到.答案：A19.已知m，n是夾角為60°的兩個單位向量，則a＝2m＋n和b＝－3m＋2A.30°B.60°C.120°D.150°解析：∵m·n＝｜m｜·｜n｜cos60°＝∴｜a｜＝，｜b｜＝∴a·b＝(2m＋n)(－3m＋2n)＝－6m＋2n＋m·n＝－6＋2＋＝－∴cosα＝，∴α＝120°答案：C20.將函數(shù)的圖象按a平移后，函數(shù)解析式為，則a等于()A.(－2，1)B.(2，－1)C.(1，－1)D.(－1，1)解析：，即ｙ＋1＝∴用x－2，ｙ＋1分別替換了原函數(shù)解析式中的x，ｙ即∴a＝(2，－1)答案：B21.在直角三角形中，A、B為銳角，則sinA·sinB()A.有最大值和最小值0B.有最大值，但無最小值C.既無最大值，也無最小值D.有最大值1，但無最小值解析：∵△ABC為直角三角形，∴B＝－A∴sinA·sinB＝sinA·sin(－A)＝sinA·cosA＝sin2A當A＝B＝時，有最大值，但無最小值.答案：B22.α、β是銳角三角形的三個內角，則()A.cosα＞sinβ且cosβ＞sinαB.cosα＜sinβ且cosβ＜sinαC.cosα＞sinβ且cosβ＜sinαD.cosα＜sinβ且cosβ＞sinα解析：∵α、β是銳角三角形兩內角，∴α＋β＞，∴＞α＞－β＞0，∴sinα＞sin(－β)即sinα＞cosβ，同理sinβ＞cosα答案：B23.在△ABC中，sinA＜sinB是A＜B的()A.充分不必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：由正弦定理可得，∴由sinA＜sinB可得a＜b根據(jù)三角形小邊對小角可得A＜B，反之由A＜B也可推得sinA＜sinB故sinA＜sinB是A＜B的充要條件.答案：C24.在△ABC中，tanA·tanB＞1，則△ABC為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定解析：∵tanA·tanB＞1＞0，又∵A、B不可能同時為鈍角，∴tanA＞0，tanB＞0，∴tan(A＋B)＝＜0，∴90°＜A＋B＜180°，∴0°＜C＜90°，∴△ABC為銳角三角形.答案：A25.在△ABC中，A、B、C相應對邊分別為a、b、c，則acosB＋bcosA等于()A.2cosCB.2sinCC.D.c解析：由正弦定理得：得a＝2RsinA，b＝2RsinB∴acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RcosAsinB＝2Rsin(A＋B)＝2RsinC＝c答案：D26.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，則cosC等于()A.B.C.或D.－解析：由sinB＝，得cosB＝±＝±但當cosB＝－，cosA＋cosB＜0，C無解∴cosC＝cos［180°－(A＋B)］＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝sinAsinB－cosBcosA＝·－·＝答案：A27.在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果a2＜b2＋c2，則A的取值范圍是()A.90°＜A＜180°B.45°＜A＜90°C.60°＜A＜90°D.0°＜A＜90°解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，∴cosA＝，∴A＝90°，又∵a邊最大，∴A角最大∵A＋B＋C＝180°，∴3A＞180°，∴A＞60°，∴60°＜A＜90°答案：C28.已知點A分的比為2，下列結論錯誤的是()A.B分的比為－B.C分的比為－3C.A分的比為2D.C分的比為－解析：數(shù)形結合可得C選項錯誤.答案：C29.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，則△ABC的面積為()A.2B.C.2或D.2或4解析：sinC＝，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°∴S△ABC＝.答案：C30.在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2，則△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形解析：∵sinB·sinC＝又cosA＝cos［180°－(B＋C)］＝－cos(B＋C)＝－(cosBcosC－sinBsinC)∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1∴cos(B－C)＝1，∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形.答案：A二、解答題1.設ｅ1，ｅ2是兩個不共線的向量，已知e1＋ke2，e1＋3e2e1-e2.若A、B、D三點共線，求k的值.分析：由于A、B、D三點共線，因此存在實數(shù)λ，使＝λ，而＝-＝e1－4e2，將、的e1、e2表達式代入上式，再由向量相等的條件得到關于λ、ｋ的方程組，便可求得k的值.解析：＝-＝(2ｅ1－ｅ2)－(ｅ1＋3ｅ2)＝ｅ1－4ｅ2∵A、B、D三點共線，∴存在實數(shù)λ，使＝λ，∴2ｅ1＋ｋｅ2=λ(ｅ1－4ｅ2)于是可得：，解得：ｋ＝－8.評述：此題解答關鍵是應用兩個向量共線的充要條件，要注意兩個向量共線和三點共線的區(qū)別和聯(lián)系.2.已知a、b是兩個非零向量，當a＋tb(t∈R)的模取最小值時，(1)求t的值；(2)求證b⊥(a＋tb).分析：利用｜a＋tb｜2＝(a＋tb)2進行轉換，可討論有關｜a＋tb｜的最小值問題，若能算得b·(a＋tb)＝0，則證明了b⊥(a＋tb).解析：(1)設a與b的夾角為θ則｜a＋tb｜2＝(a＋tb)2＝a2＋2a·tb＋t2b2＝｜a｜2＋2t｜a｜·｜b｜cosθ＋t2｜b｜2＝｜b｜2t2＋(2｜a｜·｜b｜cosθ)t＋｜a｜2=|b|2t+|a|2(1-cos2θ)＝｜b｜2(t＋)2＋｜a｜2sin2θ∴當t＝－＝－時｜a＋tb｜有最小值.(2)b·(a＋tb)＝b(a－·b)＝a·b－·b·b＝a·b－a·b＝0∴b⊥(a＋tb).評述：對｜a＋tb｜變形，可以從兩個角度進行思考，一是通過｜a＋tb｜2＝(a＋tb)2的數(shù)量積運算；二是通設坐標化思想，進行向量的坐標運算，從而達到求解求證目的.3.如圖所示，OADB是以向量＝a，＝b為邊的平行四邊形，又BM＝BC，CN＝CD，試用a，b表示.解析：a－b∵(a－b)∴b＋(a－b)＝a＋b又由＝a＋b，得a＋b(a＋b)－(a＋b)＝a－b評述：由于a，b不共線，因此a，b構成平行四邊形OADB所在平面的一組基底，用它們可以表示出這個平面內的任何向量，將所要用a，b表示的向量連同a，b設法放在一個三角形或平行四邊形內，是解決此類問題的常見方法.4.已知O為△ABC所在平面內一點，且滿足.求證：O點是△ABC的垂心證明：設＝a，＝b，＝c，則＝c－b，＝a－c，＝b－a.∵∴a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2即c·b＝a·c＝b·a，故·＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝0·＝(c－b)·a＝c·a－b·a＝0∴⊥，⊥,∴點O是△ABC的垂心.5.如圖所示，圓O內兩弦AB、CD垂直相交于P點，求證：＋＋＋＝2.證明：設M、N分別為圓O的兩弦AB、CD的中點，連OM、ON，則OM⊥AB，ON⊥CD.∵＋＝2，＋＝2而AB⊥CD，∴四邊形MPNO為矩形∴＋＝，∴＋＋＋＝26.已知△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC邊上的高為AD，求點D和向量AD的坐標.解析：設點D坐標(x，ｙ)，由AD是BC邊上的高可得：⊥，且B、D、C共線，∴∴點D坐標為(1，1)，＝(－1，2)7.已知a、b、c分別為△ABC三內角A、B、C所對的邊，且2(sinA－sinB)，sinA－sinC，2(sinB－sinC)成等比數(shù)列.求證：2b＝a＋c證明：要證2b＝a＋c，由正弦定理只要證：sinB－sinA＝sinC－sinB即可：由已知可得：(sinA－sinC)2－4(sinA－sinB)(sinB－sinC)＝0，且sinA≠sinB，構造方程：(sinA－sinB)x2－(sinA－sinC)x＋(sinB－sinC)＝0，且x＝1是方程的根Δ＝(sinA－sinC)2－4(sinA－sinB)(sinB－