江蘇省昆山市2023年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)26《關(guān)于圓的計(jì)算》

PAGEPAGE12022年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題練習(xí)26?關(guān)于圓的計(jì)算?【知識(shí)歸納】1.圓的周長(zhǎng)為，1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，弧長(zhǎng)公式為.圓的面積為，1°的圓心角所在的扇形面積為，n°的圓心角所在的扇形面積為S=×πr2==.3.圓錐的側(cè)面積公式：S=.〔其中為的半徑，為的長(zhǎng)〕；圓錐的全面積：S全＝S側(cè)＋S底＝πrl＋πr2.【根底檢測(cè)】1．〔2022·湖北十堰〕如圖，從一張腰長(zhǎng)為60cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面〔不計(jì)損耗〕，那么該圓錐的高為〔〕A．10cmB．15cmC．10cmD．202.〔2022年浙江寧波〕如圖，圓錐的底面半徑r為6cm，高h(yuǎn)為8cm，那么圓錐的側(cè)面積為〔〕A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm3.〔2022·四川瀘州〕以半徑為1的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，那么該三角形的面積是〔〕A．B．C．D．4.(2022·四川資陽(yáng))在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以點(diǎn)B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D，假設(shè)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，那么陰影局部的面積是〔〕A．2﹣πB．4﹣πC．2﹣πD．π5.(2022·四川自貢)圓錐的底面半徑為4cm，高為5cm，那么它的外表積為〔〕A．12πcm2 B．26πcm2 C．πcm2 D．〔4+16〕πcm26.(2022年浙江麗水)如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線(xiàn)，D為半圓上一點(diǎn)，AD=AB，AD，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E．〔1〕求證：AD是半圓O的切線(xiàn)；〔2〕連結(jié)CD，求證：∠A=2∠CDE；〔3〕假設(shè)∠CDE=27°，OB=2，求的長(zhǎng)．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】一.選擇題1．〔2022·江蘇無(wú)錫〕圓錐的底面半徑為4cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為6cm，那么它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積等于〔〕A．24cm2 B．48cm2 C．24πcm22.(2022蘭州，12,4分)如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108o，假設(shè)繩索〔粗細(xì)不計(jì)〕與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，那么重物上升了〔〕〔A〕πcm(B)2πcm(C)3πcm(D)5πcm3．〔2022蘭州，14，3分〕圓錐底面圓的半徑為3m，其側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為〔〕A．3cmB．6cm C．9cm D．12cm4．〔2022·泰安，18，3分〕如圖，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)O1，O2，O3，O4分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，假設(shè)⊙O的半徑為2，那么陰影局部的面積為〔〕A．8 B．4 C．4π＋4 D．4π－5．〔2022?東營(yíng)，8，3分〕如圖，正方形ABCD中，分別以B、D為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)a為半徑畫(huà)弧，形成樹(shù)葉形〔陰影局部〕圖案，那么樹(shù)葉形圖案的周長(zhǎng)為〔〕〔第8題圖〕〔第8題圖〕ABCDA． B． C． D．6.〔2022山西，1，2分〕如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，那么圖中陰影局部的面積是〔B〕A．－B．－C．π－D．π－二、填空題7.〔2022江蘇淮安，17，3分〕假設(shè)一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線(xiàn)長(zhǎng)為6，那么該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是°．8．(2022福州，16,4分)如下圖的兩段弧中，位于上方的弧半徑為r上，下方的弧半徑為r下，那么r上r下．〔填“＜〞“=〞“＜〞〕9.(2022廣東，14,4分)如圖5，把一個(gè)圓錐沿母線(xiàn)OA剪開(kāi)，展開(kāi)后得到扇形AOC，圓錐的高h(yuǎn)為12cm，OA=13cm，那么扇形AOC中的長(zhǎng)是cm；〔結(jié)果保存〕10．〔2022·江蘇泰州〕如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、C在⊙O上，線(xiàn)段BD經(jīng)過(guò)圓心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，那么圖中陰影局部的面積為．11．(2022安徽)如圖，⊙O的半徑為2，A為⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的一條切線(xiàn)AB，切點(diǎn)是B，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)C，假設(shè)∠BAC=30°，那么劣弧的長(zhǎng)為．12．〔2022·山東煙臺(tái)〕如圖，在正方形紙片ABCD中，EF∥AD，M，N是線(xiàn)段EF的六等分點(diǎn)，假設(shè)把該正方形紙片卷成一個(gè)圓柱，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，此時(shí)，底面圓的直徑為10cm，那么圓柱上M，N兩點(diǎn)間的距離是cm．三、解答題13．〔2022?遼寧沈陽(yáng)〕我市某中學(xué)決定在學(xué)生中開(kāi)展丟沙包、打籃球、跳大繩和踢毽球四種工程的活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)四種工程的喜歡情況，隨機(jī)調(diào)查了該校m名學(xué)生最喜歡的一種工程〔2022?沈陽(yáng)〕如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別于BC，AC相交于點(diǎn)D，E，BD=CD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交邊AC于點(diǎn)F．〔1〕求證：DF⊥AC；〔2〕假設(shè)⊙O的半徑為5，∠CDF=30°，求的長(zhǎng)〔結(jié)果保存π〕．14．(2022福州)如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為中點(diǎn)，連接BM，CM．〔1〕求證：BM=CM；〔2〕當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，求的長(zhǎng)．15.(2022·新疆)如圖，在⊙O中，半徑OA⊥OB，過(guò)點(diǎn)OA的中點(diǎn)C作FD∥OB交⊙O于D、F兩點(diǎn)，且CD=，以O(shè)為圓心，OC為半徑作，交OB于E點(diǎn)．〔1〕求⊙O的半徑OA的長(zhǎng)；〔2〕計(jì)算陰影局部的面積．【知識(shí)歸納答案】1.圓的周長(zhǎng)為2πr，1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，弧長(zhǎng)公式為.圓的面積為πr2，1°的圓心角所在的扇形面積為，n°的圓心角所在的扇形面積為S=×πr2==.3.圓錐的側(cè)面積公式：S=.〔其中為圓錐底面圓的半徑，為圓錐的母線(xiàn)的長(zhǎng)〕；圓錐的全面積：S全＝S側(cè)＋S底＝πrl＋πr2.【根底檢測(cè)答案】1．〔2022·湖北十堰〕如圖，從一張腰長(zhǎng)為60cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面〔不計(jì)損耗〕，那么該圓錐的高為〔〕A．10cmB．15cmC．10cmD．20【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE的長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算出弧CD的長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)得到r，然后利用勾股定理計(jì)算出圓錐的高．【解答】解：過(guò)O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的長(zhǎng)==20π，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，那么2πr=20π，解得r=10，∴圓錐的高==20．應(yīng)選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．2.〔2022年浙江省寧波市〕如圖，圓錐的底面半徑r為6cm，高h(yuǎn)為8cm，那么圓錐的側(cè)面積為〔〕A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算．【分析】首先利用勾股定理求出圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，再通過(guò)圓錐側(cè)面積公式可以求得結(jié)果．【解答】解：∵h(yuǎn)=8，r=6，可設(shè)圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為l，由勾股定理，l==10，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為：S側(cè)=×2×6π×10=60π，所以圓錐的側(cè)面積為60πcm2．應(yīng)選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察圓錐側(cè)面積的計(jì)算公式，解題關(guān)鍵是利用底面半徑及高求出母線(xiàn)長(zhǎng)即可．3.〔2022·四川瀘州〕以半徑為1的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，那么該三角形的面積是〔〕A．B．C．D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【分析】由于內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形是特殊內(nèi)角的多邊形，可構(gòu)造直角三角形分別求出邊心距的長(zhǎng)，由勾股定理逆定理可得該三角形是直角三角形，進(jìn)而可得其面積．【解答】解：如圖1，∵OC=1，∴OD=1×sin30°=；如圖2，∵OB=1，∴OE=1×sin45°=；如圖3，∵OA=1，∴OD=1×cos30°=，那么該三角形的三邊分別為：、、，∵〔〕2+〔〕2=〔〕2，∴該三角形是以、為直角邊，為斜邊的直角三角形，∴該三角形的面積是××=，應(yīng)選：D．4.(2022·四川資陽(yáng))在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以點(diǎn)B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D，假設(shè)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，那么陰影局部的面積是〔〕A．2﹣πB．4﹣πC．2﹣πD．π【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算．【分析】根據(jù)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)可知BC=BD=AB，故可得出∠A=30°，∠B=60°，再由銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)S陰影=S△ABC﹣S扇形CBD即可得出結(jié)論．【解答】解：∵D為AB的中點(diǎn)，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2，∴BC=AC?tan30°=2?=2，∴S陰影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π．應(yīng)選A．5.(2022·四川自貢)圓錐的底面半徑為4cm，高為5cm，那么它的外表積為〔〕A．12πcm2 B．26πcm2 C．πcm2 D．〔4+16〕πcm2【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】利用勾股定理求得圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，那么圓錐外表積=底面積+側(cè)面積=π×底面半徑2+底面周長(zhǎng)×母線(xiàn)長(zhǎng)÷2．【解答】解：底面半徑為4cm，那么底面周長(zhǎng)=8πcm，底面面積=16πcm2；由勾股定理得，母線(xiàn)長(zhǎng)=cm，圓錐的側(cè)面面積=×8π×=4πcm2，∴它的外表積=16π+4π=〔4+16〕πcm2，應(yīng)選D．【點(diǎn)評(píng)】此題利用了勾股定理，圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解．6.(2022年浙江省麗水市)如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線(xiàn)，D為半圓上一點(diǎn)，AD=AB，AD，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E．〔1〕求證：AD是半圓O的切線(xiàn)；〔2〕連結(jié)CD，求證：∠A=2∠CDE；〔3〕假設(shè)∠CDE=27°，OB=2，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線(xiàn)的判定與性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算．【分析】〔1〕連接OD，BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ABO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根據(jù)等式的性質(zhì)得到∠ADO=∠ABO=90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到即可；〔2〕由AD是半圓O的切線(xiàn)得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代換得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到結(jié)論；〔3〕根據(jù)條件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根據(jù)平角的定義得到∠BOD=180°﹣54°=126°，然后由弧長(zhǎng)的公式即可計(jì)算出結(jié)果．【解答】〔1〕證明：連接OD，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圓O的切線(xiàn)；〔2〕證明：由〔1〕知，∠ADO=∠ABO=90°，∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，∵AD是半圓O的切線(xiàn)，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，∵BC是⊙O的直徑，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，∴∠A=∠CDE；〔3〕解：∵∠CDE=27°，∴∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°﹣54°=126°，∵OB=2，∴的長(zhǎng)==π．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)答案】一.選擇題1．〔2022·江蘇無(wú)錫〕圓錐的底面半徑為4cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為6cm，那么它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積等于〔〕A．24cm2 B．48cm2 C．24πcm2【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=×底面圓的周長(zhǎng)×母線(xiàn)長(zhǎng)即可求解．【解答】解：底面半徑為4cm，那么底面周長(zhǎng)=8πcm，側(cè)面面積=×8π×6=24π〔cm2〕．應(yīng)選：C．2.(2022蘭州，12,4分)如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108o，假設(shè)繩索〔粗細(xì)不計(jì)〕與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，那么重物上升了〔〕〔A〕πcm(B)2πcm(C)3πcm(D)5πcm【答案】：C【解析】：利用弧長(zhǎng)公式即可求解【考點(diǎn)】：有關(guān)圓的計(jì)算3．〔2022蘭州〕圓錐底面圓的半徑為3m，其側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為〔〕A．3cmB．6cm C．9cm D．12cm【解析】圓錐的計(jì)算．首先求得圓錐的底面周長(zhǎng)，然后根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式即可求得母線(xiàn)長(zhǎng)．【解答】解：圓錐的底面周長(zhǎng)是：6πcm，設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)是l，那么lπ=6π，解得：l=6．應(yīng)選B．【點(diǎn)評(píng)】考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．4．〔2022·泰安〕如圖，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)O1，O2，O3，O4分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，假設(shè)⊙O的半徑為2，那么陰影局部的面積為〔〕A．8 B．4 C．4π＋4 D．4π－【解析】扇形面積的計(jì)算；圓與圓的位置關(guān)系．首先根據(jù)得出正方形內(nèi)空白面積，進(jìn)而得出扇形COB中兩空白面積相等，進(jìn)而得出陰影局部面積．【解答】解：如下圖：可得正方形EFMN，邊長(zhǎng)為2，正方形中兩局部陰影面積為：4－π，∴正方形內(nèi)空白面積為：4－2〔4－π〕＝2π－4，∵⊙O的半徑為2，∴O1，O2，O3，O4的半徑為1，∴小圓的面積為：π×12＝π，扇形COB的面積為：＝π，∴扇形COB中兩空白面積相等，∴陰影局部的面積為：π×22－2〔2π－4〕＝8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了扇形的面積公式以及正方形面積公式，根據(jù)得出空白面積是解題關(guān)鍵．5．〔2022?東營(yíng)〕如圖，正方形ABCD中，分別以B、D為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)a為半徑畫(huà)弧，形成樹(shù)葉形〔陰影局部〕圖案，那么樹(shù)葉形圖案的周長(zhǎng)為〔〕〔第8題圖〕〔第8題圖〕ABCDA． B． C． D．【解答】：A【解析】：由題意得，樹(shù)葉形圖案的周長(zhǎng)為兩條相等的弧長(zhǎng)，所以其周長(zhǎng)為．6.〔2022山西〕如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，那么圖中陰影局部的面積是〔B〕A．－B．－C．π－D．π－【答案】B【解析】扇形BEF的面積為：S1==，菱形ABCD的面積為SABCD=，如右圖，連結(jié)BD，易證：△BDP≌△BCQ，所以，△BCQ與△BAP的面積之和為△BAD的面積為：，因?yàn)樗倪呅蜝PDQ的面積為，陰影局部的面積為：－二、填空題7.〔2022江蘇淮安，17，3分〕假設(shè)一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線(xiàn)長(zhǎng)為6，那么該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是120°．【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【分析】根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)等于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，首先求得展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【解答】解：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)是：2π×2=4π〔cm〕，設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．那么=4π，解得：n=120．故答案為120．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓錐的有關(guān)計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．8．(2022福州，16,4分)如下圖的兩段弧中，位于上方的弧半徑為r上，下方的弧半徑為r下，那么r上=r下．〔填“＜〞“=〞“＜〞〕【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算．【分析】利用垂徑定理，分別作出兩段弧所在圓的圓心，然后比擬兩個(gè)圓的半徑即可．【解答】解：如圖，r上=r下．故答案為=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了弧長(zhǎng)公式：圓周長(zhǎng)公式：C=2πR〔2〕弧長(zhǎng)公式：l=〔弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R〕；正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．9.(2022廣東，14,4分)如圖5，把一個(gè)圓錐沿母線(xiàn)OA剪開(kāi)，展開(kāi)后得到扇形AOC，圓錐的高h(yuǎn)為12cm，OA=13cm，那么扇形AOC中的長(zhǎng)是cm；〔結(jié)果保存〕答案：【解析】勾股定理，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，弧長(zhǎng)公式。由勾股定理，得圓錐的底面半徑為：＝5，扇形的弧長(zhǎng)＝圓錐的底面圓周長(zhǎng)＝10．〔2022·江蘇泰州〕如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、C在⊙O上，線(xiàn)段BD經(jīng)過(guò)圓心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，那么圖中陰影局部的面積為π．【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算．【分析】通過(guò)解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，從而可求出∠AOC=150°，再通過(guò)證三角形全等找出S陰影=S扇形OAC，套入扇形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，∴OB==，sin∠AOB==，∠AOB=30°．同理，可得出：OD=1，∠COD=60°．∴∠AOC=∠AOB+=30°+180°﹣60°=150°．在△AOB和△OCD中，有，∴△AOB≌△OCD〔SSS〕．∴S陰影=S扇形OAC．∴S扇形OAC=πR2=π×22=π．故答案為：π．11．(2022安徽)如圖，⊙O的半徑為2，A為⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的一條切線(xiàn)AB，切點(diǎn)是B，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)C，假設(shè)∠BAC=30°，那么劣弧的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】切線(xiàn)的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算．【分析】根據(jù)條件求出圓心角∠BOC的大小，然后利用弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵AB是⊙O切線(xiàn)，∴AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，∴∠BOC=120°，∴的長(zhǎng)為=．故答案為．12．〔2022·山東煙臺(tái)〕如圖，在正方形紙片ABCD中，EF∥AD，M，N是線(xiàn)段EF的六等分點(diǎn)，假設(shè)把該正方形紙片卷成一個(gè)圓柱，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，此時(shí)，底面圓的直徑為10cm，那么圓柱上M，N兩點(diǎn)間的距離是cm．【考點(diǎn)】圓柱的計(jì)算．【分析】根據(jù)題意得到EF=AD=BC，MN=2EM，由卷成圓柱后底面直徑求出周長(zhǎng)，除以6得到EM的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出MN的長(zhǎng)即可【解答】解：根據(jù)題意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，∵把該正方形紙片卷成一個(gè)圓柱，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，底面圓的直徑為10cm，∴底面周長(zhǎng)為10πcm，即EF=10πcm，那么MN=cm，故答案為：．三、解答題13．〔2022?遼寧沈陽(yáng)〕我市某中學(xué)決定在學(xué)生中開(kāi)展丟沙包、打籃球、跳大繩和踢毽球四種工程的活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)四種工程的喜歡情況，隨機(jī)調(diào)查了該校m名學(xué)生最喜歡的一種工程〔2022?沈陽(yáng)〕如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別于BC，AC相交于點(diǎn)D，E，BD=CD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交邊AC于點(diǎn)F．〔1〕求證：DF⊥AC；〔2〕假設(shè)⊙O的半徑為5，∠CDF=30°，求的長(zhǎng)〔結(jié)果保存π〕．【考點(diǎn)】切線(xiàn)的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算．【分析】〔1〕連接OD，由切線(xiàn)的性質(zhì)即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位線(xiàn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)即可得出，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得出∠CFD=∠ODF=90°，從而證出DF⊥AC；〔2〕由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再結(jié)合OB=OD可得出△OBD是等邊三角形，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．【解答】〔1〕證明：連接OD，如下圖．∵DF是⊙O的切線(xiàn)，D為切點(diǎn)，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°．∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位線(xiàn)，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．〔2〕解：∵∠CDF=30°，由〔1〕得∠ODF=90°，∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形