專(zhuān)題27第5章相似三角形之母子型備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）（解析版）

27第5章相似三角形之母子型

一、單選題

1.如圖，在心AABC中，CO是斜邊AB上的高，則圖中的相似三角形共有（）

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

【答案】C

【解析】根據(jù)相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.

【解答】:NACB=90。CD1AB

.".△ABC^AACD,△ACD^ACBD,△ABC^ACBD

所以有三對(duì)相似三角形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查相似三角形的判定定理：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角

相等的兩個(gè)三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

2.如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD、BE的交點(diǎn)，CE=2AE,BF=EF,EN〃BC

交AD于N,若BD=2,則CD長(zhǎng)度為（）

E

BDC

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到相等的角，再結(jié)合BF=EF先證明4NEF也Z\DBF,即可得至ljNE=BD=2,再

證明△ANE^AADC,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解.

【解答】解：：NE〃BC,

，/NEF=/DBF,ZENF=ZBDF,

又：BF=EF,

.?.△NEF絲ZXDBF,

，NE=BD=2.

VNE/7BC,

.,.△ANE^AADC,

.NEAE

?.---=----,

CDAC

VCE=2AE,

.NEAE

"CD-AC-3'

/.CD=6.

故答案選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，主要注意

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD,AD±,BELCF于點(diǎn)G,若BC=4,AF=1,則CE的長(zhǎng)

為（)

AFD

1216

A.3B.—D.—

55

【答案】A

【解析】過(guò)D做。〃。于點(diǎn)H,由正方形ABCD的性質(zhì)，通過(guò)證明△EDCs△尸和

△FDHsMBG計(jì)算得到GC,再通過(guò)證明叢ECGs叢CDF從而求得CE的長(zhǎng).

【解答】如下圖，過(guò)D做于點(diǎn)H

???4DHF=90

?.?正方形ABCD

:?NFDC=90且AD=CD=3C=4

：AF=1

FD=AD—A尸=4—1=3

FC=^Flf+CD2=732+42=5

又丁NDHF=NFDC=90

/?AFDC^/\FHD

FF3

--

FF-5-

9

5-

又,?,正方形ABCD

二AD//BC

，NDFH=NBCG

,/BELCF于點(diǎn)G

???NBGC=/CGE=90°

，AFDHs4CBG

.GCBC4

"~FH~~FD~3

9

FH=乙

5

.“12

.?GC=—

5

ZFCD=ZECG且NFDC=NCGE=90

，AECGs4CDF

12

：.ECGC_y3

7c-CD-T-5

33

，EC^-FC=-x5=3

55

故選：A.

方法二:

ZBEC+ZFCD=90°,

ZDFC+ZFCD=90°,

.\ZBEC=ZDFC,

又,:ZCDF=ZBCE,

BC=CD,

.,.△BCE^ACDF,

，CE=DF=4-1=3;

【點(diǎn)睛】本題考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、相似

三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

4.如圖，點(diǎn)P是AABC的邊上的一點(diǎn)，若添加一個(gè)條件，使A4BC與ACBP相似，則下列所添加的

條件錯(cuò)誤的是（）

A.ZBPC=ZACBB.ZA=ZBCPC.AB:BC=BC:PBD.AC:CP=AB:BC

【答案】D

【解析】在AABC與△CBP中，已知有一對(duì)公共角NB,只需再添加一組對(duì)應(yīng)角相等，或夾已知等角的兩

組對(duì)應(yīng)邊成比例，即可判斷正誤.

【解答】A.己知/B=/B,若NBPC=NACB,則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意;

B.已知/B=NB,若NA=NBCP,則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意;

C.已知NB=NB,若=則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；

D.若AC：CP=A5：BC,但夾的角不是公共等角NB,則不能證明兩三角形相似，錯(cuò)誤，符合題意,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答的關(guān)鍵.

二、填空題

5.如圖，在邊長(zhǎng)為4正方形ABCD中，以為腰向正方形內(nèi)部作等腰△A3E，點(diǎn)G在。。上，且

CG=3DC.連接并延長(zhǎng)，與AE交于點(diǎn)尸，與延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H.連接OE交5”于點(diǎn)K.若

AE?=BFBH，貝.

【答案】y

【解析】作EM1.A5于M，交CO于N,根據(jù)勾股定理可得BG,再由相似三角形的性質(zhì)可得BH,

繼而判定并求得BF的長(zhǎng)，由全等三角形的性質(zhì)可得ME,利用線(xiàn)段的和差求得EN,

進(jìn)而由三角形面積公式即可求解.

【解答】作EMLA5于M,EM交CD于N,如圖，則EN_LCD,

CG=3DG,

/.DG=1.CG=3,

在H〃BCG中，BG=732+42=5*

■:DG//AB,

：.AHDGS&HAB.

?普筆即嚼H解得期可

AE2=BFBH>而AB=AE，

???AB2=BFBH-即AB:BE=8"：AB,

而Z4班'=

二ABAFS/^BHA.

二NBFA=NBAH=90°,

ABFIAE.

n.AB24212

???BH205，

3

VZBME=EFB,NMBE=NFEB,BE=EB,

.,.△BME^AEFB(AAS),

，ME=BF=——,

5

，EN=4-—=-,

55

._1.8_16

?*Sv&CDE=2X4X5

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)求得關(guān)鍵線(xiàn)段的長(zhǎng)解決問(wèn)題.

6.如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓0經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,D.AC與BD相交于點(diǎn)E,CD2=CECA,分別

延長(zhǎng)AB,DC相交于點(diǎn)P,PB=BO,CD=20.則BO的長(zhǎng)是.

【答案】4

【解析】連結(jié)0C,設(shè)。。的半徑為r,由DC2=CE?CA和NACD=NDCE,可判斷△CADs^CDE,得到

ZCAD=ZCDE,再根據(jù)圓周角定理得NCAD=NCBD,所以NCDB=NCBD,利用等腰三角形的判定得

PCpn

BC=DC,證明OC〃AD,利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到三=f=2,則PC=2C￡>=4后，然后證明

CZri

△PCBsAPAD,利用相似比得到—=一］，再利用比例的性質(zhì)可計(jì)算出r的值即可.

3r6V2

【解答】解：連結(jié)0C,如圖，設(shè)。。的半徑為小

〈DC?=CE(A,

.DCCA

??—，

CEDC

而NACD=NOCE,

ACW^ACDE，

：.NCAD=NCDE,

???NCAD=NCBD,

：.ZCDB=ZCBD,

:.BC=DC,

CD=CB，

：.ZBOC=ABAD,

：.0C//AD,

PCPO2rc

----=-------=2,

CDOAr

:.PC=2CD=4y/2>

-.ZPCB=ZPAD,ZCPB=ZAPD,

叢PCBs/\PAD,

.PCPB472r

-=,即-----=—1=,

PAPD3r6A/2

/.r=4,

即0B=4.

故答案為：4.

D

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩

個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋

找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作

輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時(shí)可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還

是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可.也考查了圓周角定理.

7.如圖，在AABC中，ZABC=45°,AB=2>/2>AD=AE，/DAE=90°，CE=&，則CD的

長(zhǎng)為.

【答案】5

【解析】在CD上取點(diǎn)F,使ZDEF=NADB，證明&ADBs&DEF，求解。尸=4,再證明

△CEFSKDE,利用相似三角形的性質(zhì)求解CF即可得到答案.

【解答】解：在CD上取點(diǎn)F,使4>EF=NADB,

?.?AD=AE，"AE=90°,

由Jg+a爐

DE=V2AD=V2AE，

?.?/ABC=45。，/ADE=45。，

且NADC=/ADE+NEDC=NAB。+ABAD,

..4AD=4DC,

?.4DA=EEF，

/.△ADBszJDEF，

DFDEr-

=V2,NEFD=NABO=45。，

ABAD

AB=2V2，

..DF=4,

又ZAED=45°=NCDE+",NEFD=NCEF+ZC=45°,

../CEF=/CDE,

zc=zc,

/.△CEFsACDE,

CEDC

'CF-CE）

又?.?DF=4,CE=B

.5/5_CF+4

"CF"V5

.?.CF=1或CF=5（舍去）,

經(jīng)檢驗(yàn)：5=1符合題意，

.?.CD=CF+4=5.

故答案為：5.

本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的

判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE〃BC,△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)AQ交DE于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)

交AB、AC于R、S,若券=%=*,5。=9,則DE=________

ZUr\ijj

【答案】6

AHAS2

【解析】由——=—=一，且NRAS=/CAB,可證得AARSsaACB,所以/ARS=NACB,再由

ACAB3

APAR_2DEAP2

ZBAP=CAQ可證得△ARP^AACQ,——=--------------Z再由DE〃BC,可知二二二--------------z把BC的值

AQAC3BCA。3

代入可求得DE.

ARAs2

【解答】解：：一=—=一，且NRAS=NCAB,

ACAB3

/.△ARS^AACB,

.".ZARS=ZACB,

又；AQ為角平分線(xiàn)，

.".ZBAP=CAQ,

/.△ARP^AACQ,

APAR2

??而一前一

：DE〃BC,

.DEAP_2

"BC-AQ-3

VBC=9,

.DE2

??——，

93

，DE=6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能利用條件兩次證得三角形相似，從而得

到DE和BC的比值.

9.如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在邊上，把ABCE沿直線(xiàn)CE對(duì)折，使點(diǎn)8落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)F處，

連接。尸.若點(diǎn)E,F,。在同一條直線(xiàn)上，AE=2,plijDF=,BE=.

【答案】2V5-1

【解析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到4)=3。，NAQC=NB=ND4E=90°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到

CF=BC,NCFE=NB=90°,EF=BE,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到。E=AE=2；最后根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)即可得BE的值.

【解答】?.?四邊形ABCD是矩形

AAD=BC,ZADC=ZB=ZDAE^9Q°

:把ABCE沿直線(xiàn)CE對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)F處

:.CF=BC,ZCFE=ZB=90°,EF=BE

：.CF^AD,NCFD=90°

，ZADE+ZCDF=ZFCD+ZCDF=90°

:?ZADE=NFCD

ZADE=ZFCD

在AADE和△方CD中，＜A。=

ZDAE=NCFD=90°

:.^ADE^^FCD（ASA）

???DF=AE=2

,/ZAFE=NCFD=90。

ZAFE=ZDAE=90°

■:ZAEF=ADEA

:.^AEF~^DEA

.AEEFAEEF

?.----=-----，即nri---------=----

DEAEDF+EFAE

.2EF

"2+EF~^1

解得EF=逐一1或=—石一1<O（不符題意，舍去）

則8E=Ef=逐一1

故答案為：2,75-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)，正確找出兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵.

10.如圖，在AA8C中，AB=AC=4,BC=4出，點(diǎn)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外），將線(xiàn)段BD繞點(diǎn)D

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED,連接CE,則ACDE面積的最大值為

E

A

B

9

【答案】-

2

【解析】設(shè)CD=x,過(guò)A作4ZJLBC與Z,過(guò)B作3NLAC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,過(guò)E作切7±。的延長(zhǎng)線(xiàn)

于M,由?△4M7得到必=―,再利用勾股定理求出NC,證出△MED三△NDB,即可得

ACBC

出結(jié)果；

【解答】設(shè)CD=x,過(guò)A作力Z_LBC與Z,過(guò)B作BN_LAC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,過(guò)E作￡勿±。的延長(zhǎng)線(xiàn)

于M,如圖所示：

VAB=AC,

:.ZC=工BC=2后,

2

VAC=4,

>>AZ="-僅時(shí)=2，

又：ABNC=￡AZC=90°.

，△這?ABNC,

.AZBN

??=，

ACBC

2_BN廣

--,解得BN=2V3，

根據(jù)勾股定理得4V=yjAB2-BN2=J42—(2次『=2,

:.NC=6,

根據(jù)題意可得NB￡)E=90°,

即可得到ZNBD=ZMDE,

???線(xiàn)段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED

:.BD=ED

:.叢MED三4NDB,

：.ME=DN=CN-CD=6-X,

==XCDXME=-x（6-z）xx=-—x2+3x,

24CDE22v72

b

x=-----

二面積最大時(shí)，2a

9

此時(shí)x9+3x3=-.

最大22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的靈活應(yīng)用，做出輔助線(xiàn)是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題

11.如圖，在ZiABC中，。為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=2?,CD=4,BD=2,求證：&ACMXBCk.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】根據(jù)4c=2#,CD=4,BD=2,可得生=烏，根據(jù)/C=/C,即可證明結(jié)論.

BCAC

【解答】解：：AC=2?，CD=4,80=2

.AC_276_V6CD4「娓

'BC~4+2一丁'AC~276-3

.ACCD

"5C-AC

:NC=NC

二AACD^ABCA.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

12.已知，如圖，ZSABC中，AB=2,BC=4,。為BC邊上一點(diǎn)，BD=\,AD+AC=S.

BDC

（1）找出圖中的一對(duì)相似三角形并證明；

（2）求AC長(zhǎng).

【答案】（1）△BAD^/\BCA,理由見(jiàn)詳解；（2）y

【解析】（1）由題意易得些=絲=',然后由ZB是公共角，問(wèn)題可證；

ABBC2

AD1

（2）由（1）可得把=上，再由AO+AC=8可求解.

AC2

【解答】解：（1）△BAD^ABCA,理由如下：

???AB=2,BC=4,BD=\,

,BD_1AB_2

,BD_ABI

又???ZB=ZB,

ABAD0°ABCA；

Ani

（2）由（1）得：—=-,即AC=24）,

ZlX-z乙

???AO+AC=8,

Q

AAD+2AD=8,解得：AD=-f

3

AC=—.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形A8C。中，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A,C不重合），連接

DE,作EFLDE交射線(xiàn)BA于點(diǎn)兒過(guò)點(diǎn)E作MN〃8c分別交C。，A8于點(diǎn)M、N,作射線(xiàn)DF交射線(xiàn)C4

于點(diǎn)G.

（1）求證：EF=DE；

（2）當(dāng)4/=2時(shí)，求GE的長(zhǎng).

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及EFLDE,證明△DME絲4ENF即可；

（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算出DF,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到空=坐，計(jì)算出DG,FG的值，利用特殊角的

AFFG

銳角三角函數(shù)計(jì)算出DE的值，最后證明△DGEs/\AGF,利用相似比列出方程即可求出GE的值.

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABCD是正方形，且MN〃BC,

四邊形ANMD是矩形，ZBAC=45°,

AZANM=ZDMN=90°,EN=AN=DM,

???ZDEM+ZEDM=90°,

■:EFIDE,

ZDEM+ZFEN=90°,

AZEDM=ZFEN,

???在ADME與aENF中

ZDME=ZENF=90°,DM=EN,ZEDM=ZFEN,

AADME^AENF(ASA),

???EF=DE

(2),?,四邊形ABCD是正方形,

???AB〃DC,ZDAB=90°,

JDFty/AD2+AF2=275'

:?爺嘿，即白刃言^解得:DG=￥，

.?.FG=DF-DG=^^,

3

又：DE=EF,EFlDE,

...△DEF是等腰直角三角形，

二ZEDF=45°,DE=EF=DF?sin45°=275x—=V10，

2

二ZGAF=ZGDE=45°,

又?.?NDGE=NAGF,

.,.△DGE^AAGF,

，「口屈_GEr-

.噂nx=H，即〒=而，解得：GEWc，

ArLrr------3

3

.”5夜

??(JE=------.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)及判定，第（1）問(wèn)的解題關(guān)鍵是證明

△DME^AENF,第（2）問(wèn)的解題關(guān)鍵是通過(guò)相似三角形的性質(zhì)列出方程.

14.如圖，小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他拿出一根標(biāo)桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過(guò)標(biāo)

桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面1.5m,標(biāo)桿頂端離地面2.4m,小明到標(biāo)桿的距離DF=2m,標(biāo)桿

到塔底的距離DB=30m,求這座古塔的高度.

【答案】14.3m

【解析】先根據(jù)小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EHLAB可知，BH=DG=EF=1.5m,再小明眼睛離地面

1.5m,竹桿頂端離地面2.4m求出CG的長(zhǎng)，由于CD〃AB可得出△EGCs^EHA,再根據(jù)相似三角形的對(duì)

應(yīng)邊成比例可求出AH的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng).

【解答】解：；小明、竹桿、古塔均與地面垂直，EH1AB,

，BH=DG=EF=1.5m,EG=DF,GH=DB,

?小明眼睛離地面1.5m,竹桿頂端離地面2.4m,

，CG=CD-EF=2.3-1.5=0.8m,

?；CD〃AB,.?.△EGC?AEHA

：DF=2mDB=30m,

.EGCG7AQ

即布T而,解得：AH*.8m,

.,.AB=AH+BH=12.8+1.5=14.3m,

答：古塔的高度是14.3m.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，先根據(jù)題意得出相似三角形，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，已知雙曲線(xiàn)y=￡(x>0)經(jīng)過(guò)斜邊的中點(diǎn)。，與直角邊A8相交于點(diǎn)C，若AO8C的

面積為3,求大的值.

【答案】k=2

【解析】過(guò)點(diǎn)。做軸，可得SAOE0=SA℃A=gA，再根據(jù)八。鉆6八0即可得54?！?2%，最后

根據(jù)SbOBc=2k~^-k=3即可求得k的值?

S&OAB-SWCA=

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。做OE_Lx軸，垂足為￡,

中，NQ4B=90°,

，DE//AB

,/D為RtAOAB斜邊08的中點(diǎn),

；?OE為用AMS的中位線(xiàn)

**?AOAB00AOED且...——

0B2

k

???雙曲線(xiàn)的解析式是y

x

??S^OED=S&OC人=5%，S，\OAB=2k

S^OBC=S^OAB~S^OCA=2k-gk=3

解得Z=2

k

【點(diǎn)睛】主要考查了反比例函數(shù)丁=一中k的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)和判定.過(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)引

X

X軸、y軸垂線(xiàn)，所得三角形面積為g|%|是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類(lèi)

題一定要正確理解k的幾何意義.

16.如圖，AB=16cm,AC=12cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以每秒2cm和1cm的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)

A出發(fā)，沿AC邊一直移到點(diǎn)C為止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA邊一直移到點(diǎn)A為止，（點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C后，

點(diǎn)Q繼續(xù)運(yùn)動(dòng)）

（1）請(qǐng)直接用含t的代數(shù)式表示AP的長(zhǎng)和AQ的長(zhǎng)，并寫(xiě)出定義域.

（2）當(dāng)t等于何值時(shí)，ZkAPQ與aABC相似？

【答案】⑴x=2f（0WY6）,%=167（0（區(qū)16）；（2）在0KY6中，當(dāng)f=首時(shí)，AAQP?AA3C,

在6W/W16中，當(dāng)t=7時(shí)，AACC-AACB.

【解析】（1）本題可結(jié)合三角形的周長(zhǎng)，根據(jù)路程=速度x時(shí)間求出AP的長(zhǎng)3和AQ的長(zhǎng)必關(guān)于時(shí)間t的

時(shí)間函數(shù)。

（2）分叱區(qū)6,6sts16兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出所用的時(shí)間。

【解答】解：⑴由題意得：y=2f（OWY6）,必=16f（0W/W16）；

(2)當(dāng)0K/W6時(shí),

①若0/7/8C，則有AAQP~A4BC,.?.絲=絲

ABAC

'：A8=16cm,AC=12cm,AP=Item,AQ=(16-f)cm,

16—Z2t.48

-----=一，解得：t=—

161211

②；Z4=ZA，若ZAQP=NC,則有ZV1QP~AACB

.AQAP.16-t_2t

"AC-AB'12-16）

解得：t=6A（不符合題意，舍去）;

當(dāng)6W/W16時(shí)，點(diǎn)P與C重合，

???NA=NA，只有當(dāng)NAQC=NACB時(shí)，有A4QC?A4C8,

.AQAC.16-/12…=

??---——,??-----——，解得：t=7,

ACAB1216

48

在0W/W6中，當(dāng)￡=五時(shí)，AAQP?A48C,

在中，當(dāng)r=7時(shí)，AA0C~MCB.

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的問(wèn)題的題型，關(guān)鍵點(diǎn)是把握住題目條件給出的等量關(guān)系，還考查了相似三

角形的性質(zhì).（2）中能分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵.

1,5

17.如圖，拋物線(xiàn)乙：〉=一爐一一X-3與X軸正半軸交于點(diǎn)A,與），軸交于點(diǎn)B.

24

（1）求直線(xiàn)AB的解析式及拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1,點(diǎn)尸為第四象限且在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PCLx軸，垂足為C,PC交AB

于點(diǎn)。，求PD+5D的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

1,5

（3）如圖2,將拋物線(xiàn)=-f一一%—3向右平移得到拋物線(xiàn)//,直線(xiàn)A3與拋物線(xiàn)Z/交于例，N兩

"24

點(diǎn)，若點(diǎn)A是線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，求拋物線(xiàn)〃的解析式.

【答案】⑴直線(xiàn)鉆的解析式為>=+-3'拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為5121；(2)當(dāng)x=U時(shí)，PD+BD

“一五4

16913_57；)-I.

的最大值為B；P，-(3

32T32-242

【解析】（1）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為"利用待定系數(shù)

法求出AB的解析式，將二次函數(shù)解析式配方為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)。作DE工y軸于E,則DE//OA.求得AB=5，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為-|x-3<x<4^,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為-ED=x,證明,由相似三角形的性質(zhì)求出8。=,用含x

的式子表示PD,配方求得最大值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

1121

（3）設(shè)平移后拋物線(xiàn)〃的解析式丁=5。-加）2-五，將L，的解析式和直線(xiàn)AB聯(lián)立，得到關(guān)于x的方

（3、?5

程，設(shè)“（玉/）,77（工2，%），則占是方程f—2,〃+1x+/一記=0的兩根，得到

3

%1+x2=2|m+—，點(diǎn)A為MN的中點(diǎn)，玉+/=8,可求得m的值，即可求得U的函數(shù)解析式.

4

【解答】⑴在y=32-%-3中'

I53

令y=0,則5工2_1工_3=0,解得玉=_,,X2=4,

，44,0）.

令x=0,則y=-3,二3（0,_3）.

,3

4Z+b=0k=—

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為卜=履+。，貝叫,，解得:4,

。z=一3

b=-3

3

???直線(xiàn)”的解析式為廣片一3.

\2

-3」5121

x——

24247五

5121

.??拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為4，-32'

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作軸于E,則。上〃。4.

?.?04=4,08=3,

AB=y/o^+OB2=742+32=5，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為fx,—JC2——%—3*<4,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(xjx-3),

；?ED=x.

,/DEHOA，

，ABDES^BAO，

.BDED

"~BA~~OA

.BDx

>?---——

54

BD=-x.

4

而PD=—%—3—|—x,2--X-3—+2x,

41242

1169

:.PD+BD=——x,2+2^+—x=--x2+—+----，

242432

:一一<0,-<x<4,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:

24

當(dāng)x=U時(shí)，PD+BD的最大值為他.

432

為鼻-3=，13|-5X13_3=_57

44414432

13_57

T，-32

iio!

(3)設(shè)平移后拋物線(xiàn)//的解析式y(tǒng)=5(x―/〃)2—五

3,…20

..4當(dāng)一232

整理，得：%2-2L?2+1x+m2--=O,

16

25

2/3、2=

設(shè)"（百，%）,N（w，%），則無(wú)|，毛是方程X-2///H—|x+機(jī)~—的兩根，

I4)16

加+4

/.X]+Z=2

4J

而人為朋?/的中點(diǎn)，，芯+工2=8,

21m+a13

=8,解得：m=—.

4

.?拋物線(xiàn)//的解析式y(tǒng)=g13?1211133

?x---——=—X2---X+一.

4J32242

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

18.如圖，在△ABC中，/ACB=90。，將△ABC沿直線(xiàn)AB翻折得到△ABD,連接CD交AB于點(diǎn)M.E

是線(xiàn)段CM上的點(diǎn)，連接BE.F是ABDE的外接圓與AD的另一個(gè)交點(diǎn)，連接EF,BF,

(1)求證：ABEF是直角三角形；

(2)求證：△BEF^ABCA；

(3)當(dāng)AB=6,BC=m時(shí)，在線(xiàn)段CM正存在點(diǎn)E,使得EF和AB互相平分，求m的值.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)2百

【解析】⑴想辦法證明NBEF=90。即可解決問(wèn)題(也可以利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)直接證明).

(2)根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似證明.

112

(3)證明四邊形AFBE是平行四邊形，推出FJ=-BD=-m,EF=m,由△ABCs/^CBM,可得BM=m------

226

由ABEFs^BCA,推出生=生，由此構(gòu)建方程求解即可.

EFBE

【解答】(1)證明：由折疊可知，ZADB=ZACB=90°

ZEFB=ZEDB,ZEBF=ZEDF,

二ZEFB+ZEBF=ZEDB+ZEDF=ZADB=90°,

ZBEF=90°,

.?.△BEF是直角三角形.

(2)證明：VBC=BD,

AZBDC=ZBCD,

TNEFB=NEDB,

AZEFB=ZBCD,

VAC=AD,BC=BD,

AAB±CD,

/.ZAMC=90°,

,/ZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

AZBCD=ZCAB,

.*.ZBFE=ZCAB,

VZACB=ZFEB=90°,

AABEF^ABCA.

(3)設(shè)EF交AB于J.連接AE,如下圖所示:

???EF與AB互相平分，

???四邊形AFBE是平行四邊形,

.?.ZEFA=ZFEB=90°,即EF_LAD,

VBD±AD,

JEF〃BD,

VAJ=JB,

AAF=DF,

...FJ=；BD喘

EF=m

△ABC^ACBM

???BC:MB=AB:BC

2

??BN4-------,

6

???△BEJ^ABME,

???BE:BM=BJ:BE

m

'：△BEF^ABCA,

.ACBC

''~EF~~BE

436一/篦2m

---------=----

即mm

雙

解得m=2A/3（負(fù)根舍去）.

故答案為：2省.

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)平行四邊形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

19.如圖，在AABC中，NC=90°,AB=5,AC=4.點(diǎn)2從點(diǎn)C出發(fā)，沿CfAfC以每秒1個(gè)單位

的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿Af3—C以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、。兩

點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P不與點(diǎn)A、。重合時(shí)，以為4P、AQ鄰邊作YAPRQ.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

（1）用含，的代數(shù)式表示AP的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)R落在邊上時(shí)，求，的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)。在A3邊上時(shí)，設(shè)YAPRQ與重疊部分圖形面積為5,求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）連結(jié)AA,當(dāng)射線(xiàn)AR平分AAHC面積時(shí)，直接寫(xiě)出f的值.

【答案】（1）當(dāng)0</<4時(shí)，AP=4-7；當(dāng)4</<8時(shí)，4尸=￡一4；（2）/=一；（3）當(dāng)0</<4時(shí),

9

03212”“40…3212、?40,「一123242c.、20

S=一一廠+一r；當(dāng)4</<一時(shí)，S=一一廠，；當(dāng)一<，<5時(shí)，S-----r+——，-2z4；（4"=—

55955920059

-64

或F

【解析】（1）點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，沿CfAfC運(yùn)動(dòng)，所以A尸的長(zhǎng)有兩種情況，分別表示即可；

4

（2）根據(jù)已知得到所以QR=4—再利用QA=A尸得到關(guān)于t的方程求解即可;

（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，求解即可;

(4)若射線(xiàn)AA平分AABC面積，則線(xiàn)段4R的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)，或者線(xiàn)段AR經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)，畫(huà)

出圖形即可求解.

【解答】(1)當(dāng)0＜，＜4時(shí)，AP=4一八

當(dāng)4＜，＜8時(shí)，AP=t-4.

(2)此時(shí)狀態(tài)如圖：

?.?四邊形APR。是平行四邊形，

QR//AP,且QR=AP,

/.LQBRs/\ABC,

.?.空=空,即—工

ACAB45

4

：.QR=4--tf

4

???AP=4——t,

5

4

當(dāng)0＜fv4時(shí)，4-1=4一4，，無(wú)解；

440

當(dāng)4＜，＜8時(shí)，r-4=4--r,解得，=§.

40

(3)當(dāng)fv；時(shí)，YAPAQ與AAbC重疊部分圖形為YAPRQ,過(guò)點(diǎn)。作QM，AC于點(diǎn)M,如圖：

.?矍嚼，即QM=|f

3312

；?當(dāng)0<r<4時(shí)，S=APQM=1r(4-r)=-jr2+yz,

4033212

當(dāng)4</<刀時(shí)，S=APQM—4)

55

40

當(dāng)時(shí)，YAPRQ與AABC重疊部分圖形如圖,

9

4031213(123242c”

，當(dāng),<，<5時(shí),—t----x—z-4-^5-r)-----廠+—，一24；

955242005

(4)若射線(xiàn)AR平分△ABC面積，則線(xiàn)段AR的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)，或者線(xiàn)段AR經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn),

①當(dāng)線(xiàn)段AR的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)A8的中點(diǎn)時(shí),

A

②當(dāng)線(xiàn)段AR經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)時(shí),

t-4464

可得------——,t——

6.5-r1.511

g、20T64

綜上，t——或「=—.

911

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出每個(gè)狀態(tài)的圖形.

20.(1)問(wèn)題感知如圖1,在△ABC中，Z