淺議《高等數(shù)學(xué)》中的概念教學(xué)

淺議《高等數(shù)學(xué)》中的概念教學(xué)淺議?高等數(shù)學(xué)》中的概念教學(xué)

高等數(shù)學(xué)概念是高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系的根底和核心，是高等數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞與根基，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和法那么的邏輯根底，是提高解題能力的前提，是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。如果學(xué)生概念不清，必將會(huì)表現(xiàn)出思路閉塞，邏輯紊亂，對(duì)法那么、定理的理解更無從談起。李邦河院士認(rèn)為“數(shù)學(xué)基本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧缺乏道也！〞正確理解概念是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的根底，學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)之所以感到特別難，概念含糊不清往往是最直接的原因，特別是數(shù)學(xué)根底差的學(xué)生，其關(guān)鍵是在對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等方面差，因此，抓好高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的前提與突破口。

一、激發(fā)學(xué)生的興趣，促其積極參與到概念的形成過程之中

概念的形成過程，是一個(gè)發(fā)明性的探索過程，不是被動(dòng)的接受過程。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，很多學(xué)生有一個(gè)很不好的惰性習(xí)慣：認(rèn)為數(shù)學(xué)概念是干燥的條條框框，是數(shù)學(xué)家們憑空想象的，這是他們的事，對(duì)概念的形成過程漠不關(guān)懷。以為只要憑死記硬背，能記住書中的概念原話就是掌握了概念的實(shí)質(zhì)，就會(huì)應(yīng)用概念解決問題了，這是極其錯(cuò)誤的。學(xué)習(xí)概念時(shí)，我們不光要知其然，還應(yīng)知其所以然。

教師以導(dǎo)數(shù)的概念為例。為什么會(huì)有“導(dǎo)數(shù)〞的概念出現(xiàn)呢？這是因?yàn)樵谧匀豢茖W(xué)和項(xiàng)目技術(shù)中出現(xiàn)了很多，如：變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，曲線的切線斜率，電流強(qiáng)度，化學(xué)反饋速度，生物的繁殖率，邊際本錢，邊際收入等等問題，如果拋開它們各自的實(shí)際意義，單從結(jié)構(gòu)形式上看，它們都具有完全相同的極限式。能否準(zhǔn)確地從這些不同的實(shí)際問題中得出一致的結(jié)論式：，是導(dǎo)數(shù)概念形成過程的關(guān)鍵。因此，我們?cè)诮虒W(xué)導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，可以講一點(diǎn)關(guān)于微積分起源的數(shù)學(xué)史知識(shí)，以激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)其探索精神。應(yīng)不惜花費(fèi)時(shí)間、精力，特別注重對(duì)引入導(dǎo)數(shù)概念的案例進(jìn)行分析。比方：

1、求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

雖然學(xué)生對(duì)“瞬時(shí)速度〞比擬陌生，但對(duì)“平均速度〞較熟悉，我們就可引導(dǎo)學(xué)生求出這段時(shí)間的平均速度：，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出△t越小，速度的變化就越小，與時(shí)刻的瞬時(shí)速度v〔〕越接近這一事實(shí)，從而得出：這一結(jié)論。

2、求曲線的切線斜率

首先應(yīng)講清切線的定義：它是由割線運(yùn)動(dòng)得來的。而割線的斜率學(xué)生熟悉，割，割線運(yùn)動(dòng)成切線的過程〔可以通過圖形演示法，讓學(xué)生直觀地得出〕，就是的過程。自然可以得到切線的斜率切。

處理這兩個(gè)案例時(shí)，我們都是在學(xué)生原有知識(shí)的根底上，通過運(yùn)動(dòng)的思想辦法，運(yùn)用極限這一工具來完成的。讓學(xué)生積極參與到案例的分析、解決過程之中，有助于學(xué)生弄懂案例，得出的結(jié)論學(xué)生是信服的。為導(dǎo)數(shù)概念的形成收到了水到渠成的成效。

二、因勢(shì)利導(dǎo)，理解概念的本質(zhì)，掌握概念的不同敘述形式

1、搞清了引入概念的案例后，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，找出案例所表現(xiàn)的共同特征，適時(shí)地告訴學(xué)生這一共性即是該概念的本質(zhì)屬性，由此產(chǎn)生出的數(shù)學(xué)概念學(xué)生就不會(huì)感到太抽象、難以理解了。

如在講完瞬時(shí)速度和切線斜率切以后，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然它們的實(shí)際意義截然不同，但從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式上看，它們卻完全相同，即：都是自變量的增量趨于0時(shí)，函數(shù)的增量與自變量的增量之比的極限。這也正是導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)所在。由此抽象出的導(dǎo)數(shù)概念，學(xué)生是可以理解，容易接受的。

2、概念得出后，如有等價(jià)敘述形式，應(yīng)讓學(xué)生熟悉概念的等價(jià)敘述形式，以便學(xué)生更好地理解、掌握概念。

如由導(dǎo)數(shù)的概念可得出導(dǎo)數(shù)的三個(gè)等價(jià)敘述式：

〔1〕

〔2〕

〔3〕

假設(shè)：，那么

三、通過練習(xí)，掌握概念，在概念系統(tǒng)中強(qiáng)化概念

概念講完后，應(yīng)及時(shí)進(jìn)行有針對(duì)性的練習(xí)，使學(xué)生加深對(duì)概念的掌握，跳出狹義的概念圈子，從宏觀全局層面理解概念，在概念系統(tǒng)中強(qiáng)化概念，進(jìn)而完善概念的理論體系。如：

1、由導(dǎo)數(shù)的概念可得求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟

〔1〕求增量：

〔2〕算比值：

〔3〕取極限：

由此，可求出幾個(gè)根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔公式〕。

2、可以補(bǔ)充以下練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念掌握的情況

〔1〕;

〔2〕;

〔3〕。

如果單是死記硬背導(dǎo)數(shù)的概念，就很難對(duì)⑴中進(jìn)行的變通，也很難看出⑵中“-3h〞就是自變量的增量等等。

3、可以在概念的系統(tǒng)中，找出各概念的聯(lián)系與區(qū)別，研究概念的正背面，到達(dá)強(qiáng)化概念的目的

譬如：

〔1〕對(duì)連續(xù)與可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系進(jìn)行梳理比擬，既可以幫忙學(xué)生對(duì)舊概念加深記憶，還能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解;

〔2〕知道了可導(dǎo)以后，我們還可以研究不可導(dǎo)的情況，以此對(duì)可導(dǎo)有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)。如：

問：函數(shù)f〔x〕在連續(xù)點(diǎn)x0不可導(dǎo)有哪幾種情況？

答：這一極限不存在有哪幾種類型，函數(shù)f〔x〕在連續(xù)點(diǎn)x0不可導(dǎo)也就有幾種類型：

①左、右導(dǎo)數(shù)存在，但不相等：

如：y=|x|在點(diǎn)x=0的左、右導(dǎo)數(shù)存在，但不相等。

②左、右導(dǎo)數(shù)至少有一個(gè)不存在：

如：f〔x〕=右導(dǎo)數(shù)不存在，左導(dǎo)

數(shù)。

左、右導(dǎo)數(shù)至少有一個(gè)是無窮大：

如：f〔x〕=在點(diǎn)0處，

四、通過總結(jié)和復(fù)習(xí)，不斷加強(qiáng)和穩(wěn)固概念

在講完每一單元的內(nèi)容后，要及時(shí)對(duì)已學(xué)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)。由于總結(jié)時(shí)內(nèi)容較多，因而需要高度概括，使內(nèi)容簡(jiǎn)明扼要，條理清楚，便于學(xué)生記憶，通過總結(jié)，促使學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)系統(tǒng)化、條理化，而不支離破碎。

數(shù)學(xué)中的概念需要經(jīng)常復(fù)習(xí)和應(yīng)用，對(duì)于容易出錯(cuò)的數(shù)學(xué)概念，必須通過解題和反復(fù)運(yùn)用，才能使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念得以穩(wěn)固和加深，同時(shí)能培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用概念分析問題、解決問題的能力，對(duì)于學(xué)生在解題中產(chǎn)生的錯(cuò)誤，教師在習(xí)題課上要及時(shí)加以剖析，指出學(xué)生在認(rèn)識(shí)概念上的錯(cuò)誤，為此，應(yīng)有針對(duì)性地選編一局部是非選擇題讓學(xué)生練習(xí)，盡快地把概念搞清，以免影響新概念的學(xué)習(xí)。

總之，高等數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，是一種發(fā)明性的活動(dòng)，這就要求數(shù)學(xué)教師要認(rèn)真研究數(shù)學(xué)教材和學(xué)生，用心實(shí)踐，不斷積累，要