【提優(yōu)教程】江蘇省2012高中數(shù)學(xué)競賽第45講空間圖形的位置關(guān)系題目教案

第5講空間圖形的地點(diǎn)關(guān)系本節(jié)主要內(nèi)容有空間的平面與直線的地點(diǎn)關(guān)系；共面直線；異面直線的定義、所成角、公垂線與距離等．類例題過三棱柱隨意兩個極點(diǎn)的直線共15條，此中異面直線有（）（2005年高考·全國卷·理科）（A）18對（B）24對（C）30對（D）36對剖析先考慮什么樣的直線是異面直線，而后對這些異面直線適合分類，計數(shù)要不重不漏．解法一（加法）C1（1）與A1B1成異面直線的有5對，同理與A1C1、B1A1B1C1成異面直線的各有5對；這樣與上底面的三條直線成異面直線的有15對；（2）與AB，AC，BC成異面直線的有9對（除掉

CBA與（1）重復(fù)的）；3）與側(cè)棱AA1、BB1、CC1成異面直線的有6對（除掉與（1）2）重復(fù)的）；（4）側(cè)面對角線之間成異面直線的有6對；所以異面直線總合有36對，選D．解法二（減法）2（1）共一極點(diǎn)的共面直線有6C5＝60對；（2）側(cè)面相互平行的直線有6對；（3）側(cè)面的對角線有3對共面；2所以異面直線總合有C15－60－6－3＝36對，選D．N右圖是正方體的平面睜開圖，在這個正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是（）

DCMEABFA．①②③B．②④C．③④MND．②③④EF（2002年高考·上海卷·春天）剖析把正方體復(fù)原，而后觀察命題正確與否．DCBA解從復(fù)原后的圖可知BM與ED是異面直線，故①不建立，而CN∥BE，故②不建立．由清除法知C為正確答案．說明△CAN為正三角形，而BM∥AN，所以③建立．BM在平面ABFE上的射影為BE，AF⊥BE，所以AF⊥BN，又DM∥AF，所以④建立．對于四周體ABCD，給出以下四個命題：①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，ACBD，則BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AAB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD．BDEC此中真命題的序號是__________（寫出全部真命題的序號）2003年高考·河南卷）解如右圖，則△ABC和△DBC是以BC為底邊的兩個等腰三角形，作BC中點(diǎn)E，則BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，故①真．若②建立，由AH1⊥BC于H1，DH2⊥BC于H2．由AABC≌△DCB知BH1＝CH2，若AB≠AC，則H1與H2不重合．但由BC⊥AD知BC⊥平面AED，∴BC⊥DE，即DE為△DBC中BCB邊上的高，∴點(diǎn)E即為點(diǎn)H2．即點(diǎn)H1與點(diǎn)H2重合，矛盾．故H1H2C②不建立．同上，若③建立，則由A作BC的垂線和由D作BC的垂線，垂足應(yīng)當(dāng)同樣，可是由“AB⊥AC，BD⊥CD”，設(shè)AB＜AC，ACD＜BD，則垂足不重合．矛盾．故③不建立．作AH⊥平面BCD于H，連結(jié)BH并延伸交CD于M．由NAB⊥CD知CD⊥平面AMB，故CD⊥BM．同理連結(jié)CH并延伸BHM交BD于N，BD⊥CN．故H為△BCD的垂心，∴DH⊥BC，C∴AD⊥BC．故④建立．說明此題觀察四周體中線段的基本關(guān)系，要嫻熟利用線面垂直的性質(zhì)與判斷．

DD情況再現(xiàn)已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下邊四個命題：①α∥βl⊥m，②α⊥βl∥m，③l∥mα⊥β，④l⊥mα∥β．此中正確的兩個命題是A．①與②B．③與④C．②與④D．①與③（1995年高考·全國卷·理）假如把兩條異面直線當(dāng)作“一對”，那么六棱錐的棱的12條邊所在的直線中異面直線共有()A．12對B．24對C．36對D．48對如圖，E，F(xiàn)分別為正方風(fēng)光ADD1A1和面BCC1B1的中心，則四邊形BFF1E在該正方形的面上的射影可能是__________．（要求：把可能的圖的序號都填上）（2000年高考·全國卷·理）類例題假如空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，都訂交的直線有A．0條B．1條C．多于1的有限條D．無量多條（1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）解：在c上任取點(diǎn)A，過a，A和b，A分別作平面α和β，則α與β有公共點(diǎn)A則必有過A的公共直線d．若d不平行于a，b，則d必與a，b訂交，則d為所求直線．因?yàn)锳可在直線c上隨意取，應(yīng)選D．說明這些與a，b，c都訂交的直線相互異面，你能證明嗎？如圖，正四周體ABCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，使AECF得EB＝FD＝λ，記f（λ）＝αλ＋βλ，此中αλ表示EF與AC所成的角，βλ表示EF與BD所成的角，則A．f（λ）在（0，＋∞）單一增添AB．f（λ）在（0，＋∞）單一減小EC．f（λ）在（0，1）單一增添，而在（1，DB＋∞）單一減小GFCD．f（λ）在（0，＋∞）為常數(shù)（1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）解過E作EG∥AC，連結(jié)FG．故AECGCF＝＝，∴GF∥BD．EBGBFDGEF即是EF與AC所成的角，∠GFE即是EF與BD所成的角，（易知∠GEF和∠GFE都不是鈍角），∴αλ＋βλ＝180°－EGF，而∠EGF是直角．應(yīng)選D．說明此題假如獨(dú)自考慮EF與AC所成的角或EF與BD所成的角都特別麻煩，用平移的方法把這兩個角表達(dá)出來并放到同一個三角形中，問題得以解決．如圖，A1B1C1-ABC是直三棱柱，過點(diǎn)A1、B、C1的平面和平面ABC的交線記作l．判斷直線A1C1和l的地點(diǎn)關(guān)B1A1系，并加以證明．C1（1993年高考·全國·理）BA解：AC∥l，證明以下：C11∵平面A1C1B∩平面ABC＝l，且A1C1∥平面ABC，∴A1C1與l在同一個平面A1C1B內(nèi)，但無公共點(diǎn)，∴A1C1∥l．情況再現(xiàn)空間有兩個有一條公共邊的正方形ABCD和ADEF．在BD上取一點(diǎn)M，在AE上取一點(diǎn)N，并使BM＝AN，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE異面以上

4個結(jié)論中不正確的結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1

B．2

C．3

D．4（2001年高考·山東卷）已知4個不共面的點(diǎn)，在空間能作多少個平面，使各點(diǎn)到該平面的距離相等？三個平面可將空間分紅幾部分？類例題空間三個圓相互相切（指兩圓有一個公共點(diǎn)，并在這點(diǎn)有公共切線），且全部三個切點(diǎn)是不一樣的．證明：這三個圓在一個球面上，或許在一個平面內(nèi)．剖析：若把過圓心并和圓所在的平面垂直的直線叫做這圓的軸，則軸上隨意一點(diǎn)到這個圓全部的點(diǎn)的距離都相等．兩個相切的圓的兩條軸都在經(jīng)過圓的切點(diǎn)且和公切線垂直的平面內(nèi)．這兩條軸是平行仍是訂交決定這兩個圓在一個平面內(nèi)或在一個球面上．由兩個圓的狀況從而可議論三個圓的狀況．證明：第一證明兩個相互相切的圓，或許在一個平面內(nèi)，或許在一個球面上．過兩圓的圓心分別作兩圓的軸O1A1和O2A2，再過切點(diǎn)M作兩圓的公切線ST．ST⊥O1M或O2M，ST⊥O1A1或O2A2．∴ST垂直于O1A1和O2A2確立的平面P．即O1A1和O2A2在過圓的切點(diǎn)M且和公切線垂直的平面P內(nèi)．當(dāng)O1A1∥O2A2時，⊙O1所在平面和⊙O1所在平面重合，即兩圓在一個平面內(nèi)．當(dāng)O1A1和O2A2訂交，設(shè)交點(diǎn)為V，連結(jié)VM，則點(diǎn)V與⊙O1和⊙O1圓周上隨意一點(diǎn)的連線長都等于VM．所以兩圓在以V為圓心，VM為半徑的球面上．依據(jù)上邊證明，三個圓中，每兩個圓確立一個平面或確立一個球面，下邊證明三對圓確立同一個平面或確立同一個球面．假定⊙

O1和⊙O2所確立的球面（或平面）

G1和⊙O2和⊙O3所確定的球面（或平面）G2不重合，假如兩個球面（或一個球面一個平面）不重合，但它們有公共的圓，那么除了這個圓上的點(diǎn)之外，它們沒有其余任何公共點(diǎn)．所以對與G1，G2來說，除了⊙O3上的點(diǎn)外不可以再有其余公共點(diǎn)．但這是不正確的，因?yàn)镚1和G2都包括了⊙O1和⊙O2的切點(diǎn)，依據(jù)條件，這三個點(diǎn)不同樣．所以這個點(diǎn)不在O2上．上述矛盾說明G1和G2重合．從空間一點(diǎn)最多可作幾條兩兩夾角大于90°的射線？剖析：注意到三面角的三個面角兩兩之和小于四個直角，故可用三個鈍角為面角做成一個三面角進(jìn)行觀察．解：做一個三個面角均為鈍角的三面角V－ABC，取VA＝VB＝VC．過A，B，C作平面ABC，作VO⊥平面ABC，垂足為O．顯而后AVO＝∠BVO＝∠CVO＜90°．取VO的反向延伸線VD，則四射線VA，VB，VC，VD兩兩夾角均大于90°．假如這樣的直線起碼有5條，設(shè)為OA，OB，OC，OD，OE，過O作平面α⊥OE，則其余四條射線必與OE不在平面α的同側(cè)（不然該射線與OE所成角將小于90°），而O－ABCD成四周角．同理過O作其余四條射線中隨意一條的垂面β，則其余三條射線也必在垂面β的另一側(cè)．由此可判定O－ABCD為凸四周角，從而四個面角之和小于360°，因此這四個角中起碼有一個面角小于90°，與題設(shè)四個面角均大于90°矛盾．故這樣的射線最多只好引4條．情況再現(xiàn)直二面角α－l－β，AB∩α＝A，AB∩β＝B，AB與α所成角為θ，AB與β所成角為φ．求π證：θ＋φ≤2．空間三條直線，兩兩在同一平面內(nèi)，求證：這三條直線或交于同一點(diǎn)，或相互平行．AD⊥DC，AC⊥BD，垂足為E．I）求證：BD⊥A1C；II）求異面直線AD與BC1所成角的大小．2005年高考·北京）習(xí)題五已知直線m、n與平面α、β，給出以下三個命題：①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若m∥α，n⊥α，則n⊥m；③若m⊥α，m∥β，則⊥β．此中真命題的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3（2005年高考·福建卷）答案：C給出以下對于互不同樣的直線m，n，l和平面α，β的四個命題：①mα，l∩α＝A，點(diǎn)Am，則l與m不共面；l、m是異面直線，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，則n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m；④若lα，mα，l∩m＝A，l∥β，m∥β，則α∥β．此中為假命題的是（）A．①B．②C．③D．④已知平面α，β，直線a，b，點(diǎn)P，有以下四個命題aα，p∈αa與P能夠確立一個平面；②a∥b，bβa∥β；③aα，bα，a∥β，b∥βα∥β；④a，b是異面直線，aαb⊥α．則正確命題的個數(shù)是（）A．0個B．1個C．2個D．3個在直四棱柱

ABCD－A1B1C1D1

中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?/p>

ABCD知足條件__________時，有A1C⊥B1D1（注：填上你以為正確的一種條件即可，不用考慮全部可能的情況）（1998年·全國·理）已知平面α，β所成的二面角為80°，P為α、β外必定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與α、β所成的角都是30°，則這樣的直線有且僅有（

）（2004

年高考·湖北卷·理）A．1

條

B．2

條

C．3

條

D．4

條已知平面

α

與平面

β

訂交，直線

a

α，則（

）A．必定存在直線

bβ，使

b∥a

B．必定存在直線β，使b⊥aC．β內(nèi)必定不存在與a平行的直線D．β內(nèi)必定不存在與a垂直的直線．a(chǎn)、b

異面，

P

a且

P

b．以下結(jié)論①過

P存在平面與

a、b

均平行

②過

P存在平面與

a、b均垂直③過

P存在平面與

a、b

成等角

④過

P存在直線與

a、b均垂直中必定正確的有（

）A．0

個

B．1

個

C．2

個D．3

個正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，A1D1所在的直線與BB1所在的直線是A．訂交直線B．平行直線C．不相互垂直的異面直線D．相互垂直的異面直線1988年高考）假如把兩條異面直線當(dāng)作“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中異面直線共有（）A．12對B．24對C．36對D．48對1991年高考）已知a、b為