中考數(shù)學(xué)一輪知識復(fù)習(xí)和鞏固練習(xí)考點17 多邊形與平行四邊形（能力提升） (含詳解)

考向17多邊形與平行四邊形【知識梳理】考點一、多邊形1、多邊形：在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．多邊形的對角線是連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段．2、多邊形的對角線：從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引出(n－3)條對角線，共有n(n-3)/2條對角線，把多邊形分成了(n－2)個三角形．3、多邊形的角：n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°，外角和是360°.方法指導(dǎo)：（1）多邊形包括三角形、四邊形、五邊形……，等邊三角形是邊數(shù)最少的正多邊形.（2）多邊形中最多有3個內(nèi)角是銳角（如銳角三角形）,也可以沒有銳角（如矩形）.（3）解決n邊形的有關(guān)問題時，往往連接其對角線轉(zhuǎn)化成三角形的相關(guān)知識，研究n邊形的外角問題時，也往往轉(zhuǎn)化為n邊形的內(nèi)角問題.考點二、平面圖形的鑲嵌1、鑲嵌的定義用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．2、平面圖形的鑲嵌(1)一個多邊形鑲嵌的圖形有：三角形，四邊形和正六邊形；(2)兩個多邊形鑲嵌的圖形有：正三角形和正方形，正三角形和正六邊形，正方形和正八邊形，正三角形和正十二邊形；(3)三個多邊形鑲嵌的圖形一般有：正三角形、正方形和正六邊形，正方形、正六邊形和正十二邊形，正三角形、正方形和正十二邊形.方法指導(dǎo)：能鑲嵌的圖形在一個拼接點處的特點：幾個圖形的內(nèi)角拼接在一起時，其和等于360°,并使相等的邊互相重合.考點三、三角形中位線定理

1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.考點四、平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．2、性質(zhì)：(1)平行四邊形的對邊平行且相等；(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補；(3)平行四邊形的對角線互相平分；(4)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心．3、判定：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．4、兩條平行線間的距離：定義：夾在兩條平行線間最短的線段的長度叫做兩條平行線間的距離．性質(zhì)：夾在兩條平行線間的平行線段相等．方法指導(dǎo)1.平行四邊形的面積=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．【專項訓(xùn)練】一、選擇題1．如圖，四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面積是，則四邊形ABCD的周長為（）

A．49cmB．43cmC．41cmD．46cm

2．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=4，點E、F是中線AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積是：()A.

；B.2；C.3；D.4．

3.已知點A(2，0)、點B(，0)、點C(0，1)，以A、B、C三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2SKIPIF1<0，CD＝SKIPIF1<0，點P在四邊形ABCD的邊上，若P到BD的距離為SKIPIF1<0，則點P的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．45.如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE，AB相交于點G，若∠BAC=30°，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為平行四邊形；③AD=4AG；

④△DBF≌△EFA．其中正確結(jié)論的是（）．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①②④

6.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中點，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四邊形ACED是平行四邊形；②△BCE是等腰三角形；③四邊形ACEB的周長是10+2；④四邊形ACEB的面積是16．則以上結(jié)論正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④二、填空題7.如圖，口ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點A正好落在CD上的點F，若△FDE的周長為8，△FCB的周長為22，則FC的長為________.8.若工人師傅用正三角形、正十邊形與正n邊形這三種正多邊形能夠鋪成平整的地面，則n的值為．9.如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，AD=8，點E、F分別是邊BC、AD邊的中點，點M是AE與BF的交點，點N是CF與DE的交點，則四邊形ENFM的周長是__________．

10.凸n邊形的對角線的條數(shù)記作an（n≥4），例如：a4=2，那么：①a5=_____；②a6-a5=____

；③an+1-an=____．（n≥4，用n含的代數(shù)式表示）11.①如圖（1）,四邊形ABCD中，AB∥E1F1∥CD，AD∥BC，則圖中共有________個平行四邊形；

②如圖（2），四邊形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥CD，AD∥BC，則圖中共有________個平行四邊形；

③如圖（3），四邊形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，AD∥BC，則圖中共有________個平行四邊形；一般地，若四邊形ABCD中，E1，E2，E3，…，都是AD上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…，都是BC上的點，且AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥…∥∥CD，AD∥BC，則圖中共有________平行四邊形.12.如圖所示，①中多邊形（邊數(shù)為12）是由正三角形“擴展”而來的，②中多邊形是由正方形“擴展”而來的，…，依此類推，則由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為___________.三、解答題13.問題再現(xiàn)：現(xiàn)實生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至于服裝面料設(shè)計中隨處可見．在八年級課題學(xué)習(xí)“平面圖形的鑲嵌”中，對于單種多邊形的鑲嵌，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問題、今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問題的切入點，提出其中幾個問題，共同來探究．

我們知道，可以單獨用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面．如圖中，用正方形鑲嵌平面，可以發(fā)現(xiàn)在一個頂點O周圍圍繞著4個正方形的內(nèi)角．試想：如果用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點周圍應(yīng)該圍繞著3個正六邊形的內(nèi)角．

問題提出：如果我們要同時用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設(shè)計出幾種不同的組合方案？

問題解決：

猜想1：是否可以同時用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？

分析：我們可以將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決、從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問題的關(guān)鍵在于分析能同時用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內(nèi)角特點．具體地說，就是在鑲嵌平面時，一個頂點周圍圍繞的各個正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個周角．

驗證1：在鑲嵌平面時，設(shè)圍繞某一點有x個正方形和y個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角．根據(jù)題意，可得方程：90x+?y=360，整理得：2x+3y=8，

我們可以找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為．

結(jié)論1：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正方形和2個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌．

猜想2：是否可以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？若能，請按照上述方法進行驗證，并寫出所有可能的方案；若不能，請說明理由．

驗證2：_______；結(jié)論2：_______．

上面，我們探究了同時用兩種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分組合方案，相信同學(xué)們用同樣的方法，一定會找到其它可能的組合方案．

問題拓廣：請你仿照上面的研究方式，探索出一個同時用三種不同的正多邊形組合進行平面鑲嵌的方案，并寫出驗證過程．

猜想3：_______；

驗證3：_______；

結(jié)論3：_______．14.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠ABC與∠ADC互補．

（1）求∠C的度數(shù)；

（2）若BC＞CD且AB=AD，請在圖上畫出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個正方形，并說明理由；

（3）若CD=6，BC=8，S四邊形ABCD=49，求AB的值．15.如圖，正方形ABCD中，點P是直線BC上一點，連接PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，在直線BA上取點F，使BF=BP，且點F與點E在BC同側(cè)，連接EF、CF．（1）如圖①，當點P在CB延長線上時，求證：四邊形PCFE是平行四邊形．（2）如圖②，當點P在線段BC上時，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說明理由．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）當α=60°時，求CE的長；

（2）當60°＜α＜90°時，

①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

②連接CF，當CE2-CF2取最大值時，求tan∠DCF的值．答案與解析一．選擇題1.【答案】D.2．【答案】A.3.【答案】C．4．【答案】B.【解析】如圖所示，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由題意得AE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝2＞eq\f(3,2)，∴在邊AB和AD上各存在一個點P到BD的距離為eq\f(3,2).∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝45°.又∠ADC＝90°，

∴∠CDF＝45°.∴CF＝eq\f(\r(2),2)CD＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1＜eq\f(3,2)，∴在邊BC和CD上不存在符合題意的點P.綜上所述.5．【答案】A.【解析】先證ΔADF≌ΔABC,可得DF=AC=AE.∵DF∥AE且DF=AE∴四邊形ADFE為平行四邊形，即①②③④是正確的.6．【答案】D.【解析】①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，故①正確；②∵D是BC的中點，DE⊥BC，∴EC=EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正確；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=2，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴CE=AD=4，∵CE=EB，∴EB=4，DB=2，∴CB=4，∴AB==2，∴四邊形ACEB的周長是10+2故③正確；④四邊形ACEB的面積：×2×4+×4×2=8，故④錯誤，故選：A．二．填空題7．【答案】7.【解析】由題意知x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22，所以a=7.

8．【答案】十五.【解析】正三邊形和正十邊形內(nèi)角分別為60°、144°，正n邊形的內(nèi)角應(yīng)為360°﹣60°﹣144°=156°，所以正n邊形為正十五邊形．故答案為：十五．9．【答案】4+4．10．【答案】5；4；n-1．【解析】①五邊形有5條對角線；②六邊形有9條對角線，9-5=4；

③n邊形有

條對角線，n+1邊形有條對角線，

an+1-an=-=n-1．11.【答案】①3;②6;③10，.12．【答案】n（n+1）．【解析】∵①正三邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)是12=3×4，②正四邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)是20=4×5，

③正五邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為30=5×6，

④正六邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為42=6×7，

∴正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為n（n+1）．三.綜合題13．【解析】用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點周圍應(yīng)該圍繞著3個正六邊形的內(nèi)角．

驗證2：在鑲嵌平面時，設(shè)圍繞某一點有a個正三角形和b個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，

根據(jù)題意，可得方程：60a+120b=360．

整理得：a+2b=6，

可以找到兩組適合方程的正整數(shù)解為和結(jié)論2：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著2個正三角形和2個正六邊形的內(nèi)角或者圍繞著4個正三角形和1個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌．

猜想3：是否可以同時用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合進行平面鑲嵌？

驗證3：在鑲嵌平面時，設(shè)圍繞某一點有m個正三角形、n個正方形和c個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角．

根據(jù)題意，可得方程：60m+90n+120c=360，

整理得：2m+3n+4c=12，

可以找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為

結(jié)論3：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正三角形、2個正方形和1個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌．（說明：本題答案不惟一，符合要求即可．）14．【解析】（1）∵∠ABC與∠ADC互補，∴∠ABC+∠ADC=180°．∵∠A=90°，∴∠C=360°-90°-180°=90°；（2）過點A作AE⊥BC，垂足為E．則線段AE把四邊形ABCD分成△ABE和四邊形AECD兩部分，把△ABE以A點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則被分成的兩部分重新拼成一個正方形．過點A作AF∥BC交CD的延長線于F，∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADF．

∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF．

∴AE=AF．∴四邊形AECF是正方形；

（3）解法1：連接BD，

∵∠C=90°，CD=6，BC=8，Rt△BCD中，BD==10

又∵S四邊形ABCD=49，∴S△ABD=49-24=25．

過點A作AM⊥BD垂足為M，

∴S△ABD=×BD×AM=25．∴AM=5．

又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△DAM．∴=．

設(shè)BM=x，則MD=10-x，

∴=．解得x=5．∴AB=5．

解法2：連接BD，∠A=90°．

設(shè)AB=x，AD=y，則x2+y2=102，①

∵xy=25，∴xy=50．②

由①，②得：（x-y）2=0．

∴x=y．2x2=100．∴x=5．15．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四邊形EPCF是平行四邊形；（2）解：結(jié)論：四邊形EPCF是平行四邊形，理由是：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE