2023高考數(shù)學一輪復習第5章數(shù)列熱點探究訓練3數(shù)列中的高考熱點問題文北師大版

PAGEPAGE1熱點探究訓練(三)數(shù)列中的高考熱點問題1．(2022·廣州綜合測試(一))數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中項．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設bn＝2log2an－1，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.[解](1)設數(shù)列{an}的公比為q，因為a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.2分因為a3＋2是a2和a4的等差中項，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.即2(4q＋2)＝4＋4q2，化簡得q2－2q＝0.因為公比q≠0，所以q＝2.所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*).5分(2)因為an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，所以anbn＝(2n－1)2n，7分那么Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×eq\f(41－2n－1,1－2)－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.12分2．(2022·四川高考)數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)假設a2，a3，a2＋a3成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設雙曲線x2－eq\f(y2,a\o\al(2,n))＝1的離心率為en，且e2＝2，求eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＋…＋eeq\o\al(2,n).[解](1)由Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，兩式相減得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan對所有n≥1都成立．所以，數(shù)列{an}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列．從而an＝qn－1.3分由a2，a3，a2＋a3成等差數(shù)列，可得2a3＝a2＋a2＋a3所以a3＝2a2，故q所以an＝2n－1(n∈N*).5分(2)由(1)可知an＝qn－1，所以雙曲線x2－eq\f(y2,a\o\al(2,n))＝1的離心率en＝eq\r(1＋a\o\al(2,n))＝eq\r(1＋q2n－1).8分由e2＝eq\r(1＋q2)＝2解得q＝eq\r(3)，所以eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＋…＋eeq\o\al(2,n)＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋eq\f(q2n－1,q2－1)＝n＋eq\f(1,2)(3n－1).12分3．(2022·南昌模擬)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S3＝6.正項數(shù)列{bn}滿足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)假設λbn>an，對n∈N*均成立，求實數(shù)λ的取值范圍．【導學號：66482267】[解](1)∵等差數(shù)列{an}中，a1＝1，S3＝6，∴d＝1，故an＝n.2分由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1·b2·b3·…·bn＝2Sn，①,b1·b2·b3·…·bn－1＝2Sn－1，②))①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，b1＝2S1＝21＝2，滿足通項公式，故bn＝2n.5分(2)λbn>an恒成立，即λ>eq\f(n,2n)恒成立，7分設cn＝eq\f(n,2n)，那么eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(n＋1,2n)，當n≥1時，cn＋1≤cn，{cn}遞減，∴(cn)max＝c1＝eq\f(1,2)，故λ>eq\f(1,2)，∴λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).12分4．數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－eq\f(4,an＋3)，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1,an＋1)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)證明：eq\f(1,b\o\al(2,1))＋eq\f(1,b\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,b\o\al(2,n))<7.[解](1)由題意得an＋1＋1＝2－eq\f(4,an＋3)＝eq\f(2an＋2,an＋3)，bn＋1＝eq\f(1,an＋1＋1)＝eq\f(an＋3,2an＋2)＝eq\f(an＋1＋2,2an＋1)＝eq\f(1,an＋1)＋eq\f(1,2)＝bn＋eq\f(1,2).3分又b1＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{bn}是首項為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，∴bn＝eq\f(n,2).5分(2)證明：當n＝1時，左邊＝eq\f(1,b\o\al(2,1))＝4<7不等式成立；6分當n＝2時，左邊＝eq\f(1,b\o\al(2,1))＋eq\f(1,b\o\al(2,2))＝4＋1＝5<7不等式成立；8分當n≥3時，eq\f(1,b\o\al(2,n))＝eq\f(4,n2)<eq\f(4,nn－1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，左邊＝eq\f(1,b\o\al(2,1))＋eq\f(1,b\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,b\o\al(2,n))<4＋1＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝5＋4eq\b\lc\(\rc\)(\