第五章-多元函數(shù)的微分學1

第五章多元函數(shù)的微分學§5.1多元函數(shù)的基本概念§5.2多元函數(shù)的偏導數(shù)§5.3多元函數(shù)的全微分§5.4多元復合函數(shù)及隱藏函數(shù)求導法則§5.5多元函數(shù)的極限§5.6多元函數(shù)微分法在經濟上的應用§5.1多元函數(shù)的基本概念1、平面點集xo-RRR-R2、鄰域E

邊界點外點內點·

··E.留意：開集不確定是開區(qū)域二、空間解析幾何簡介1.空間直角坐標系O-XYZ(右手法則)坐標軸:坐標原點:坐標平面:卦限:八個卦限空間內的點問題：空間任一點的坐標如何確定呢？O4、空間曲面與曲面方程特殊平面的方程2、球面方程問題：如何相識空間任一張曲面的圖形呢？（有愛好的同學可閱讀相關資料）3、柱面方程4、圓錐面方程5、橢圓面方程6、橢圓拋物面方程6、雙曲拋物面方程三、多元函數(shù)的極限與連續(xù)1、多元函數(shù)的定義2、定義域的求法3、對應關系的求法4、二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限例1.證明證對當時,成立.恒有成立.要使所以二元函數(shù)的連續(xù)性定義3若則稱函數(shù)在點處連續(xù)．若函數(shù)在區(qū)域Ｄ內每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在Ｄ內連續(xù)，或稱是Ｄ內的連續(xù)函數(shù)．若函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱點為的間斷點．例如，間斷點為：在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)具有性質：性質１（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域Ｄ上的連續(xù)函數(shù)，確定能夠取得最大值和最小值．性質２（介值定理）在有界閉區(qū)域Ｄ上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得介于最大值和最小值之間的任何數(shù)值．二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內連續(xù)．結論二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)例4§5.2多元函數(shù)的偏導數(shù)定義1設函數(shù)在點某鄰域內有定義，當固定而在處有增量時，存在，則稱此極限值為函數(shù)在點處對的偏導數(shù).記作:或即若極限在點處對的偏導數(shù)定義為:類似,函數(shù)也記作是一元函數(shù)在點處的導數(shù),是一元函數(shù)在點處的導數(shù),結論視y為常量，對x

求導.視x為常量，對y

求導.說明對二元函數(shù)求關于某一個自變量的偏導數(shù)時,只需視其它變量為常量,求導即可.根據(jù)一元函數(shù)的求導公式和求導法則,若函數(shù)在區(qū)域D內每一點處對的偏導數(shù)都存在,偏導數(shù)就是的函數(shù),稱為函數(shù)對的偏導(函)數(shù).記作類似定義函數(shù)對的偏導數(shù).記作:二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:xyzSo是一元函數(shù)在點處的導數(shù),由一元函數(shù)導數(shù)的幾何意義知在幾何上表示空間曲線在點處的切線對軸的斜率.類似,在幾何上表示空間曲線在點處的切線對軸的斜率.二、偏導數(shù)的計算例1.求的偏導數(shù).解例2.求處的偏導數(shù).在點解例3.求的偏導數(shù).解例4.求的偏導數(shù).解例5.求函數(shù)在原點處的偏導數(shù).解二元函數(shù)在某一點處偏導數(shù)存在,但未必連續(xù).不存在．二、高階偏導數(shù)設函數(shù)在區(qū)域D內有偏導數(shù)若這兩個函數(shù)的偏導數(shù)存在，稱其為函數(shù)的二階偏導數(shù)混合偏導數(shù)類似可定義三階、四階及更高階的偏導數(shù)，二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù).解例1.設求它的二階偏導數(shù).再求例2.驗證函數(shù)滿足方程證證由自變量的對稱性知例3.證明函數(shù)滿足方程(拉普拉斯方程)§5.3多元函數(shù)的全微分一、全微分的定義與計算設函數(shù)在點某鄰域內有定義，分別給一增量函數(shù)相應的全增量若全增量可表示為:其中僅與有關，與無關，則稱函數(shù)在點處可微.稱為函數(shù)在點處的全微分.即記作定義1若函數(shù)在區(qū)域D內各點處都可微,則稱函數(shù)在D內可微.定理1若函數(shù)在點處可微分.則該函數(shù)在點的偏導數(shù)必定存在,且證由特別同理可證留意若函數(shù)在點存在處的偏導數(shù)函數(shù)在該點不一定可微.類似于一元函數(shù),記或定理2(充分條件)若函數(shù)在點的某鄰域內有連續(xù)的偏導數(shù),則函數(shù)在該點可微.且函數(shù)在點處關于x,y

的偏微分.若函數(shù)在點可微則解例1.求函數(shù)在點(2,1)處當時的全微分.例2.求下列函數(shù)的全微分:解(1).二、全微分的應用：近似計算當很小時，函數(shù)的全增量§7.4多元復合函數(shù)及隱藏函數(shù)求導法則一、多元復合函數(shù)的求導法則(1)設函數(shù)在點處有偏導數(shù),在點處有偏導數(shù),且定理1而函數(shù)在對應點處可微則復合函數(shù)連鎖法則若函數(shù)都在點

x

處可導,函數(shù)在對應點處可微,則復合函數(shù)在點

x

處可導,且全導數(shù)推論1.函數(shù)則復合函數(shù)在點x

的導數(shù)全導數(shù)推論2.以上公式都可推廣到中間變量或自變量多于兩個的情形.說明例2.求解例1.求解例3.設求解例4.設解例5.設具有二階連續(xù)偏導數(shù),求解令則二、隱函數(shù)求導法則例1.設求及解：法1法2兩邊關于x求導例2.設求解法1

法2兩邊關于x求導

兩邊關于y求導例3.設,求解§7.5多元函數(shù)的極限一.極值的概念定義1對于該鄰域內任一點,若恒有不等式則稱該函數(shù)在點P處有極大值則稱該函數(shù)在點P處有極小值極大值與微小值統(tǒng)稱為極值.在點某鄰域內有定義,設函數(shù)使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.定理2(必要條件)

設函數(shù)在點處偏導數(shù)存在,并取得極值,則證明:不妨設在點處取得極大值.則,,特別地,取有在x=x0點取得極大值，由一元函數(shù)極值必要條件知,同理,,使

同時成立的點,的駐點.稱為函數(shù)

考慮一元函數(shù)定理2(充分條件)令,(1).若,有極值,(2).若無極值.(3).若狀況不定.時有極大值時有微小值且設函數(shù)在點某鄰域內及二階連續(xù)偏導數(shù),且有一階留意：(1)中的A換為C結論不變。例1.求函數(shù)的極值.解:得駐點:在點處,有微小值在點處,,無極值.,無極值.,有極大值,,在點處在點處,

最大值、最小值對于該區(qū)域內任一點,若恒有不等式則稱為函數(shù)在D內的最大值最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.如,函數(shù)在點處取得最小值0在點處取得最大值2.在平面區(qū)域內有定義,設函數(shù)使函數(shù)取得最值的點稱為最值點.則稱為函數(shù)在D內的最小值

最大值、最小值的求法最值點只可能是以下三種類型的點：（1）邊界點求出該函數(shù)在這些點上的函數(shù)值，比較大小即可求得最值在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則一定有最值。設函數(shù)（2）駐點（3）偏導數(shù)不存在的點依據(jù)實際問題知函數(shù)的最值只在內部點上取到，且只有唯一駐點，沒有偏導數(shù)不存在的點，則此時可斷定函數(shù)在此駐點上取到最值例2.在十字路口要建造一間長方體房屋，兩面臨街，臨街墻面造價，不臨街的墻面造價，屋頂造價設房屋容積為，問：長、寬、高各多少時造價最低.解:設長、寬、高分別為,則造價解得答：當長、寬均為，高為時，造價最低。，二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)在條件下的極值。拉格郎日乘數(shù)法：（1).構造拉格朗日函數(shù):為常數(shù))(2).聯(lián)立解得則點可能為極值點.(3).再探討.(依據(jù)實際問題的實際意義可以推斷.)求函數(shù)在條件下的極值。（1).構造拉格朗日函數(shù):為常數(shù))(2).聯(lián)立解得再解例2.求函數(shù)在條件下的極值.令,聯(lián)立,解得,,例2.在十字路口要建造一間長方體房屋，兩面臨街，臨街墻面造價，不臨街