幾何輔助線作法精編版

本文格式為Word版，下載可任意編輯——幾何輔助線作法精編版最新資料推舉專題7幾何輔佐線（圖）作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得特別繁雜，若通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，即添加適當(dāng)?shù)妮o佐線（圖），將原圖形轉(zhuǎn)換成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)樸的新圖形，那么能使原問(wèn)題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過(guò)對(duì)新圖形的分析，原問(wèn)題順?biāo)飓@解。網(wǎng)絡(luò)上有大量初中幾何常見(jiàn)輔佐線作法歌訣，下面這一套是很好的人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔佐線。輔佐線，如何添把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑閱歷。

三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

三角形中兩中點(diǎn)，連接那么成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

四邊形平行四邊形展現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。證好像，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，探索線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。

圓半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。

切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最便當(dāng)。要想證明是切線，半徑垂線留心辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。

要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓。

假設(shè)遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。

若是添上連心線，切點(diǎn)斷定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。

輔佐線，是虛線，畫(huà)圖留神勿變更。假使圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去測(cè)驗(yàn)。

根本作圖很關(guān)鍵，平日掌管要純熟。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線，方法生動(dòng)應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。

虛心勤學(xué)加苦練，勞績(jī)上升成直線。

在幾何題的證明或求解時(shí)，需要構(gòu)成一些根本圖形來(lái)求證（解）時(shí)往往要通過(guò)添加輔佐線（圖）來(lái)形成，添加輔佐線（圖），構(gòu)成的根本圖形是結(jié)果，構(gòu)造的手段是方法。

筆者從作輔佐線的結(jié)果和方法兩方面將幾何輔佐線（圖）作法歸納為結(jié)果（1）構(gòu)造根本圖形；

（2）構(gòu)造等腰（邊）三角形（3）構(gòu)造直角三角形；

（4）構(gòu)造全等三角形；

（5）構(gòu)造好像三角形；

（6）構(gòu)造特殊四邊形；

（7）構(gòu)造圓的特殊圖形；

方法（8）根本輔佐線；

（9）截取和延長(zhǎng)變換；

（10）對(duì)稱變換；

（11）平移變換；

（12）旋轉(zhuǎn)變換。下面通過(guò)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其應(yīng)用。

一、構(gòu)造根本圖形每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做根本圖形，添輔佐線往往是具有根本圖形的性質(zhì)而根本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整根本圖形。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、好像三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是根本圖形，但我們后面把它們單獨(dú)表述。

典型例題例1.（2022湖北襄陽(yáng)3分）如圖，直線l∥m，將含有45角的三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線m上，若∠125，那么∠2的度數(shù)為A．20B．25C．30D．35A。

平行線的性質(zhì)。

如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD∥l，∵直線l∥m，∴BD∥l∥m。

∵∠125，∴∠4∠125。

∵∠ABC45，∴∠3∠ABC﹣∠445﹣2520。

∴∠2∠320。應(yīng)選A。

例2.（2022四川內(nèi)江3分）如圖，A.B.C.D.B。

平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)。

如圖，反向延長(zhǎng)，形成∠4。

∵，∴∠31800－∠4。

又∵∠2∠1＋∠4，即∠4∠2∠1。

∴。應(yīng)選B。

例3.（2022廣東梅州3分）如圖，∠AOE∠BOE15，EF∥OB，EC⊥OB，若EC1，那么EF▲．2。

角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。

作EG⊥OA于F，∵EF∥OB，∴∠OEF∠COE15，∵∠AOE15，∴∠EFG151530。

∵EGCE1，∴EF212。

例4.（2022廣東佛山3分）依次連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)特殊圖形（可認(rèn)為是一般四邊形的性質(zhì)），那么這個(gè)圖形確定是A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．梯形A。

三角形中位線定理，平行四邊形的判定。

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如右圖所示連接AC，∵四邊形ABCD各邊中點(diǎn)是E、F、G、H，∴HG∥AC，HGAC，EF∥AC，EFAC?！郋FGH，EF∥GH。

∴四邊形EFGH是平行四邊形。

由于四邊形EFGH是平行四邊形，它就不成能是梯形；

同時(shí)由于是任意四邊形，所以ACBD或AC⊥BD不確定成立，從而得不到矩形或菱形的判斷。

應(yīng)選A。

例5.（2022江蘇宿遷3分）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD，且AC≠BD，那么四邊形EFGH的外形是▲.（填“梯形”“矩形”“菱形”）矩形。

三角形中位線定理，矩形的判定。

如圖，連接AC，BD。

∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴根據(jù)三角形中位線定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。

又∵AC⊥BD，∴∠EHG∠HGF∠GFE∠FEH900。

∴四邊形EFGH是矩形。

且∵AC≠BD，∴四邊形EFGH鄰邊不相等。

∴四邊形EFGH不成能是菱形。

例6.（2022湖北天門(mén)、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段ACn1（其中n為正整數(shù)），點(diǎn)B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當(dāng)AB1時(shí)，△AME的面積記為S1；

當(dāng)AB2時(shí)，△AME的面積記為S2；

當(dāng)AB3時(shí)，△AME的面積記為S3；

；

當(dāng)ABn時(shí)，△AME的面積記為Sn．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣Sn﹣1▲．。

正方形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，同底等高的三角形面積，整式的混合運(yùn)算。

連接BE，∵在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM?！唷鰽ME與△AMB同底等高。

∴△AME的面積△AMB的面積。

∴當(dāng)ABn時(shí)，△AME的面積為，當(dāng)ABn－1時(shí)，△AME的面積為。

∴當(dāng)n≥2時(shí)，。

例7.（2022江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在BC邊上，且∠GDF∠ADF。

（1）求證△ADE≌△BFE；

（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

解（1）證明∵AD∥BC，∴∠ADE∠BFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。

∵E是AB的中點(diǎn)，∴AEBE。

又∵∠AED∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。

（2）EG與DF的位置關(guān)系是EG⊥DF。理由如下∵∠ADE∠BFE，∠GDF∠ADF，∴∠GDF∠BFE（等量代換）?！郍DGF（等角對(duì)等邊）。

又∵△ADE≌△BFE，∴DEEF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。

∴EG⊥DF（等腰三角形三線合一）。

平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)。

（1）由已知，應(yīng)用AAS即可證明△ADE≌△BFE。

（2）由∠ADE∠BFE，∠GDF∠ADF可得∠GDF∠BFE，從而根據(jù)等角對(duì)等邊得GDGF；

由（1）△ADE≌△BFE可得DEEF。根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EG⊥DF。

例8.（2022廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD2，AB4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O．（1）如圖1，求證A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；

（2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；

（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)．解（1）由折疊的性質(zhì)可得，GAGE，∠AGF∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG∠AGF?！唷螮FG∠EGF。∴EFEGAG。

∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EFAG）。

又∵AGGE，∴四邊形AGEF是菱形。

（2）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N，∴ON⊥BC。

∵點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，∴ON是梯形ABCE的中位線。

∴點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)。

（3）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OEOAON2?！郃EAB4。

在Rt△ADE中，AD2，AE4，∴∠AED30。

在Rt△OEF中，OE2，∠AED30，∴?！郌G。

翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AGGE，∠AGF∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG∠AGF，從而判斷出EFAG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合AGGE，可得出結(jié)論。

（2）連接ON，那么ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論。

（3）根據(jù)（1）可得出AEAB，從而在Rt△ADE中，可判斷出∠AED為30，在Rt△EFO中求出FO，從而可得出FG的長(zhǎng)度。

練習(xí)題1.（2022寧夏區(qū)3分）如圖，C島在A島的北偏東45方向，在B島的北偏西25方向，那么從C島看A、B兩島的視角∠ACB＝▲度．2.（2022浙江嘉興、舟山5分）在直角△ABC中，∠C90，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD4，那么點(diǎn)D到斜邊AB的距離為▲．3.（2022江蘇南京8分）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)（1）求證四邊形EFGH為正方形；

（2）若AD2，BC4，求四邊形EFGH的面積。

4.（202