抽象函數(shù)單調(diào)性

關(guān)于抽象函數(shù)單調(diào)性第1頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四課題導(dǎo)入

當(dāng)我們拿到一個(gè)具體的函數(shù)時(shí)，我們可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義、函數(shù)特點(diǎn)、求導(dǎo)等方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，若我們拿到的是一個(gè)抽象函數(shù)，我們又如何求其單調(diào)性呢？第2頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題目標(biāo)引領(lǐng)1、恒成立等式中特殊值的應(yīng)用；2、學(xué)會(huì)對(duì)抽象函數(shù)中單調(diào)性中兩種構(gòu)建證明方法；第3頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四獨(dú)立自學(xué)證明單調(diào)性第4頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四引導(dǎo)探究第5頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第6頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第7頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四引導(dǎo)探究第8頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第9頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四目標(biāo)升華第10頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)堂診學(xué)第11頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第12頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第13頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第14頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足,f(0)≠0,且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1,且對(duì)任意的a,b∈R,

f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求f(0)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性.解:(1)令a=b=0,則強(qiáng)化補(bǔ)清第15頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四任取x1,x2∈R，且x1<x2,(2)令a=x,b=-x

則所以f(x)>0恒成立.由于當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1,則f(x2)=f[(x2-x1)+x1]>f(

x1).即

f(x2)>f(x1).∴f(x)

是

R

上

的增函數(shù).

=f(x2-

x1)·f(x1)

∴f(x2-

x1)>1.第16頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明:任取

x1,x2∈R，且

x1<x2，則f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)∵x2-x1>0,∴f(x2-

x1)>1.=f(x2-

x1)-1.∴f(x2)-f(x1)>0，

即

f(x2)>f(x1).∴f(x)

是

R

上

的增函數(shù).

【2】若函數(shù)

f(x)

對(duì)任意a,b∈

R

都有

f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x>0

時(shí),有

f(x)>1.求證:

f(x)

是

R

上

的增函數(shù).∴f(x2-

x1)-1>0.=f(x2-

x1)+f(x1)-1-

f(x1)第17頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.設(shè)為奇函數(shù),且定義域?yàn)镽.(1)求b的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)若對(duì)于任意t∈R,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解:(1)由f(x)是奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),整理,得第18頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明:(2)任取x1,x2,且x1<x2,則所以函數(shù)f(x)在R內(nèi)是減函數(shù).第19頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是解:(3)因?yàn)閒(x)定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且是減函數(shù),從而判別式所以對(duì)任意t∈R,不等式恒成立.從而不等式等價(jià)于第20頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期四所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是設(shè)所以對(duì)任意t∈R,恒成立.從而不等式等價(jià)于