（全國用）2023版高考物理大一輪復(fù)習(xí)第四章曲線運(yùn)動萬有引力與航天第3講圓周運(yùn)動

PAGE第3講圓周運(yùn)動一、勻速圓周運(yùn)動、角速度、線速度、向心加速度1．勻速圓周運(yùn)動(1)定義：做圓周運(yùn)動的物體，假設(shè)在相等的時間內(nèi)通過的圓弧長相等，就是勻速圓周運(yùn)動．(2)特點(diǎn)：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運(yùn)動．(3)條件：合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心．2．描述勻速圓周運(yùn)動的物理量定義、意義公式、單位線速度描述做圓周運(yùn)動的物體運(yùn)動快慢的物理量(v)(1)v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)(2)單位：m/s角速度描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量(ω)(1)ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)(2)單位：rad/s周期物體沿圓周運(yùn)動一圈的時間(T)(1)T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2π,ω)，單位：s(2)f＝eq\f(1,T)，單位：Hz向心加速度(1)描述速度方向變化快慢的物理量(an)(2)方向指向圓心(1)an＝eq\f(v2,r)＝rω2(2)單位：m/s2[深度思考]如圖1所示為一輛自行車傳動裝置的結(jié)構(gòu)圖．圖1(1)同一齒輪上到轉(zhuǎn)軸距離不同的各點(diǎn)的線速度、角速度是否相同？(2)兩個齒輪相比擬，其邊緣的線速度是否相同？角速度是否相同，轉(zhuǎn)速是否相同？答案(1)線速度不同，角速度相同．(2)線速度相同，角速度、轉(zhuǎn)速不同．二、勻速圓周運(yùn)動的向心力1．作用效果向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大?。?．大小F＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2,T2)r＝mωv＝4π2mf2r.3．方向始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力．4．來源向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，還可以由一個力的分力提供．三、離心現(xiàn)象1．定義：做圓周運(yùn)動的物體，在所受合外力突然消失或缺乏以提供圓周運(yùn)動所需向心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動．2．本質(zhì)：做圓周運(yùn)動的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向飛出去的趨勢．3．受力特點(diǎn)(如圖2)當(dāng)F＝mrω2時，物體做勻速圓周運(yùn)動；當(dāng)F＝0時，物體沿切線方向飛出；當(dāng)F<mrω2時，物體逐漸遠(yuǎn)離圓心． 圖21．判斷以下說法是否正確．(1)勻速圓周運(yùn)動是勻變速曲線運(yùn)動．(×)(2)做圓周運(yùn)動的物體，一定受到向心力的作用，所以分析做圓周運(yùn)動物體的受力時，除了分析其受到的其他力，還必須指出它受到向心力的作用．(×)(3)做圓周運(yùn)動的物體所受合外力突然消失，物體將沿圓周的半徑方向飛出．(×)(4)火車轉(zhuǎn)彎速率小于規(guī)定的數(shù)值時，內(nèi)軌受到的壓力會增大．(√)(5)飛機(jī)在空中沿半徑為R的水平圓周盤旋時，飛機(jī)機(jī)翼一定處于傾斜狀態(tài)．(√)2．(人教版必修2P25第3題改編)如圖3所示，小物體A與水平圓盤保持相對靜止，跟著圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動，那么A受力情況是()圖3A．重力、支持力B．重力、向心力C．重力、支持力、指向圓心的摩擦力D．重力、支持力、向心力、摩擦力答案C3．(人教版必修2P19第4題改編)圖4是自行車傳動裝置的示意圖，其中Ⅰ是半徑為r1的大齒輪，Ⅱ是半徑為r2的小齒輪，Ⅲ是半徑為r3的后輪，假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為nr/s，那么自行車前進(jìn)的速度為()圖4A.eq\f(πnr1r3,r2) B.eq\f(πnr2r3,r1)C.eq\f(2πnr2r3,r1) D.eq\f(2πnr1r3,r2)答案D4．(人教版必修2P25第2題改編)如圖5所示，一個內(nèi)壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質(zhì)量相等的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，那么以下說法中正確的選項是()圖5A．A球的角速度等于B球的角速度B．A球的線速度大于B球的線速度C．A球的運(yùn)動周期小于B球的運(yùn)動周期D．A球?qū)ν脖诘膲毫Υ笥贐球?qū)ν脖诘膲毫Υ鸢窧解析先對小球受力分析，如下圖，由圖可知，兩球的向心力都來源于重力mg和支持力FN的合力，建立如下圖的坐標(biāo)系，那么有：FNsinθ＝mg①FNcosθ＝mrω2②由①得FN＝eq\f(mg,sinθ)，小球A和B受到的支持力FN相等，由牛頓第三定律知，選項D錯誤．由于支持力FN相等，結(jié)合②式知，A球運(yùn)動的半徑大于B球運(yùn)動的半徑，故A球的角速度小于B球的角速度，A球的運(yùn)動周期大于B球的運(yùn)動周期，選項A、C錯誤．又根據(jù)FNcosθ＝meq\f(v2,r)可知：A球的線速度大于B球的線速度，選項B正確.命題點(diǎn)一圓周運(yùn)動的分析1．圓周運(yùn)動中的運(yùn)動學(xué)分析(1)對公式v＝ωr的理解當(dāng)r一定時，v與ω成正比；當(dāng)ω一定時，v與r成正比；當(dāng)v一定時，ω與r成反比．(2)對a＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝ωv的理解在v一定時，a與r成反比；在ω一定時，a與r成正比．2．圓周運(yùn)動中的動力學(xué)分析(1)向心力的來源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要防止再另外添加一個向心力．(2)向心力確實定①確定圓周運(yùn)動的軌道所在的平面，確定圓心的位置．②分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力．例1(多項選擇)如圖6所示為賽車場的一個水平“梨形〞賽道，兩個彎道分別為半徑R＝90m的大圓弧和r＝40m的小圓弧，直道與彎道相切．大、小圓弧圓心O、O′距離L＝100m．賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍，假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動，在彎道上做勻速圓周運(yùn)動，要使賽車不打滑，繞賽道一圈時間最短(發(fā)動機(jī)功率足夠大，重力加速度g＝10m/s2，π＝3.14)，那么賽車()圖6A．在繞過小圓弧彎道后加速B．在大圓弧彎道上的速率為45m/sC．在直道上的加速度大小為5.63m/s2D．通過小圓弧彎道的時間為5.58s繞賽道一圈時間最短．答案AB解析在彎道上做勻速圓周運(yùn)動時，根據(jù)徑向靜摩擦力提供向心力得，kmg＝meq\f(v\o\al(2,m),r)，當(dāng)彎道半徑一定時，在彎道上的最大速率是一定的，且在大彎道上的最大速率大于小彎道上的最大速率，故要想時間最短，可在繞過小圓弧彎道后加速，選項A正確；在大圓弧彎道上的速率為vmR＝eq\r(kgR)＝eq\r(2.25×10×90)m/s＝45m/s，選項B正確；直道的長度為x＝eq\r(L2－R－r2)＝50eq\r(3)m，在小彎道上的最大速率為：vmr＝eq\r(kgr)＝eq\r(2.25×10×40)m/s＝30m/s，在直道上的加速度大小為a＝eq\f(v\o\al(2,mR)－v\o\al(2,mr),2x)＝eq\f(452－302,2×50\r(3))m/s2≈6.50m/s2，選項C錯誤；由幾何關(guān)系可知，小圓弧軌道的長度為eq\f(2πr,3)，通過小圓弧彎道的時間為t＝eq\f(\f(2πr,3),vmr)＝eq\f(2×3.14×40,3×30)s≈2.80s，選項D錯誤．1．如圖7所示，“旋轉(zhuǎn)秋千〞中的兩個座椅A、B質(zhì)量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上．不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動時，以下說法正確的選項是()圖7A．A的速度比B的大B．A與B的向心加速度大小相等C．懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等D．懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小答案D解析根據(jù)題意可知，座椅A和B的角速度相等，A的轉(zhuǎn)動半徑小于B的轉(zhuǎn)動半徑，由v＝rω可知，座椅A的線速度比B的小，選項A錯誤；由a＝rω2可知，座椅A的向心加速度比B的小，選項B錯誤；座椅受力如下圖，由牛頓第二定律得mgtanθ＝mrω2，tanθ＝eq\f(rω2,g)，因座椅A的運(yùn)動半徑較小，故懸掛A的纜繩與豎直方向的夾角小，選項C錯誤；拉力FT＝eq\f(mg,cosθ)，可判斷懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小，選項D正確．2．(多項選擇)如圖8所示，兩個質(zhì)量不同的小球用長度不等的細(xì)線拴在同一點(diǎn)，并在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，那么它們的()圖8A．周期相同B．線速度的大小相等C．角速度的大小相等D．向心加速度的大小相等答案AC解析對小球受力分析如下圖，受自身重力mg、繩子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圓心，設(shè)細(xì)線和豎直方向夾角為θ，小球到懸點(diǎn)的距離為h，那么有mgtanθ＝man＝mω2htanθ，可得向心加速度an＝gtanθ，所以向心加速度大小不相等，選項D錯；角速度ω＝eq\r(\f(g,h))，所以角速度大小相等，選項C對；由于水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的半徑不同，線速度v＝ωhtanθ，所以線速度大小不同，選項B錯，周期T＝eq\f(2π,ω)，角速度相等，所以周期相等，選項A對．命題點(diǎn)二水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題例2如圖9所示，用一根長為l＝1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m＝1kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動的角速度為ω時，細(xì)線的張力為FT.(g取10m/s2，結(jié)果可用根式表示)求：圖9(1)假設(shè)要小球剛好離開錐面，那么小球的角速度ω0至少為多大？(2)假設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，那么小球的角速度ω′為多大？①小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動；②假設(shè)要小球剛好離開錐面．答案(1)eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s(2)2eq\r(5)rad/s解析(1)假設(shè)要小球剛好離開錐面，那么小球只受到重力和細(xì)線的拉力，受力分析如下圖．小球做勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式得：mgtanθ＝mω02lsinθ解得：ω02＝eq\f(g,lcosθ)即ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s.(2)同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時，由牛頓第二定律及向心力公式得：mgtanα＝mω′2lsinα解得：ω′2＝eq\f(g,lcosα)，即ω′＝eq\r(\f(g,lcosα))＝2eq\r(5)rad/s.水平面內(nèi)圓周運(yùn)動臨界問題的分析技巧1．在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的物體，當(dāng)角速度ω變化時，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動的趨勢．這時要根據(jù)物體的受力情況，判斷某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪(特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等)．2．三種臨界情況：(1)接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離，臨界條件是：彈力FN＝0.(2)相對滑動的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對靜止時，常存在著靜摩擦力，那么相對滑動的臨界條件是：靜摩擦力到達(dá)最大值．(3)繩子斷裂與松馳的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的，繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛的臨界條件是：FT＝0.3．(多項選擇)(2022·新課標(biāo)全國Ⅰ·20)如圖10所示，兩個質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.假設(shè)圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度，以下說法正確的選項是()圖10A．b一定比a先開始滑動B．a(chǎn)、b所受的摩擦力始終相等C．ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b開始滑動的臨界角速度D．當(dāng)ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時，a所受摩擦力的大小為kmg答案AC解析小木塊a、b做圓周運(yùn)動時，由靜摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.當(dāng)角速度增加時，靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時，發(fā)生相對滑動，對木塊a：fa＝mωa2l，當(dāng)fa＝kmg時，kmg＝mωa2l，ωa＝eq\r(\f(kg,l))；對木塊b：fb＝mωb2·2l，當(dāng)fb＝kmg時，kmg＝mωb2·2l，ωb＝eq\r(\f(kg,2l))，所以b先到達(dá)最大靜摩擦力，選項A正確；兩木塊滑動前轉(zhuǎn)動的角速度相同，那么fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa<fb，選項B錯誤；當(dāng)ω＝eq\r(\f(kg,2l))時b剛要開始滑動，選項C正確；當(dāng)ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時，a沒有滑動，那么fa＝mω2l＝eq\f(2,3)kmg，選項D錯誤．命題點(diǎn)三豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動1．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動兩類模型一是無支撐(如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動的過山車等)，稱為“繩(環(huán))約束模型〞，二是有支撐(如球與桿連接、在彎管內(nèi)的運(yùn)動等)，稱為“桿(管)約束模型〞．2．豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的兩種模型特點(diǎn)及求解方法輕繩模型輕桿模型實例如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動的球等如球與桿連接、球在內(nèi)壁光滑的圓管內(nèi)運(yùn)動等圖示最高點(diǎn)無支撐最高點(diǎn)有支撐最高點(diǎn)受力特征重力、彈力，彈力方向向下或等于零重力、彈力，彈力方向向下、等于零或向上受力示意圖力學(xué)特征mg＋FN＝meq\f(v2,r)mg±FN＝meq\f(v2,r)臨界特征FN＝0，vmin＝eq\r(gr)豎直向上的FN＝mg，v＝0過最高點(diǎn)條件v≥eq\r(gr)v≥0速度和彈力關(guān)系討論分析①能過最高點(diǎn)時，v≥eq\r(gr)，F(xiàn)N＋mg＝meq\f(v2,r)，繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN②不能過最高點(diǎn)時，v<eq\r(gr)，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道做斜拋運(yùn)動①當(dāng)v＝0時，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心②當(dāng)0<v<eq\r(gr)時，－FN＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N背離圓心，隨v的增大而減?、郛?dāng)v＝eq\r(gr)時，F(xiàn)N＝0④當(dāng)v>eq\r(gr)時，F(xiàn)N＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大例3(2022·全國Ⅱ·16)小球P和Q用不可伸長的輕繩懸掛在天花板上，P球的質(zhì)量大于Q球的質(zhì)量，懸掛P球的繩比懸掛Q球的繩短．將兩球拉起，使兩繩均被水平拉直，如圖11所示．將兩球由靜止釋放．在各自軌跡的最低點(diǎn)()圖11A．P球的速度一定大于Q球的速度B．P球的動能一定小于Q球的動能C．P球所受繩的拉力一定大于Q球所受繩的拉力D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度①P球的質(zhì)量大于Q球的質(zhì)量；②由靜止釋放；③在各自軌跡的最低點(diǎn)．答案C解析小球從水平位置擺動至最低點(diǎn)，由動能定理得，mgL＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(2gL)，因LP<LQ，故vP<vQ，選項A錯誤；因為Ek＝mgL，又mP>mQ，LP<LQ，那么兩小球的動能大小無法比擬，選項B錯誤；對小球在最低點(diǎn)受力分析得，F(xiàn)T－mg＝meq\f(v2,L)，可得FT＝3mg，選項C正確；由an＝eq\f(v2,L)＝2g可知，兩球的向心加速度相等，選項D錯誤．例4如圖12所示，一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球，用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動．g取10m/s2，求：圖12(1)小球要做完整的圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)的速度至少為多大？(2)當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時，輕繩拉力多大？(3)假設(shè)輕繩能承受的最大張力為45N，小球的速度不能超過多大？①輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動；②小球要做完整的圓周運(yùn)動；③最大張力為45N.答案(1)2m/s(2)15N(3)4eq\r(2)m/s解析(1)在最高點(diǎn)，對小球受力分析如圖甲，由牛頓第二定律得mg＋F1＝eq\f(mv2,R)①由于輕繩對小球只能提供指向圓心的拉力，即F1不可能取負(fù)值，亦即F1≥0 ②聯(lián)立①②得v≥eq\r(gR)，代入數(shù)值得v≥2m/s所以，小球要做完整的圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)的速度至少為2m/s.(2)將v2＝4m/s代入①得，F(xiàn)2＝15N.(3)由分析可知，小球在最低點(diǎn)張力最大，對小球受力分析如圖乙，由牛頓第二定律得F3－mg＝eq\f(mv\o\al(2,3),R) ③將F3＝45N代入③得v3＝4eq\r(2)m/s即小球的速度不能超過4eq\r(2)m/s.4．(多項選擇)“水流星〞是一種常見的雜技工程，該運(yùn)動可以簡化為細(xì)繩一端系著小球在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動模型，如圖13所示，繩長為l，重力加速度為g，那么()圖13A．小球運(yùn)動到最低點(diǎn)Q時，處于失重狀態(tài)B．小球初速度v0越大，那么在P、Q兩點(diǎn)繩對小球的拉力差越大C．當(dāng)v0>eq\r(6gl)時，小球一定能通過最高點(diǎn)PD．當(dāng)v0<eq\r(gl)時，細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)答案CD解析小球運(yùn)動到最低點(diǎn)Q時，由于加速度向上，故處于超重狀態(tài)，選項A錯誤；小球在最低點(diǎn)時：FT1－mg＝meq\f(v\o\al(2,0),l)；在最高點(diǎn)時：FT2＋mg＝meq\f(v2,l)，其中eq\f(1,2)mv02－mg·2l＝eq\f(1,2)mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q兩點(diǎn)繩對小球的拉力差與初速度v0無關(guān)，選項B錯誤；當(dāng)v0＝eq\r(6gl)時，得v＝eq\r(2gl)，因為小球能經(jīng)過最高點(diǎn)的最小速度為eq\r(gl)，那么當(dāng)v0>eq\r(6gl)時小球一定能通過最高點(diǎn)P，選項C正確；當(dāng)v0＝eq\r(gl)時，由eq\f(1,2)mv02＝mgh得小球能上升的高度h＝eq\f(1,2)l，即小球不能越過與懸點(diǎn)等高的位置，故當(dāng)v0<eq\r(gl)時，小球?qū)⒃谧畹忘c(diǎn)位置來回擺動，細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)，選項D正確．5．如圖14所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點(diǎn)，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運(yùn)動到最高點(diǎn)時，桿對球B恰好無作用力．忽略空氣阻力．那么球B在最高點(diǎn)時()圖14A．球B的速度為零B．球A的速度大小為eq\r(2gL)C．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mgD．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg答案C解析球B運(yùn)動到最高點(diǎn)時，桿對球B恰好無作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝meq\f(v\o\al(2,B),2L)，解得vB＝eq\r(2gL)，故A錯誤；由于A、B兩球的角速度相等，那么球A的速度大小vA＝eq\f(1,2)eq\r(2gL)，故B錯誤；B球在最高點(diǎn)時，對桿無彈力，此時A球受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq\f(v\o\al(2,A),L)，解得：F＝1.5mg，故C正確，D錯誤．斜面上圓周運(yùn)動的臨界問題在斜面上做圓周運(yùn)動的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、輕繩控制、輕桿控制，物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同．下面列舉三類實例：1．靜摩擦力控制下的圓周運(yùn)動典例1(2022·安徽·19)如圖15所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止．物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為eq\f(\r(3),2)(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2.那么ω的最大值是()圖15A.eq\r(5)rad/s B.eq\r(3)rad/sC．1.0rad/s D．0.5rad/s答案C解析當(dāng)小物體轉(zhuǎn)動到最低點(diǎn)時為臨界點(diǎn)，由牛頓第二定律知，μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r解得ω＝1.0rad/s，應(yīng)選項C正確．2．輕繩控制下的圓周運(yùn)動典例2如圖16所示，一塊足夠大的光滑平板放置在水平面上，能繞水平固定軸MN調(diào)節(jié)其與水平面所成的傾角．板上一根長為l＝0.60m的輕細(xì)繩，它的一端系住一質(zhì)量為m的小球P，另一端固定在板上的O點(diǎn)．當(dāng)平板的傾角固定為α?xí)r，先將輕繩平行于水平軸MN拉直，然后給小球一沿著平板并與輕繩垂直的初速度v0＝3.0m/s.假設(shè)小球能保持在板面內(nèi)做圓周運(yùn)動，傾角α的值應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(取重力加速度g＝10m/s2)圖16答案0°≤α≤30°解析小球在傾斜平板上運(yùn)動時受到繩子拉力、平板彈力、重力．在垂直平板方向上合力為0，重力在沿平板方向的分量為mgsinα小球在最高點(diǎn)時，由繩子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有FT＋mgsinα＝eq\f(mv\o\al(2,1),l) ①研究小球從釋放到最高點(diǎn)的過程，根據(jù)動能定理有－mglsinα＝eq\f(1,2)mv12－eq\f(1,2)mv02 ②假設(shè)恰好能通過最高點(diǎn)，那么繩子拉力FT＝0 ③聯(lián)立①②③解得sinα＝eq\f(1,2)，那么α＝30°故α的范圍為0°≤α≤30°.3．輕桿控制下的圓周運(yùn)動典例3如圖17所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長為L＝0.8m的輕桿，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2kg的小球，沿斜面做圓周運(yùn)動，取g＝10m/s2，假設(shè)要小球能通過最高點(diǎn)A，那么小球在最低點(diǎn)B的最小速度是()圖17A．4m/s B．2eq\r(10)m/s C．2eq\r(5)m/s D．2eq\r(2)m/s答案A解析小球受輕桿控制，在A點(diǎn)的最小速度為零，由2mgLsinα＝eq\f(1,2)mvB2可得vB＝4m/s，A正確．題組1勻速圓周運(yùn)動的分析1．水平放置的三個不同材料制成的圓輪A、B、C，用不打滑皮帶相連，如圖1所示(俯視圖)，三圓輪的半徑之比為RA∶RB∶RC＝3∶2∶1，當(dāng)主動輪C勻速轉(zhuǎn)動時，在三輪的邊緣上分別放置一相同的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，小物塊均恰能相對靜止在各輪的邊緣上，設(shè)小物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，小物塊與輪A、B、C接觸面間的動摩擦因數(shù)分別為μA、μB、μC，A、B、C三輪轉(zhuǎn)動的角速度分別為ωA、ωB、ωC，那么()圖1A．μA∶μB∶μC＝2∶3∶6B．μA∶μB∶μC＝6∶3∶2C．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶3D．ωA∶ωB∶ωC＝6∶3∶2答案A解析小物塊在水平方向由最大靜摩擦力提供向心力，所以向心加速度a＝μg，而a＝eq\f(v2,R)，A、B、C三圓輪邊緣的線速度大小相同，所以μ∝eq\f(1,R)，所以μA∶μB∶μC＝2∶3∶6，由v＝Rω可知，ω∝eq\f(1,R)，所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶3∶6，故只有A正確．2．如圖2為學(xué)員駕駛汽車在水平面上繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的俯視示意圖．質(zhì)量為60kg的學(xué)員在A點(diǎn)位置，質(zhì)量為70kg的教練員在B點(diǎn)位置，A點(diǎn)的轉(zhuǎn)彎半徑為5.0m，B點(diǎn)的轉(zhuǎn)彎半徑為4.0m，學(xué)員和教練員(均可視為質(zhì)點(diǎn))()圖2A．運(yùn)動周期之比為5∶4B．運(yùn)動線速度大小之比為1∶1C．向心加速度大小之比為4∶5D．受到的合力大小之比為15∶14答案D解析A、B兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動的角速度相等，根據(jù)T＝eq\f(2π,ω)知，周期相等，故A錯誤．根據(jù)v＝rω知，半徑之比為5∶4，那么線速度大小之比為5∶4，故B錯誤．根據(jù)a＝rω2知，半徑之比為5∶4，那么向心加速度大小之比為5∶4，故C錯誤．根據(jù)F＝ma知，向心加速度大小之比為5∶4，質(zhì)量之比為6∶7，那么合力大小之比為15∶14，故D正確．3．(2022·天津·9(1))半徑為R的水平圓盤繞過圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，A為圓盤邊緣上一點(diǎn)．在O的正上方有一個可視為質(zhì)點(diǎn)的小球以初速度v水平拋出時，半徑OA方向恰好與v的方向相同，如圖3所示．假設(shè)小球與圓盤只碰一次，且落在A點(diǎn)，重力加速度為g，那么小球拋出時距O的高度h＝________，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度大小ω＝________.圖3答案eq\f(gR2,2v2)eq\f(2nπv,R)(n＝1,2,3，…)解析小球做平拋運(yùn)動，在豎直方向：h＝eq\f(1,2)gt2 ①在水平方向R＝vt ②由①②兩式可得h＝eq\f(gR2,2v2) ③小球落在A點(diǎn)的過程中，OA轉(zhuǎn)過的角度θ＝2nπ＝ωt(n＝1,2,3，…)④由②④兩式得ω＝eq\f(2nπv,R)(n＝1,2,3，…)題組2水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題4．(多項選擇)摩擦傳動是傳動裝置中的一個重要模型，如圖4所示的兩個水平放置的輪盤靠摩擦力傳動，其中O、O′分別為兩輪盤的軸心．兩個輪盤的半徑比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作時兩輪盤不打滑．今在兩輪盤上分別放置兩個同種材料制成的滑塊A、B，兩滑塊與輪盤間的動摩擦因數(shù)相同，兩滑塊距離軸心O、O′的間距RA＝2RB.假設(shè)輪盤乙由靜止開始緩慢地轉(zhuǎn)動起來，且轉(zhuǎn)速逐漸增加，那么以下表達(dá)正確的選項是()圖4A．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，角速度之比為ω甲∶ω乙＝1∶3B．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，向心加速度的比值為aA∶aB＝2∶9C．轉(zhuǎn)速增加后滑塊B先發(fā)生滑動D．轉(zhuǎn)速增加后兩滑塊一起發(fā)生滑動答案ABC解析假設(shè)輪盤乙的半徑為R，由題意可知兩輪盤邊緣的線速度大小相等，有ω甲(3R)＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑塊相對輪盤滑動前，A、B的角速度之比為1∶3，A正確；滑塊相對輪盤滑動前，根據(jù)a＝ω2r得A、B的向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9，B正確；據(jù)題意可得滑塊A、B的最大靜摩擦力分別為FfA＝μmAg，F(xiàn)fB＝μmBg，最大靜摩擦力之比為FfA∶FfB＝mA∶mB，滑塊相對輪盤滑動前所受的靜摩擦力之比為FfA′∶FfB′＝(mAaA)∶(mBaB)＝mA∶(4.5mB)，綜上分析可得滑塊B先到達(dá)最大靜摩擦力，先開始滑動，C正確，D錯誤．5．(多項選擇)如圖5所示，在水平圓盤上放有質(zhì)量分別為m、m、2m的可視為質(zhì)點(diǎn)的三個物體A、B、C，圓盤可繞垂直圓盤的中心軸OO′轉(zhuǎn)動．三個物體與圓盤間的動摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．三個物體與軸O共線且OA＝OB＝BC＝r，現(xiàn)將三個物體用輕質(zhì)細(xì)線相連，保持細(xì)線伸直且恰無張力．當(dāng)圓盤從靜止開始轉(zhuǎn)動，角速度極其緩慢地增大，那么對于這個過程，以下說法正確的選項是()圖5A．A、B兩個物體同時到達(dá)最大靜摩擦力B．B、C兩個物體的靜摩擦力先增大后不變，A物體所受的靜摩擦力先增大后減小再增大C．當(dāng)ω2>eq\r(\f(μg,r))時整體會發(fā)生滑動D．當(dāng)eq\r(\f(μg,2r))<ω<eq\r(\f(μg,r))時，在ω增大的過程中B、C間的拉力不斷增大答案BCD解析當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速增大時，靜摩擦力提供向心力，三個物體的角速度相等，由F0＝mω2r，由于C的半徑最大，質(zhì)量最大，故C所需要的向心力增加最快，最先到達(dá)最大靜摩擦力，此時μ(2m)g＝2m·2rω12，解得ω1＝eq\r(\f(μg,2r))，當(dāng)C的摩擦力到達(dá)最大靜摩擦力之后，細(xì)線BC開始提供拉力，B的摩擦力增大，到達(dá)最大靜摩擦力后，A、B之間細(xì)線開始有力的作用，隨著角速度增大，A的摩擦力將減小到零然后反向增大，當(dāng)A的摩擦力到達(dá)最大，且細(xì)線BC的拉力大于A、B整體的摩擦力時物體將會出現(xiàn)相對滑動，此時A與B還受到細(xì)線的拉力，對C有FT＋μ(2m)g＝2m·2rω22，對A、B整體有FT＝2μmg，解得ω2＝eq\r(\f(μg,r))，當(dāng)ω2>eq\r(\f(μg,r))時整體會發(fā)生滑動，故A錯誤，B、C正確；當(dāng)eq\r(\f(μg,2r))<ω<eq\r(\f(μg,r))時，C所受摩擦力沿著半徑向里，且沒有出現(xiàn)滑動，故在ω增大的過程中，由于向心力F＝FT＋Ff不斷增大，故B、C間的拉力不斷增大，故D正確．6.如圖6所示，水平桿固定在豎直桿上，兩者互相垂直，水平桿上O、A兩點(diǎn)連接有兩輕繩，兩繩的另一端都系在質(zhì)量為m的小球上，OA＝OB＝AB，現(xiàn)通過轉(zhuǎn)動豎直桿，使水平桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，三角形OAB始終在豎直平面內(nèi)，假設(shè)轉(zhuǎn)動過程中OB、AB兩繩始終處于拉直狀態(tài)，那么以下說法正確的選項是()圖6A．OB繩的拉力范圍為0～eq\f(\r(3),3)mgB．OB繩的拉力范圍為eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mgC．AB繩的拉力范圍為eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mgD．AB繩的拉力范圍為0～eq\f(2\r(3),3)mg答案B解析當(dāng)轉(zhuǎn)動的角速度為零時，OB繩的拉力最小，AB繩的拉力最大，這時兩者的值相同，設(shè)為F1，那么2F1cos30°＝mg，F(xiàn)1＝eq\f(\r(3),3)mg，增大轉(zhuǎn)動的角速度，當(dāng)AB繩的拉力剛好等于零時，OB繩的拉力最大，設(shè)這時OB繩的拉力為F2，那么F2cos30°＝mg，F(xiàn)2＝eq\f(2\r(3),3)mg，因此OB繩的拉力范圍為eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mg，AB繩的拉力范圍為0～eq\f(\r(3),3)mg，B項正確．7．如圖7所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g.圖7(1)假設(shè)ω＝ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω0；(2)假設(shè)ω＝(1±k)ω0，且0＜k?1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．答案(1)eq\r(\f(2g,R))(2)當(dāng)ω＝(1＋k)ω0時，F(xiàn)f沿罐壁切線向下，大小為eq\f(\r(3)k2＋k,2)mg當(dāng)ω＝(1－k)ω0時，F(xiàn)f沿罐壁切線向上，大小為eq\f(\r(3)k2－k,2)mg解析(1)對小物塊受力分析可知：FNcos60°＝mg ①FNsin60°＝mR′ω02 ②R′＝Rsin60° ③聯(lián)立①②③解得：ω0＝eq\r(\f(2g,R))(2)由于0＜k?1，當(dāng)ω＝(1＋k)ω0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向下．由受力分析可知：FN′cos60°＝mg＋Ffcos30° ④FN′sin60°＋Ffsin30°＝mR′ω2 ⑤聯(lián)立③④⑤解得：Ff＝eq\f(\r(3)k2＋k,2)mg當(dāng)ω＝(1－k)ω0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向上．由受力分析和幾何關(guān)系知：FN″cos60°＋Ff′sin60°＝mg ⑥FN″sin60°－Ff′cos60°＝mR′ω2 ⑦聯(lián)立③⑥⑦解得Ff′＝eq\f(\r(3)k2－k,2)mg.題組3豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題8．如圖8所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)間的距離也為L.重力加速度大小為g.現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運(yùn)動，假設(shè)小球在最高點(diǎn)速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，那么小球在最高點(diǎn)速率為2v時，每根繩的拉力大小為()圖8A.eq\r(3)mg B.eq\f(4,3)eq\r(3)mgC．3mg D．2eq\r(3)mg答案A解析設(shè)小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動的半徑為r，小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時輕繩與圓周運(yùn)動軌道平面的夾角為θ＝30°，那么有r＝Lcosθ＝eq\f(\r(3),2)L.根據(jù)題述小球在最高點(diǎn)速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，有mg＝meq\f(v2,r)；小球在最高點(diǎn)速率為2v時，設(shè)每根繩的拉力大小為F，那么有2Fcosθ＋mg＝meq\f(2v2,r)，聯(lián)立解得F＝eq\r(3)mg，選項A正確．9.(多項選擇)如圖9所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r＝0.4m，最低點(diǎn)處有一小球(半徑比r小很多)，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，那么要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動，v0應(yīng)當(dāng)滿足(取g＝10m/s2)()圖9A．v0≥0 B．v0≥4m/sC．v0≥2eq\r(5)m/s D．v0≤2eq\r(2)m/s答案CD解析當(dāng)v0較大時，小球能夠通過最高點(diǎn)，這時小球在最高點(diǎn)處需要滿足的條件是mg≤eq\f(mv2,r)，又根據(jù)機(jī)械能守恒定律有eq\f(1,2)mv2＋2mgr＝eq\f(1,2)mv02，得v0≥2eq\r(5)m/s，C正確．當(dāng)v0較小時，小球不能通過最高點(diǎn)，這時對應(yīng)的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處時速度恰好減為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgr＝eq\f(1,2)mv02，得v0＝2eq\r(2)m/s，D正確．10．如圖10所示，兩個四分之三豎直圓弧軌道固定在同一水平地面上，半徑R相同，左側(cè)軌道由金屬凹槽制成，右側(cè)軌道由金屬圓管制成，均可視為光滑軌道．在兩軌道右側(cè)的正上方分別將金屬小球A