2020-2021人教版數(shù)學(xué)第二冊(cè)課時(shí)8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)課時(shí)分層作業(yè)：8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積含解析課時(shí)分層作業(yè)（二十三）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積(建議用時(shí):40分鐘）一、選擇題1．如圖，ABC.A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C.AA′B′B的體積是（)A．eq\f(1,3） B．eq\f（1，2）C．eq\f(2，3) D．eq\f(3，4)C［∵VC。A′B′C′＝eq\f(1，3)VABC.A′B′C′＝eq\f（1，3)，∴VC。AA′B′B＝1－eq\f（1,3）＝eq\f（2，3)。］2．正方體的表面積為96，則正方體的體積為（）A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96［答案]B3．棱錐的一個(gè)平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2（從頂點(diǎn)到截面與從截面到底面）兩部分,那么這個(gè)截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于（)A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶3B[兩個(gè)錐體的側(cè)面積之比為1∶9，小錐體與臺(tái)體的側(cè)面積之比為1∶8，故選B．]4．若正方體八個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是（)A．eq\r（3)B．eq\r(2)C．eq\f（2,\r(3）)D．eq\f(\r(3），2)A[如圖所示，正方體的A′、C′、D、B的四個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)正四面體，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a,則正四面體邊長(zhǎng)為eq\r（2)a?！嗾襟w表面積S1＝6a2正四面體表面積為S2＝4×eq\f（\r(3）,4）×(eq\r(2）a）2＝2eq\r（3）a2,∴eq\f（S1,S2)＝eq\f(6a2，2\r(3)a2)＝eq\r(3).]5．四棱臺(tái)的兩底面分別是邊長(zhǎng)為x和y的正方形,各側(cè)棱長(zhǎng)都相等,高為z,且側(cè)面積等于兩底面積之和，則下列關(guān)系式中正確的是（）A．eq\f(1，x）＝eq\f(1,y）＋eq\f（1,z） B．eq\f(1,y）＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z）C．eq\f(1，z）＝eq\f(1，x)＋eq\f（1,y） D．eq\f(1，z）＝eq\f（1，x＋y）C［由條件知，各側(cè)面是全等的等腰梯形，設(shè)其高為h′，則根據(jù)條件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4·\f(x＋y，2)·h′＝x2＋y2，,z2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（y－x,2）))eq\s\up12(2)＝h′2,))消去h′得，4z2（x＋y)2＋（y－x）2（y＋x)2＝（x2＋y2）2。∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，∴z(x＋y)＝xy，∴eq\f(1，z)＝eq\f（1,x)＋eq\f(1，y).]二、填空題6．已知一個(gè)長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別是eq\r(2）,eq\r（3），eq\r（6）,則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為________．eq\r(6）［設(shè)長(zhǎng)方體從一點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（ab＝\r(2），，ac＝\r（3）,，bc＝\r（6)，))三式相乘得（abc）2＝6，故長(zhǎng)方體的體積V＝abc＝eq\r（6)。]7．(一題兩空)已知棱長(zhǎng)為1，各面均為等邊三角形的四面體，則它的表面積是________，體積是________．eq\r(3）eq\f(\r(2)，12)[S表＝4×eq\f（\r（3），4)×12＝eq\r（3），V體＝eq\f(1,3）×eq\f（\r（3)，4）×12×eq\r（12－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3)，3)））eq\s\up12（2）)＝eq\f（\r(2）,12).]8。如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD。A1B1C1D1中，則點(diǎn)A到平面A1BD的距離deq\f（\r(3）,3)a［在三棱錐A1.ABD中，AA1是三棱錐A1。ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a,A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2）a，∵V三棱錐A1。ABD＝V三棱錐A-A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f（1,2)a2×a＝eq\f(1，3)×eq\f（1，2）×eq\r（2）a×eq\f（\r（3)，2）×eq\r(2）a×d，∴d＝eq\f（\r(3)，3)a?！帱c(diǎn)A到平面A1BD的距離為eq\f(\r（3）,3)a。]三、解答題9．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5），BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．[解］以四面體的各棱為對(duì)角線還原為長(zhǎng)方體,如圖．設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝13，，y2＋z2＝20,,x2＋z2＝25，)）∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3,，y＝2，,z＝4.)）∵VD。ABE＝eq\f（1，3）DE·S△ABE＝eq\f(1，6）V長(zhǎng)方體，同理，VC.ABF＝VD-ACG＝VD。BCH＝eq\f（1，6)V長(zhǎng)方體，∴V四面體ABCD＝V長(zhǎng)方體－4×eq\f（1,6）V長(zhǎng)方體＝eq\f（1，3）V長(zhǎng)方體．而V長(zhǎng)方體＝2×3×4＝24，∴V四面體ABCD＝8。10．如圖,已知正三棱錐S.ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．［解］如圖,設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,斜高為h′，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，與AB交于點(diǎn)E，連接SE，則SE⊥AB,SE＝h′.∵S側(cè)＝2S底，∴eq\f(1，2)·3a·h′＝eq\f（\r（3),4)a2×2。∴a＝eq\r（3）h′?！逽O⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3），6）×\r(3）h′)）eq\s\up12(2）＝h′2.∴h′＝2eq\r（3），∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f（\r(3）,4）a2＝eq\f(\r（3）,4）×62＝9eq\r(3），S側(cè)＝2S底＝18eq\r（3)。∴S表＝S側(cè)＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r（3）＝27eq\r(3）。11．正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為（)A．3πB．eq\f(4，3）C．eq\f(3,2)π D．1B[如圖所示，由圖可知，該幾何體由兩個(gè)四棱錐構(gòu)成，并且這兩個(gè)四棱錐體積相等．四棱錐的底面為正方形,且邊長(zhǎng)為eq\r(2)，故底面積為(eq\r(2))2＝2；四棱錐的高為1，故四棱錐的體積為eq\f(1,3）×2×1＝eq\f（2,3).則幾何體的體積為2×eq\f(2，3）＝eq\f（4,3）.］12．正三棱錐的底面周長(zhǎng)為6,側(cè)面都是直角三角形，則此棱錐的體積為（)A．eq\f（4\r(2),3)B．eq\r(2）C．eq\f（2\r（2）,3)D．eq\f（\r(2）,3）D［由題意，正三棱錐的底面周長(zhǎng)為6，所以正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)面均為直角三角形,可知側(cè)棱長(zhǎng)均為eq\r（2）,三條側(cè)棱兩兩垂直,所以此三棱錐的體積為eq\f（1,3)×eq\f(1,2）×eq\r（2）×eq\r（2)×eq\r（2）＝eq\f(\r(2),3)。］13．（一題兩空)已知某幾何體是由兩個(gè)全等的長(zhǎng)方體和一個(gè)三棱柱組合而成，如圖所示，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4，3，3，三棱柱底面是直角邊分別為4，3的直角三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為3，則此幾何體的體積是________,表面積是________．90138[該幾何體的體積V＝4×6×3＋eq\f(1,2)×4×3×3＝90，表面積S＝2(4×6＋4×3＋6×3）－3×3＋eq\f(1，2)×4×3×2＋eq\r(32＋42)×3＋3×4＝138.］14．如圖，在多面體ABCDEF中,已知平面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．[解]如圖，連接EB，EC．四棱錐E.ABCD的體積V四棱錐E。ABCD＝eq\f（1，3）×42×3＝16?！逜B＝2EF,EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF?！郪三棱錐F.EBC＝V三棱錐C-EFB＝eq\f（1,2)V三棱錐C.ABE＝eq\f（1，2)V三棱錐E.ABC＝eq\f（1，2)×eq\f(1,2）V四棱錐E。ABCD＝4?！喽嗝骟w的體積V＝V四棱錐E-ABCD＋V三棱錐F。EBC＝16＋4＝20。15．一個(gè)正三棱錐P。ABC的底面邊長(zhǎng)為a，高為h.一個(gè)正三棱柱A1B1C1。A0B0C0的頂點(diǎn)A1，B1，C1分別在三條棱上，A0，B0,C0分別在底面△［解]設(shè)三棱錐的底面中心為O，連接PO（圖略），則PO為三棱錐的高，設(shè)A1，B1，C1所在的底面與PO交于O1點(diǎn)，則eq\f（A1B1，AB）＝eq\f（PO1,PO)，令A(yù)1B1＝x，而PO＝h,則PO1＝eq\f(h,a)x，于是OO1＝h－PO1＝h－eq\f（h,a）x＝heq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（x，a)）).所以所求三棱柱的側(cè)面積為S＝3x·heq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（x,a）))＝eq\f（3h,a)（a－x)x＝eq\f（3h，a)eq\b\lc