2023年內(nèi)蒙古烏海市海南區(qū)數(shù)學(xué)八年級第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年八下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．關(guān)于一次函數(shù)y＝﹣2x+3，下列結(jié)論正確的是（）A．圖象過點(diǎn)（1，﹣1） B．圖象經(jīng)過一、二、三象限C．y隨x的增大而增大 D．當(dāng)x＞時(shí)，y＜02．如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，則對角線BD的長是（）A．1 B． C．2 D．3．如圖，四邊形ABCD中，對角線相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD需要滿足的條件是A． B． C． D．4．如圖，四邊形和四邊形都是正方形，邊在軸上，邊在軸上，點(diǎn)在邊上，反比例函數(shù)，在第二象限的圖像經(jīng)過點(diǎn),則正方形與正方形的面積之差為（）A．6 B．8 C．10 D．125．下列命題中，有幾個(gè)真命題()①同位角相等②直角三角形的兩個(gè)銳角互余③平行四邊形的對角線互相平分且相等④對頂角相等A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．下列分式中，是最簡分式的是()A． B． C． D．7．均勻的向一個(gè)容器內(nèi)注水，在注水過程中，水面高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則該容器是下列中的（）A． B． C． D．8．如圖，取一張長為、寬為的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的邊應(yīng)滿足的條件是（）A． B． C． D．9．若關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>510．已知關(guān)于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是（）A． B． C． D．任意實(shí)數(shù)11．在菱形中，，邊上的高為()A． B． C． D．12．如圖，在四邊形中，，對角線、相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接、，若，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A． B． C．為直角三角形 D．四邊形是平行四邊形二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，菱形ABCD的周長為20，對角線AC與BC相交于點(diǎn)O，AC=8，則BD=________.14．圖，矩形中，，，點(diǎn)是矩形的邊上的一動點(diǎn)，以為邊，在的右側(cè)構(gòu)造正方形，連接，則的最小值為_____．15．已知：關(guān)于的方程有一個(gè)根是2，則________，另一個(gè)根是________.16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，且點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），BC在x軸正半軸上，點(diǎn)C在B點(diǎn)右側(cè)，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象分別交邊AD，CD于E，F(xiàn)，連結(jié)BF，已知，BC=k，AE=CF，且S四邊形ABFD=20，則k=_________．17．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(1,3),B(2,1),直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)C,使得O,A,B,C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形,則C點(diǎn)的坐標(biāo)為______________________________.

18．已知函數(shù)，當(dāng)=_______時(shí)，直線過原點(diǎn)；為_______數(shù)時(shí)，函數(shù)隨的增大而增大.三、解答題（共78分）19．（8分）因式分解：（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）2（2）2x3﹣8x2+8x．20．（8分）（1）若k是正整數(shù)，關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，求k的值；（2）若關(guān)于x的分式方程總無解，求a的值．21．（8分）近日，我校八年級同學(xué)進(jìn)行了體育測試．為了解大家的身體素質(zhì)情況，一個(gè)課外活動小組隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)的測試成績，并將結(jié)果分為“優(yōu)”、“良”、“中”、“差”四個(gè)等級，分別記作、、、；根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖（未完善），請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：（1）本次調(diào)查的學(xué)生總數(shù)為人；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，所對應(yīng)扇形的圓心角度，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）在“優(yōu)”和“良”兩個(gè)等級的同學(xué)中各有兩人愿意接受進(jìn)一步訓(xùn)練，現(xiàn)打算從中隨機(jī)選出兩位進(jìn)行訓(xùn)練，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求出所選的兩位同學(xué)測試成績恰好都為“良”的概率．22．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于A（1，a）、B（b，1）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求△PAB的面積．23．（10分）如圖，在△ABC中AB＝AC．在△AEF中AE＝AF，且∠BAC＝∠EAF．求證：∠AEB＝∠AFC．24．（10分）如圖，證明定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．已知：點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)．求證：DE∥BC，DE＝BC．25．（12分）某貯水塔在工作期間，每小時(shí)的進(jìn)水量和出水量都是固定不變的．從凌晨4點(diǎn)到早8點(diǎn)只進(jìn)水不出水，8點(diǎn)到12點(diǎn)既進(jìn)水又出水，14點(diǎn)到次日凌晨只出水不進(jìn)水．下圖是某日水塔中貯水量y（立方米）與x（時(shí)）的函數(shù)圖象．（1）求每小時(shí)的進(jìn)水量；（2）當(dāng)8≤x≤12時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）從該日凌晨4點(diǎn)到次日凌晨，當(dāng)水塔中的貯水量不小于28立方米時(shí)，直接寫出x的取值范圍．26．我國國道通遼至霍林郭勒段在修建過程中經(jīng)過一座山峰，如圖所示，其中山腳兩地海拔高度約為米，山頂處的海拔高度約為米，由處望山腳處的俯角為由處望山腳處的俯角為，若在兩地間打通一隧道，求隧道最短為多少米？(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù))

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解析】A、把點(diǎn)的坐標(biāo)代入關(guān)系式，檢驗(yàn)是否成立；B、根據(jù)系數(shù)的性質(zhì)判斷，或畫出草圖判斷；C、根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)判斷；D、可根據(jù)函數(shù)圖象判斷，亦可解不等式求解．解：A、當(dāng)x=1時(shí)，y=1．所以圖象不過（1，-1），故錯(cuò)誤；

B、∵-2＜0，3＞0，∴圖象過一、二、四象限，故錯(cuò)誤；

C、∵-2＜0，∴y隨x的增大而減小，故錯(cuò)誤；

D、畫出草圖．

∵當(dāng)x＞時(shí)，圖象在x軸下方，∴y＜0，故正確．

故選D．“點(diǎn)睛”本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系．常采用數(shù)形結(jié)合的方法求解．2、C【解析】試題分析：∵菱形ABCD的邊長為1，∴AD=AB=1，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等邊三角形，∴AD=BD=AB=1，則對角線BD的長是1．故選C．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)．3、B【解析】

根據(jù)“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”來推斷由三角形中位線定理和平行四邊形的判定定理易推知四邊形EFGH是平行四邊形，若或者就可以判定四邊形EFGH是矩形．【詳解】當(dāng)時(shí)，四邊形EFGH是矩形，，，，，即，四邊形EFGH是矩形；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、矩形的判定以及三角形中位線的性質(zhì)此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4、B【解析】

設(shè)正方形AOBC的邊長為a,正方形CDEF的邊長為b，則E（a-b,a+b），根據(jù)E在反比例函數(shù)上得到(a+b)(a-b)=8,再求出S正方形AOBC=a2，S正方形CDEF=b2，即可求出面積之差.【詳解】設(shè)正方形AOBC的邊長為a,正方形CDEF的邊長為b，則E（a-b,a+b），∵E在反比例函數(shù)上∴(a+b)(a-b)=8,即a2-b2=8∴S正方形AOBC-S正方形CDEF=a2-b2=8故選B.【點(diǎn)睛】此題主要考查反比例函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到E點(diǎn)坐標(biāo).5、B【解析】

解：①只有在兩直線平行的前提下，同位角才相等，錯(cuò)誤;②直角三角形的兩個(gè)銳角互余,正確；③平行四邊形的對角線互相平分，不一定相等，錯(cuò)誤;④對頂角相等，正確故選B6、C【解析】

根據(jù)最簡分式的定義對四個(gè)分式分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、=，不是最簡分式；B、=，不是最簡分式；C、，是最簡分式；D、=，不是最簡分式；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡分式：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡分式．7、D【解析】

由函數(shù)圖象可得容器形狀不是均勻物體分析判斷，由圖象及容積可求解．【詳解】根據(jù)圖象折線可知是正比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系的大致圖象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因?yàn)镈幾何體下面的圓柱體的底圓面積比上面圓柱體的底圓面積小,所以在均勻注水的前提下是先快后慢;故選D.【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)用的時(shí)間長短來判斷相應(yīng)的函數(shù)圖象．8、B【解析】

由題圖可知：得對折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，然后根據(jù)相似多邊形的定義，列出比例式即可求出結(jié)論．【詳解】解：由題圖可知：得對折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，∵小長方形與原長方形相似，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的定義列比例式是解決此題的關(guān)鍵．9、B【解析】試題解析：∵關(guān)于x的一元二次方程方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故選B．10、A【解析】

利用一元二次方程的定義求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴m＋1≠0，即m≠?1，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．11、C【解析】

先求出對角線BD長，利用菱形的面積等于對角線乘積的一半和底乘以高求解BC邊上的高．【詳解】解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AO⊥BO，且AC=2AO，BD=2BO．

在Rt△AOB中利用勾股定理可得BO==1．

∴BD=2BO=2．

∴菱形的面積為BD×AC=×6×2=21．

設(shè)BC變上的高為h，則BC×h=21，即5h=21，h=1.2．

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形面積的兩種計(jì)算方法．12、C【解析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)分別分析得出即可．【詳解】解：∵DE＝BF，∴DF＝BE，在Rt△DCF和Rt△BAE中，，∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），∴CF＝AE，故A正確；∵AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，∴AE∥FC，∵CF＝AE，∴四邊形CFAE是平行四邊形，∴OE＝OF，故B正確；∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF＝∠ABE，∴CD∥AB，∵CD＝AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故D正確；無法證明為直角三角形，故C錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；得出Rt△DCF≌Rt△BAE是解題關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【解析】分析:根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=5，根據(jù)菱形的兩條對角線互相垂直且平分可得AC⊥BD，AO=AC=4，BO=DO，再利用勾股定理計(jì)算出BO長，進(jìn)而可得答案．詳解:∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=，AC=4，BO=DO，AD=AB=DC=BC，∵菱形ABCD的周長為20，∴AB=5，∴BO==3，∴DO=3，∴DB=1，故答案為：1．點(diǎn)睛:此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．14、【解析】

過作，利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定得出，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【詳解】解：過作，正方形，，，，，，且，，，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定得出．15、2，1.【解析】

設(shè)方程x2-3x+a=0的另外一個(gè)根為x，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可解答．【詳解】解：設(shè)方程的另外一個(gè)根為，則，，解得：，，故答案為：2，1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=-p，x1x2=q．16、【解析】

由題意可設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，4），則有AE=，根據(jù)AE=CF，可得CF=，再根據(jù)四邊形ABCD是菱形，BC=k，可得CD=6CF，再根據(jù)S菱形ABCD=S四邊形ABFD+S△BCF，S四邊形ABFD=20，從而可得S菱形ABCD=24，根據(jù)S菱形ABCD=BC?AO，即可求得k的值.【詳解】由題意可設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，4），則有AE=，∵AE=CF，∴CF=，∵四邊形ABCD是菱形，BC=k，∴CD=BC=k，∴CD=6CF，∴S菱形ABCD=12S△BCF，∵S菱形ABCD=S四邊形ABFD+S△BCF，S四邊形ABFD=20，∴S菱形ABCD=，∵S菱形ABCD=BC?AO，∴4k=，∴k=，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、菱形的面積，由已知推得S菱形ABCD=6S△BCF是解題的關(guān)鍵.17、(3,4)或(1,-2)或(-1,2)【解析】

由平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；注意三種情況．【詳解】如圖所示：∵以O(shè)、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），

∴三種情況：

①當(dāng)AB為對角線時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）；

②當(dāng)OB為對角線時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-2）；

③當(dāng)OA為對角線時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，2）；

故答案是：（3，4）或（1，-2）或（-1，2）．【點(diǎn)睛】考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等．解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18、m>0【解析】分析：（1）根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出m的值；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．詳解：直線過原點(diǎn)，則；即，解得：；函數(shù)隨的增大而增大，說明，即，解得：；故分別應(yīng)填：；m>0.點(diǎn)睛：本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟知一次函數(shù)的定義及增減性是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）（x﹣y）[a﹣b（x﹣y）]；（1）1x（x﹣1）1．【解析】

（1）提取公因式x-y,在醫(yī)院公因式法進(jìn)行計(jì)算即可（1）先提取公因式1x，再對余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解【詳解】（1）原式＝a(x-y)-b(y-x)=（x﹣y）[a﹣b（x﹣y）]；（1）原式＝1x(x-4x+4)=1x（x﹣1）1．【點(diǎn)睛】此題考查提取公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于提取公因式20、（1）；（2）的值-1，2.【解析】

（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為非負(fù)數(shù)求出k的范圍，即可確定出正整數(shù)k的值；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，分類討論a的值，使分式方程無解即可．【詳解】解：（1）由得：，化簡得：，因?yàn)閤是非負(fù)數(shù)，所以，即，又是正整數(shù)，所以；（2）去分母得：，即，若，顯然方程無解；若，，當(dāng)時(shí)，不存在；當(dāng)時(shí)，，綜合上述：的值為-1，2.【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，始終注意分式分母不為0這個(gè)條件．21、（1）50；（2）144°，圖見解析；（3）．【解析】

（1）根據(jù)“優(yōu)”的人數(shù)和所占的百分比即可求出總?cè)藬?shù)；

（2）用360°乘以“良”所占的百分比求出B所對應(yīng)扇形的圓心角；用總?cè)藬?shù)減去“優(yōu)”、“良”、“差”的人數(shù)，求出“中”的人數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；

（3）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所以等情況數(shù)和所選的兩位同學(xué)測試成績恰好都為“良”的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】（1）本次調(diào)查的學(xué)生總數(shù)為：15÷30%=50（人）；

故答案為：50；

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B所對應(yīng)扇形的圓心角是360°×=144°；

“中”等級的人數(shù)是：50-15-20-5=10（人），補(bǔ)圖如下：

故答案為：10；

（3）“優(yōu)秀”和“良”的分別用A1，A2，和B1，B2表示，則畫樹狀圖如下：

共有12種情況，所選的兩位同學(xué)測試成績恰好都為“良”的有2種，

則所選的兩位同學(xué)測試成績恰好都為“良”的概率是．【點(diǎn)睛】此題考查列表法或樹狀圖法求概率．解題關(guān)鍵在于掌握列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22、（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）S△PAB=.【解析】

(1)先確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；(2)先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后找到點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，令y=0，繼而可求得點(diǎn)P坐標(biāo)；(3)由三角形面積公式根據(jù)S△PAB=S△ABD-S△BDP列式計(jì)算即可.【詳解】(1)當(dāng)x=1時(shí)，y＝﹣x+4=3，即a=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)，將點(diǎn)A(1，3)代入y=中，3=，解得：k=3，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=；(2)y＝﹣x+4，當(dāng)y=1時(shí)，1=-x+4，x=3，即b=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，1)，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，如圖所示，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，1)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，-1)，設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，將點(diǎn)A(1，3)、D(3，-1)代入y=mx+n中，，解得：，∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+5，當(dāng)y=-2x+5=0時(shí)，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)；(3)S△PAB=S△ABD-S△BDP=×2×2-×2×=．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題，涉及了待定系數(shù)法，軸對稱的性質(zhì)——最值問題，三角形的面積等，弄清題意，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.23、證明見解析【解析】

根據(jù)全等三角形的判定得出△BAE與△CAF全等，進(jìn)而解答即可．【詳解】證明：∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE與△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS）∴∠AEB＝∠AFC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定得出△BAE與△CAF全等．24、見解析【解析】

延長DE至F，使EF=DE，連接CF，通過證明△ADE≌△CFE和證明四邊形BCFD是平行四邊形即可證明三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．【詳解】證明：延長DE至F，使EF＝DE，連接CF∵E是AC中點(diǎn)，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB