以“確定特殊三棱錐外接球球心及線面垂直的垂足”為例談直觀想象能力的培養(yǎng)

以“確定特殊三棱錐外接球球心及線面垂直的垂足”為例論直觀想象能力的培養(yǎng)文/廣東梅縣東山中學(xué)賴志生數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)與功能目標(biāo)，也就是育人價(jià)值,其功能目標(biāo)用史寧中教授的話來(lái)詮釋是最恰當(dāng)不過(guò)的，那就是“讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求，數(shù)學(xué)教學(xué)要將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)當(dāng)作課堂教學(xué)的重要目標(biāo)，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科能力，塑造學(xué)生的個(gè)人品質(zhì)，使學(xué)生適應(yīng)社會(huì)發(fā)展.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象以及數(shù)學(xué)分析六個(gè)方面.在教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)該結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有效設(shè)計(jì)教學(xué)方案，促進(jìn)學(xué)生能力的提升.在立體幾何的教學(xué)活動(dòng)中，尋找特殊三棱錐外接球的球心，進(jìn)而求半徑以及特殊三棱錐體高、線面角計(jì)算時(shí)尋找垂足的位置，學(xué)生都覺(jué)得相當(dāng)困難.恰恰這些都是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，既考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力，同時(shí)也考查了學(xué)生運(yùn)用化歸思想的能力，題目難度為中等或偏難.本文以這兩個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題為例，探討在解決問(wèn)題過(guò)程中如何培養(yǎng)學(xué)生的“直觀想象”這個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).尋找球心問(wèn)題以下是課堂教學(xué)過(guò)程中的例題設(shè)計(jì)：例1：若長(zhǎng)、寬、高分別為3、4、5的長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積為_(kāi)_____．（圖1）例2：直三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,=3，=4，=5,，則這個(gè)球的體積為．（圖2）例3：已知三棱錐,,且、,則該三棱錐外接球的表面積為．（圖3）例4：三棱錐,,且、、,則該三棱錐外接球的體積為．（圖4）例5：在四面體中，，其外接球的表面積為．（圖5）圖1圖2圖3圖4圖5在以上5個(gè)案例中，學(xué)生比較容易看出后四個(gè)幾何體都是以長(zhǎng)方體為模型，可把它們嵌入長(zhǎng)方體，通過(guò)補(bǔ)形法確定球心位置，求出半徑后再求出表面積或者體積.當(dāng)我們把棱長(zhǎng)改成相等時(shí)，學(xué)生馬上就會(huì)想到這些幾何體都是以正方體為模型，特別是經(jīng)?？疾榈恼拿骟w外接球內(nèi)切球問(wèn)題.許多學(xué)生在尋找球心位置的時(shí)候感到非常困難，主要原因就是直觀想象能力有待提高.這樣系列問(wèn)題設(shè)計(jì)的目的，就是為了把學(xué)生日常碰到的各種特殊三棱錐和長(zhǎng)方體相結(jié)合，培養(yǎng)他們的直觀想象能力.對(duì)于某些三棱錐外接球問(wèn)題，在確定球心位置時(shí)還可以用軸截面法，這種方法同樣能很好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.下面以上述例3為例：第一步：先確定底面外接圓圓心.因?yàn)槭侵苯侨切危势渫饨訄A圓心在的中點(diǎn)處，設(shè)為，半徑.第二步：過(guò)作小圓圓面的垂線，則球心必在該線上,且.第三步：作出軸截面,即矩形，球心在上，且只需,顯然球心就是的中點(diǎn)，再在中由勾股定理就可以算出球的半徑.例6：已知三棱錐,,且、,則該三棱錐外接球的表面積為．（例3改編）當(dāng)我們把改成時(shí)，顯然不適合補(bǔ)形法，故對(duì)這種題型我們?nèi)钥梢杂幂S截面法.第一步：先確定底面外接圓圓心.雖然不再是直角三角形，但是我們可以先用余弦定理算出，再用正弦定理求出外接圓半徑.第二步、第三步與上面同.通過(guò)以上幾個(gè)案例，想必許多學(xué)生對(duì)特殊三棱錐外接球問(wèn)題的處理有了基本的思路.當(dāng)然還有許多特殊幾何模型可以確定球心，同時(shí)也可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，直接求出球心坐標(biāo)進(jìn)而求出半徑.在建系的過(guò)程中同樣能很好地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，這里就不再贅述.尋找垂足問(wèn)題在作線面垂直時(shí)，如何確定垂足的位置同樣是學(xué)生的一大難點(diǎn).對(duì)于特殊三棱錐，筆者發(fā)現(xiàn)幾乎都滿足以下三個(gè)特征之一：（1）直接有線面垂直的；（2）沒(méi)有線面垂直但有面面垂直；（3）如果以上兩個(gè)特征都沒(méi)有，那么該幾何體（或者幾何體部分）具備對(duì)稱性.例7(2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷3文科)：如圖，四棱錐中，,，,，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求四面體的體積.顯然這道題具備特征(1)直接有線面垂直，這類問(wèn)題最簡(jiǎn)單，往往給出的條件是側(cè)棱垂直于底面.又為的中點(diǎn)，所以在需要作四面體的高時(shí)，過(guò)點(diǎn)作平行于的直線交于點(diǎn),那么必有,且點(diǎn)是的中點(diǎn)，.故充分利用線面垂直這個(gè)條件，要么直接用，要么借用.例8（2022全國(guó)卷1文科）：如圖，在四棱錐中,，且.(1）證明：平面平面；（2）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．這道題具備特征(2)有面面垂直，我們很容易得到平面底面,在利用四棱錐的體積時(shí)需要它的高，那么如何作高？取的中點(diǎn)，連接，易得平面底面,且平面平面,平面平面,故就是四棱錐的高，垂足就是的中點(diǎn)。顯然在作高的過(guò)程中，我們利用了面面垂直的性質(zhì)定理，把它轉(zhuǎn)化為線面垂直，從而得到了垂足的位置。這類問(wèn)題也相對(duì)容易，學(xué)生只要善于觀察還是可以得到垂足位置的。(例8被遺漏！)案例9（2022年高考數(shù)學(xué)浙江卷文科）：如圖，在三棱錐ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB在第二問(wèn)求線面角時(shí)，同樣需要作線面垂直，確定垂足的位置.這道題既沒(méi)有特征（1）也沒(méi)有特征（2），但是仔細(xì)觀察，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)該幾何體具備對(duì)稱性(特征（3）).我們作個(gè)截面(如圖),把這個(gè)幾何體對(duì)半分，必有截面平面，且截面平面.也就是說(shuō)這道題轉(zhuǎn)化為了具備特征（2）的題目，故我們只需過(guò)作于點(diǎn).由上，我們輕易