13數(shù)學(xué)分析期末復(fù)習(xí)題01

千里之行，始于足下。第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦13數(shù)學(xué)分析期末復(fù)習(xí)題0113數(shù)學(xué)分析(三)復(fù)習(xí)范圍

一、計(jì)算題(每小題10分，共70分)1.全微分計(jì)算題

2.求隱函數(shù)(組)的一階偏導(dǎo)數(shù)

3.求抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

4.求曲線的切線與法平面方程或求曲面的切平面與法線方程

5.求函數(shù)的極值

6.計(jì)算第一型曲面積分

7.計(jì)算第二型曲面積分

8.計(jì)算第二型曲線積分(格林公式)9.二重積分的計(jì)算

10.高斯公式與斯托克斯公式11.求多元函數(shù)的方向?qū)?shù)12.曲線積分與路徑無(wú)關(guān)咨詢題

13.將三次積分用柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)表示

14.應(yīng)用--求曲面面積(二重積分)或質(zhì)量咨詢題(第一型曲線積分)

15.利用余元公式B(p,1-p)=ππ

psin，計(jì)算?+∞+01nxdx類積分值

二、解答與證明題(第小題10分，共30分)

1.用定義證明多元函數(shù)的極限

2.證明多元函數(shù)的延續(xù)性

3.研究含參量積分的一致收斂性

4.證明含參量非正常積分的延續(xù)性

5.三重積分的證明題

6.有關(guān)多維空間的聚點(diǎn)或開(kāi)閉集咨詢題

7.證明二重極限別存在

8.多元函數(shù)的可微性證明

例題

一、計(jì)算題

1.全微分計(jì)算題

公式：du=ux??dx+uy??dy+u

z

??dz。

例1：求函數(shù)u=22

22

zxxy-+的全微分；

例2：已知函數(shù)z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-3x=0所確定的函數(shù)，求z(x,y)的全微分。2.求隱函數(shù)(組)的偏導(dǎo)數(shù)

例3：設(shè)z

yez

x+=，求yxz???2。

例4：設(shè)2x+y+3z=0，x+y+z=e-(x+y+z)，求dx

dy，dxdz

。3.求抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

例5：設(shè)u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求zxu???2，22u

y

??其中f具有二階延續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；

例6：設(shè)u=f(x2-y2，xy

e

)，求y

xu

???2，其中f具有二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

4.求曲線的切線與法平面方程或曲面的切平面與法線

例7：求曲線：x2+y2+z2=6，x+y+z=0在點(diǎn)(1,-2,1)處的法平面方程。

例8：求曲線??

???=-+-=-++045320

3222zyxxzyx在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程和法平面方程。

例9：求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。5.求函數(shù)的極值或條件極值

例10：求f(x,y)=e2x(x+2y+2y2)的極值。

例11：求拋物線y=x2和直線x-y-2=0之間的最短距離。

6.計(jì)算第一型曲面積分

例12：計(jì)算??++S

dSzxyzxy)(，其中S為錐面22yxz+=被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。

例13：計(jì)算：xyzdS∑

??，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。

7.計(jì)算第二型曲面積分

例14：求I=??-++S

dxdyyzxdydzxyz)()2(22，其中S是圓柱面x2+y2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外側(cè)。

例15：計(jì)算??∑

+-yzdxdydzdxyxzdydz24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所圍成的立方體的全表

面的外側(cè)。

8.計(jì)算第二型曲線積分(格林公式)

例16：計(jì)算曲線積分[][]

?

-'+-AmB

xx

dymeydxmye

y)()(??，其中?(y)和?/(y)為延續(xù)函數(shù)，AmB為連接點(diǎn)A(x1,y1)

和點(diǎn)B(x2,y2)的任何路徑，但與線段AB圍成的區(qū)域AmBA的面積為已知常數(shù)S。

例17：求曲線積分?C

xxdyyyedxye)sin()cos1(，其中C為00的一致收斂性。

例38：研究：1

cosx

dxx

α

+∞

?

在α∈[21,1]內(nèi)一致收斂性。4.證明含參量非正常積分的延續(xù)性例39：證明：F(α)=2

arctan1()xdx

xα+∞

++?在(-∞,+∞)內(nèi)延續(xù)。

例40：證明：F(x)=0

2x

ydy

y+∞

+?在(2,+∞)內(nèi)延續(xù)。5.三重積分的證明題

例41：設(shè)一元函數(shù)f(t)在(0,+∞)內(nèi)具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，令{}

2222

(,,)txyzxyztΩ=++≤，

F(t)=()222t

fxyzdxdydzΩ++???。

(1)證明F(t)在(0,+∞)內(nèi)具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)；(2)求出F/(t)的表達(dá)式。

例42：設(shè)函數(shù)f(u)具有延續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，試求???

Ω

→++dvzyxft

t)(1

lim

2224

π，其中Ω：x2+y2+z2≤t2。

6.有關(guān)多維空間的聚點(diǎn)或開(kāi)閉集咨詢題

例43：設(shè)f(x,y)是定義在R2上的延續(xù)函數(shù)，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)c，集合E={(x,y)|f(x,y)>c}是開(kāi)集，F(xiàn)={(x,y)|f(x,y)≥c}是閉集。

例44：證明：當(dāng)且僅當(dāng)存在各點(diǎn)互異的點(diǎn)列{Pn}?E，Pn≠P0，+∞

→nlimPn=P0時(shí)，P0是E的聚點(diǎn)。

7.證明二重極限別存在例45：證明：20

0)(lim

yxxyxy

yx-+→→別存在。

例46：討論極限2

420

0limyxy

xyx+→→的存在性。

8.多元函數(shù)的可微性證明

例47：設(shè)f(x,y)=?????=+≠++0

,00,2

2222

22yxyxyxy

x，證明f(x,y)在原點(diǎn)延續(xù)，存在偏導(dǎo)數(shù)但在原點(diǎn)別可微。

例48：設(shè)f(x,y)=?

??

??=≠+)

0,0(),(0)0,0(),(223

yxyxyxx。證明f(x,y)在(0,0)別可微。

9.曲線積分的證明題

例49：證明：若C為平面上的封閉曲線，則cos(,)C

C

nydsdx=-??，n

為C的外法線向量。

例50：求積分值I=?+L

dsynyxnx)],cos(),cos([，其中L為包圍有界區(qū)域D的閉曲線，n

為L(zhǎng)的外法線方向。

例題選說(shuō)

一、計(jì)算題

1.全微分計(jì)算題

例1：求函數(shù)u=22

22

zxxy-+的全微分；

解：du=()

()

222

2

22xzyx

y

+-

+dx()

()

222

2

22yzxx

y

--

+dy+

2

2

2z

xy+dz。例2：已知函數(shù)z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-3x=0所確定的函數(shù)，求z(x,y)的全微分。

解：dz=z

x??dx+zy??dy=322xz-dx-zydy。

2.求隱函數(shù)(組)的偏導(dǎo)數(shù)

例3：設(shè)z

yez

x+=，求yxz???2。

解：令F=zz

ye

+-x=0，則)1(+=??zxzxz，yxz???2=3

)1(+-zxz

。

例4：設(shè)2x+y+3z=0，x+y+z=e-(x+y+z)，求dx

dy，dxdz

。解：

dxdy=-21，dx

dz

=-21。3.求抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

例5：設(shè)u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求zxu???2，22u

y

??其中f具有二階延續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；

解：ux

??=a(f1/+f3/)，zxu???2=ac(f12//+f13//+f23//+f33//)。uy??=b(f1/+f2/)，22uy??=b2(f11//+2f12//+f22//

)。

例6：設(shè)u=f(x2-y2，xy

e

)，求y

xu

???2，其中f具有二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

解：x

u??=2xf1/+yxy

ef2/，yxu???2=2x(-2yf11//+xxyef12//)+(1+xy)xyef2/+yxye(-2yf21//+xxyef22//)

=-4xyf11//+2(x2-y2)xyef12//+xyxye2f22//+(1+xy)xyef2/。

4.求曲線的切線與法平面方程或曲面的切平面與法線方程

例7：求曲線：x2+y2+z2=6，x+y+z=0在點(diǎn)(1,-2,1)處的法平面方程。

解：令F(x,y,z)=x2+y2+z2-6=0，G(x,y,z)=x+y+z=0，則

61122)

,(),()

1,2,1()

1,2,1(-==

??--z

yzyGF，

01122)

,(),()1,2,1()

1,2,1(==

??--xzxzGF，

61122)

,()

,()

1,2,1()

1,2,1(==

??--y

xyxGF，

∴(z-1)-(x-1)=0，即x-z=0為所求。

例8：求曲線??

???=-+-=-++045320

3222zyxxzyx在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程和法平面方程。

解：

1

1

91161--=

-=-zyx，16x+9y-z-24=0。例9：求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。

解：設(shè)F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-21=0，則(Fx,Fy,Fz)=(2x,4y,6z)，取其法向量n

=(x,2y,3z)，由于切平面與平面

x+4y+6z=0平行，∴tzyx===63421，得??

???===t

ztyt

x22，將其代入曲面方程得：t2+8t2+12t2

=21，?t=±1，

∴曲面x2+2y2+3z2

=21在點(diǎn)(1,2,2)和點(diǎn)(-1,-2,-2)處的切平面分不為：

(x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0，(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0，即x+4y+6z-21=0，x+4y+6z+21=0。5.求函數(shù)的極值或條件極值

例10：求f(x,y)=e2x(x+2y+2y2)的極值。解：f(0,-21)=-2

1

為極小值。例11：求拋物線y=x2和直線x-y-2=0之間的最短距離。

解：作拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=21(x-y-2)2+λ(y-x2

)，解方程組?????=-=+=00)2(0222

xyyxxyxλλ得：???

????==4121yx，

∴d=

2

24

1

21--=

8

2

7。6.計(jì)算第一型曲面積分

例12：計(jì)算??++S

dSzxyzxy)(，其中S為錐面22yxz+=被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。

解：設(shè)S在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy，則Dxy為平面上由圓axyx222=+所圍成的區(qū)域。22

1yxzz++=2，

因此

??++S

dSzxyzxy)(=2

??

+++xy

Ddxdyyxyxxy])([2

2

θθθθθθπ

πda

)coscossincos

(sin245422

5

4

++=?-。

sinθcos5θ+sinθcos4θ為奇函數(shù)，而cos5θ為偶函數(shù)，

∴?-=+22

450)cossincos(sinπ

πθθθθθd,

?

?-=

-=22

20

225

15

16sin)sin1(2cosπππ

θθθθdd.于是??++S

dSzxyzxy)(=

4215

64

a。例13：計(jì)算：xyzdS∑

??，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。

解：∑的投影是D：0≤x≤1，0≤y≤1-x，原式(1)D

xyxydxdy--??7.計(jì)算第二型曲面積分

例14：求I=??-++S

dxdyyzxdydzxyz)()2(22，其中S是圓柱面x2+y2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外側(cè)。

解：曲面S別封閉，補(bǔ)上平面S1：y+z=1，和平面S2：z=0，使S+S1+S2成閉曲面，圍成的空間區(qū)域記為Ω。再用高斯公式。求得I=-

4

π

。

例15：計(jì)算??∑

+-yzdxdydzdxyxzdydz24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所圍成的立方體的全表

面的外側(cè)。

解：由高斯公式可得：原式=

2

3。8.計(jì)算第二型曲線積分(格林公式)

例16：計(jì)算曲線積分[][]

?

-'+-AmB

xx

dymeydxmye

y)()(??，其中?(y)和?/(y)為延續(xù)函數(shù)，AmB為連接點(diǎn)A(x1,y1)

和點(diǎn)B(x2,y2)的任何路徑，但與線段AB圍成的區(qū)域AmBA的面積為已知常數(shù)S。

解：原式=mS+2xe?(y2)-1xe?(y1)-m(y2-y1)-2

m

(x2-x1)(y2+y1)。例17：求曲線積分?C

xxdyyyedxye)sin()cos1(，其中C為00，

∴a=λ，b=-λ，c=0，代入橢球面方程得：4λ2

=1，?λ=

21，∴點(diǎn)(21,-21,0)為所求，且函數(shù)f在點(diǎn)(21,-2

1,0)沿著點(diǎn)A(1,1,1)到點(diǎn)B(2,0,1)方向的方向?qū)?shù)具有最大值|gradf(21,-2

1

,0)|=2。12.曲線積分與路徑無(wú)關(guān)咨詢題

例24：確定λ的值，使曲線積分I=?-++-l

dyyyxdxxyx)56()4(4214λλ與路徑無(wú)關(guān)，并計(jì)算自點(diǎn)A(1,2)到點(diǎn)B(0,0)

的I值。

解：由

1224)1(6--=??=-=??λλλλxyy

P

yxxQ，?6(λ-1)=4λ，λ-2=1，λ-1=2。解得：λ=3。即當(dāng)λ=3時(shí)，原曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。于是

I=??-++024014)5()32(dyydxxx=-51-16+5?51?32=16-5

1

=1554。例25：定常數(shù)a，使得任何別通過(guò)y=0的區(qū)域上曲線積分?

+-+C

aa

dyyxy

xdxyxyx)()(222222與路徑無(wú)關(guān)，并求?

+-+=)

,()

1,1(222222)()(),(yxaa

dyyxy

xdxyxyxyxu。解：欲使曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，必須……，解得a=-2

1

，于是?

+-

+=)

,()

1,1(2

22

2

2

2

),(yxdyy

xy

xdxy

xyxyxu=212

21

1

2

22

22

-+=

+-

+?

?y

yxdyy

xy

xdxx

xx

y

13.將三次積分用柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)表示例26：將三次積分I=?

?

?+++)

(30

2221

0222

2

)(yxyyy

ydzzyxfdxdy分不表示為柱坐標(biāo)及球坐標(biāo)的形式。

解：如圖所示，作柱坐標(biāo)變換???

??===zzryrxθθ

sincos，得I=???+r

dzzrfrdr

d30

22sin0

0)(θπθ；

作球坐標(biāo)變換??

?

??===?θ?θ

?cossinsincossinrzryrx，得I=?

???θππ

π??θ

sinsin0

226

)(sindrrrfdd。

例27：設(shè)Ω是由x2

+y2

=2z，z=1，z=2所圍成的介于z=1及z=2之間的閉區(qū)域，f是Ω上延續(xù)。利用柱面坐標(biāo)將

三重積分I=???Ω

dxdydzzyxf),,(化為三次積分。

解：I=??

???

?+?????2

1

2022

22

20

),sin,cos(),sin,cos(2dzzrrfrdrdzzrrfrdrdrθθθθθπ

14.應(yīng)用(求質(zhì)量，第一型曲線積分

)

例28：有一鐵絲成半圓形x=acost，y=asint，0≤t≤π，其上每一點(diǎn)密度等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求鐵絲的質(zhì)量。解：密度ρ(x,y)=y，∴M=20

20

222sinsinatdtadtyxtaydsttC

==+?=???π

π。

例29：?L

zds，其中L為圓錐螺線x=tcost，y=tsint，z=t，t∈[0,t0]；

解：?L

zds=?+++-0

2

21)cos(sin)sin(costdtttttttt=?

+0

2

2tdttt=3

1[23

2

0)2(+t-22]。

例30：求球面x2+y2+z2=a2為平面z=

4a，z=2

a

所夾部分的曲面面積S。解：z=222yxa--，曲面在xy平面投影為D：43a2≤x2+y2≤16

15a2

。S=?

???

??-=--=++aaD

D