【高中數(shù)學(xué)專題】第三講 分類與整合思想

數(shù)學(xué)思想方法精講3分類與整合思想一、分類與整合思想的含義分類與整合思想就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，需要把研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答．實(shí)質(zhì)上，分類與整合是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的解題策略．二、分類與整合的常見類型有關(guān)分類與整合的數(shù)學(xué)問題需要運(yùn)用分類與整合思想來解決，引起分類與整合的原因大致可歸納為如下幾種：1．由數(shù)學(xué)概念引起的分類與整合：有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等．2．由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類與整合：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等．3．由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類與整合：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等．4．由圖形的不確定性引起的分類與整合：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等．5．由參數(shù)的變化引起的分類與整合：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法．6．由實(shí)際意義引起的討論：此類問題常常出現(xiàn)在應(yīng)用題中．eq\x(命題方向1由概念、法則、公式引起的分類與整合)例1已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝－eq\f(3,2).[解析]當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為增函數(shù)，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝－1，,a0＋b＝0，))無解．當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為減函數(shù)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝0，,a0＋b＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－2，))所以a＋b＝－eq\f(3,2).『規(guī)律總結(jié)』“四步”解決由概念、法則、公式引起的分類與整合問題第一步：確定分類對(duì)象：一般把需要用到概念、法則、公式解決問題的對(duì)象作為分類目標(biāo)．第二步：確定分類標(biāo)準(zhǔn)：運(yùn)用概念、法則、公式對(duì)分類對(duì)象進(jìn)行區(qū)分．第三步：分類解決“分目標(biāo)”：對(duì)分類出來的“分目標(biāo)”分別進(jìn)行處理．第四步：匯總“分目標(biāo)”：將“分目標(biāo)”問題進(jìn)行匯總，并作進(jìn)一步處理．跟蹤訓(xùn)練1．若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在區(qū)間[－1,2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)eq\r(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝eq\f(1,4).[解析]若a>1，則a2＝4，a－1＝m，此時(shí)a＝2，m＝eq\f(1,2)，此時(shí)g(x)＝－eq\r(x)在[0，＋∞)上為減函數(shù)，不合題意．若0<a<1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝eq\f(1,4)，m＝eq\f(1,16)，此時(shí)g(x)＝eq\f(3,4)eq\r(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，符合題意．綜上可知，a＝eq\f(1,4).2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx2，－1<x<0，,ex－1，x≥0))若f(1)＋f(a)＝2，則a的所有可能值為1或－eq\f(\r(2),2).[解析]f(1)＝e0＝1，，即f(1)＝1，由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1，當(dāng)－1<a<0時(shí)，f(a)＝sin(πa2)＝1，所以πa2＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．所以a2＝2k＋eq\f(1,2)(k∈Z)，k只能取0，此時(shí)a2＝eq\f(1,2).因?yàn)椋?<a<0，所以a＝－eq\f(\r(2),2).故a＝1或－eq\f(\r(2),2).eq\x(命題方向2由圖形位置或形狀引起的分類與整合)例2(1)在約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,y＋x≤s，,y＋2x≤4))下，當(dāng)3≤s≤5時(shí)，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是(D)A．[6,15] B．[7,15]C．[6,8] D．[7,8][解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝s，,y＋2x＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－s，,y＝2s－4，))取點(diǎn)A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．①當(dāng)3≤s<4時(shí)，可行域是四邊形OABC，如圖1所示．此時(shí)，7≤z<8.②當(dāng)4≤s≤5時(shí)，此時(shí)可行域是△OAC′，如圖2所示，zmax＝8.綜上，z＝3x＋2y最大值的變化范圍是[7,8]．(2)設(shè)圓錐曲線T的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線T上存在點(diǎn)P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線T的離心率為eq\f(1,2)或eq\f(3,2).[解析]不妨設(shè)|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若該圓錐曲線為橢圓，則有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(3t,6t)＝eq\f(1,2)；若該圓錐曲線是雙曲線，則有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3t,2t)＝eq\f(3,2).所以圓錐曲線T的離心率為eq\f(1,2)或eq\f(3,2).『規(guī)律總結(jié)』圖形位置或形狀的變化中常見的分類圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時(shí)，常按焦點(diǎn)的位置不同來分類討論；相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問題時(shí)，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論．跟蹤訓(xùn)練(2017·鄭州三模)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)．已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，則eq\f(|PF1|,|PF2|)的值為eq\f(7,2)或2.[解析]若∠PF2F1＝90°.則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq\r(5)，解得|PF1|＝eq\f(14,3)，|PF2|＝eq\f(4,3)，所以eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(7,2).若∠F1PF2＝90°，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20.所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2.綜上知，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(7,2)或2.eq\x(命題方向3由變量或參數(shù)引起的分類與整合)例3設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的單調(diào)區(qū)間．[思路探究]看到求f(x)＝x3－ax－b的單調(diào)區(qū)間，想到對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類整合，分為a≤0和a>0兩種情況．[解析]由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.下面分兩種情況討論：①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＝3x2－a≥0恒成立．所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝0，解得x＝eq\f(\r(3a),3)或x＝－eq\f(\r(3a),3).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化如表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3a),3)))－eq\f(\r(3a),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))eq\f(\r(3a),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3a),3)，＋∞))f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))，單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3a),3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3a),3)，＋∞)).『規(guī)律總結(jié)』幾種常見的由參數(shù)變化引起的分類與整合(1)含有參數(shù)的不等式的求解．(2)含有參數(shù)的方程的求解．(3)對(duì)于解析式系數(shù)是參數(shù)的函數(shù)，求最值與單調(diào)性問題．(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等．(5)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的分類．例4已知函數(shù)g(x)＝eq\f(ax,x＋1)(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x)．(1)若函數(shù)g(x)過點(diǎn)(1,1)，求函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線方程；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．[解析](1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)過點(diǎn)(1,1)，所以1＝eq\f(a,1＋1)，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(2x,x＋1).所以f′(x)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2,x＋12)＝eq\f(x＋3,x＋12).所以f′(0)＝3.所以所求的切線的斜率為3.又f(0)＝0，所以切點(diǎn)為(0,0)．故所求的切線方程為y＝3x.(2)因?yàn)閒(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(ax,x＋1)(x>－1)，所以f′(x)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(ax＋1－ax,x＋12)＝eq\f(x＋1＋a,x＋12).①當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)閤>－1，所以f′(x)>0.②當(dāng)a<0時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′x<0，,x>－1，))得－1<x<－1－a；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′x>0，,x>－1，))得x>－1－a.綜上可知，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－1，－1－a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(－1－a，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．『規(guī)律總結(jié)』1．幾種常見的由參數(shù)變化引起的分類討論(1)含有參數(shù)的不等式的求解．(2)含有參數(shù)的方程的求解．(3)對(duì)于解析式系數(shù)是參數(shù)的函數(shù)，求最值與單調(diào)性問題．(4)二元一次方程表示曲線類型的判定等．2．利用分類討論思想的注意點(diǎn)(1)分類討論要標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，層次分明，分類要做到“不重不漏”．(2)分類討論時(shí)要根據(jù)題設(shè)條件確定討論的級(jí)別，再確定每級(jí)討論的對(duì)象與標(biāo)準(zhǔn)，每級(jí)討論中所分類別應(yīng)做到與前面所述不重不漏．(3)討論結(jié)果歸類合并，最后整合時(shí)要注意是取交集、并集，還是既不取交集也不取并集只是分條列出．跟蹤訓(xùn)練當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))時(shí)，ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，eq\f(3,2)].[解析]由約束條件作可行域如圖，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋2y－4＝0，))解得C(1，eq\f(3,2))．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x