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文檔簡(jiǎn)介
復(fù)習(xí)極大似然估計(jì)的求法估計(jì)量的幾個(gè)評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間估計(jì)——選擇參數(shù)的估計(jì)量,使實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有最大概率無(wú)偏性有效性一致性
^——E()=
——方差更小的無(wú)偏估計(jì)量.?
樣本原點(diǎn)矩是總體原點(diǎn)矩的無(wú)偏估計(jì)量;
?
樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量;?無(wú)偏估計(jì)量的函數(shù)未必是無(wú)偏估計(jì)量─
?在的所有線性無(wú)偏估計(jì)量中,樣本均值
X
是最有效的.
——置信區(qū)間假設(shè)我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本得到魚數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000條.假設(shè)我們能給出一個(gè)區(qū)間,在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中,這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.但實(shí)際上,N的真值可能大于1000條,也可能小于1000條.§4單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間也就是說(shuō),我們希望確定一個(gè)盡可能小的區(qū)間,使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說(shuō)的“可靠程度〞是用概率來(lái)度量的,稱為置信概率,置信度或置信水平.習(xí)慣上把置信水平記作1-,這里是一個(gè)很小的正數(shù).譬如,在估計(jì)湖中魚數(shù)的問(wèn)題中,?根據(jù)置信水平1-,可以找到一個(gè)正數(shù),例如,通??扇≈眯潘?0.95或0.9等等.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本,由給定的置信水平1-,我們求出一個(gè)的區(qū)間,使置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.如何尋找這種區(qū)間?使得
^我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量,
^只要知道的概率分布就可以確定.下面我們就來(lái)正式給出置信區(qū)間的定義,并通過(guò)例子說(shuō)明求置信區(qū)間的方法.由不等式可以解出:這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間
代入樣本值所得的普通區(qū)間稱為置信區(qū)間的實(shí)現(xiàn).作區(qū)間估計(jì),就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)即要求區(qū)間置信的長(zhǎng)度盡可能短,或能表達(dá)該要求的其它準(zhǔn)那么.X1,X2,…,Xn是取自總體
X
的樣本,對(duì)給定值
0
<
<
1,滿足定義4
設(shè)
是總體X的待估參數(shù),分別稱為置信下限和置信上限.一、置信區(qū)間的概念那么稱隨機(jī)區(qū)間為
的置信水平為
1-
的雙側(cè)置信區(qū)間
.假設(shè)統(tǒng)計(jì)量和
估計(jì)的精度要盡可能的高.要求以很大的可能被包含在置信區(qū)間內(nèi),
─P(
<<)=1-要盡可能大.
─即要求估計(jì)盡量可靠.
置信水平為0.95
是指100組樣本值所得置信區(qū)間的實(shí)現(xiàn)中,就是說(shuō),概率置信度置信概率是隨機(jī)區(qū)間,而不是說(shuō)一個(gè)實(shí)現(xiàn)以0.95的概率覆蓋了.約有95個(gè)能覆蓋,
置信水平的概率意義;并非一個(gè)實(shí)現(xiàn)以1-的概率覆蓋了.即要求置信區(qū)間的長(zhǎng)度盡可能短.
估計(jì)的精度要盡可能的高.估計(jì)要盡量可靠,
─即P(
<<
)=
1-要盡可能大.
─可靠度與精度是一對(duì)矛盾,一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.將樣本值代入所得的普通區(qū)間稱為置信區(qū)間的實(shí)現(xiàn).
^只要知道的概率分布就可以確定
.如何根據(jù)實(shí)際樣本,由給定的置信水平1-,求出一個(gè)區(qū)間,使根據(jù)置信水平1-,可以找到一個(gè)正數(shù),二、置信區(qū)間的求法(一)
單個(gè)正態(tài)總體1.均值
(1)方差21.均值
1-
2
(1)方差12,22(二)兩個(gè)正態(tài)總體2.方差2(2)
未知方差2使得
^我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量,由不等式可以解出:這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間分布的分位數(shù)①②③(1)均值(2)
未知均值
(2)
未知方差12,222.方差
12/22(1)均值1,2(2)
未知均值
1,2
,但相等!對(duì)于給定的置信水平,根據(jù)估計(jì)量U的分布,確定一個(gè)區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.
─X,S
2分別是其樣本均值和樣本方差,
─
X
~
N(,
2/n),求參數(shù)
、2的置信水平為1-的置信區(qū)間.設(shè)X1,
…,Xn
是總體
X
~
N(
,
2)的樣本,①確定未知參數(shù)的估計(jì)量及其函數(shù)的分布
是
的無(wú)偏估計(jì)量,
②由分布求分位數(shù)
即得置信區(qū)間(一)
單個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法(1)方差2時(shí)
─故可用X作為EX的一個(gè)估計(jì)量,
~
N(0,
1),對(duì)給定的置信度1-
,按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)
分位數(shù)的定義查正態(tài)分布表可得u
/
2,③由u
/
2確定置信區(qū)間有了分布就可求出U取值于任意區(qū)間的概率P66簡(jiǎn)記為由抽樣分布定理知1.均值的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平1-是多少?^1.尋找未知參數(shù)
的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)量
(X1,X2,…,Xn);
^確定待估參數(shù)估計(jì)量函數(shù)
U(
)
的分布;求置信區(qū)間首先要明確問(wèn)題:2.對(duì)于給定的置信水平1-,由概率
─(
,
)就是的
100(1-
)%的置信區(qū)間.
─
一般步驟如下:
─3.由分位數(shù)|U|
x確定置信區(qū)間
(
,
).
─
查表求出分布的分位數(shù)x
,
總體分布的形式是否,是怎樣的類型,至關(guān)重要.某鄉(xiāng)農(nóng)民在聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制前人均純收入
X(單位:元),求
的置信水平為
0.95
的置信區(qū)間.推行聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制后,在該鄉(xiāng)抽得n
=16的樣本,且X
~
N(300
,
252).解由于
=0.05
,查正態(tài)分布表得例1─得x=325元,假設(shè)
2=
25
2
沒有變化,
即得置信區(qū)間(
312.
75,337.
25
).同一置信水平下的置信區(qū)間不唯一,如在上例中取=
0.
01
+0.
04
,由正態(tài)分布上側(cè)分位數(shù)定義知查表知u0.025=
1.
96,當(dāng)然區(qū)間長(zhǎng)度越短的估計(jì),精度就越高.其長(zhǎng)度也不相等.區(qū)間長(zhǎng)度為24.
25長(zhǎng)度為25.
5誰(shuí)是精度最高的?由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形是單峰且對(duì)稱的,在保持面積不變的條件下,以對(duì)稱區(qū)間的長(zhǎng)度為最短!!但的長(zhǎng)度是最短的,l與n,的關(guān)系:可知,置信區(qū)間的長(zhǎng)度l為:由置信區(qū)間公式l隨著的減小而增大;
20假設(shè)給定,l隨著n的增大而減小;同一置信水平下的置信區(qū)間不唯一.其長(zhǎng)度也不相等.故我們總?cè)∷鳛橹眯潘綖?-的置信區(qū)間.假設(shè)給定n,且由于l與成反比,減小的速度并不快,例如,n由100增至400時(shí),l才能減小一半.那么u/2越大,l就越大,這時(shí)就越小.10(u
/
2)就越大,一般地,在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形下,a=-b對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短.故不能采用方差的均值估計(jì)方法由于與
有關(guān),但其解決的思路一致.由于
S
2是
2
的無(wú)偏估計(jì)量,查t分布表確定上側(cè)
/2
分位數(shù)令
T
=(2)未知方差——用分布的分位數(shù)求的置信區(qū)間.故可用
S
替代
的估計(jì)量:S~
t(n-1),即為
的置信度為
1-的區(qū)間估計(jì).2時(shí)由抽樣分布定理知——實(shí)用價(jià)值更大!!t
/
2(n
-1),測(cè)定總體服從正態(tài)分布,求總體均值
的置信水平為
0.95
的置信區(qū)間.解由于
/2
=0.
025
,查
t
分布表得例2
為確定某種溶液中甲醛濃度,
─且其
4
個(gè)獨(dú)立測(cè)量值的平均值x
=
8.
34%,樣本標(biāo)準(zhǔn)差
s=
0.
03%,即得置信區(qū)間自由度n-1=
3,t
0.025
=
3.
182,
─將x
=
8.
34
%代入得
(2)
未知時(shí)所以
2的置信水平為1-的區(qū)間估計(jì)為因?yàn)?的無(wú)偏估計(jì)為S
2,
2.方差
2的置信區(qū)間的求法由抽樣分布定理知
2=由確定
2分布的上側(cè)
/2
分位數(shù)找一個(gè)含與S,但不含,且分布的統(tǒng)計(jì)量為了計(jì)算簡(jiǎn)單,在概率密度不對(duì)稱的情形下,如
2分布,F分布,習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來(lái)計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.并不是最短的置信區(qū)間/2/2測(cè)定總體服從正態(tài)分布,求總體均值
的置信水平為
0.95
的置信區(qū)間.解由于
/2
=0.
025
,查
2分布表得例3
為確定某種溶液中甲醛濃度,
─且其
4
個(gè)獨(dú)立測(cè)量值的平均值x
=
8.
34%,樣本標(biāo)準(zhǔn)差
s=
0.
03%,故
2的置信區(qū)間為自由度n-1=
3,得將s
2=
0.
0009代入求總體方差2和標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為
0.95
的置信區(qū)間.故
的置信區(qū)間為設(shè)X1,
…,Xm分別是總體X~
N(
1
,12)的樣本,Y1,
…,Yn分別是總體Y~
N(
2
,22)的樣本,──X,Y分別是總體
X
和
Y
的樣本均值,求參數(shù)
1-
2
和
12/22的置信水平為
1-的置信區(qū)間.
──由于X,Y分別是1,
2
的無(wú)偏估計(jì)量,
即得置信區(qū)間(二)
兩個(gè)正態(tài)總體(1)方差12,22時(shí)
─
─故可用X
-Y作為1-
2
的一個(gè)估計(jì)量,
~
N(0,
1),對(duì)給定的置信度1-
,查正態(tài)分布表可得u
/
2,由抽樣分布定理知1.均值1-
2
的置信區(qū)間SX2,SY2分別是總體
X
和
Y
的樣本方差,置信區(qū)間的求法設(shè)X1,
…,Xm分別是總體X~
N(
1
,12)的樣本,Y1,
…,Yn分別是總體Y~
N(
2
,22)的樣本,──X,Y分別是總體
X
和
Y
的樣本均值,求參數(shù)
1-
2
和
12/22的置信水平為
1-的置信區(qū)間.
即得置信區(qū)間(二)
兩個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法(2)未知方差12,22,但12=22=
2時(shí)
─
─仍用X
-
Y作為1-
2
的一個(gè)估計(jì)量,~
t(n+m-2),對(duì)給定的置信度1-
,查t分布表可得由抽樣分布定理知1.均值差1-
2
的置信區(qū)間SX2,SY2分別是總體
X
和
Y
的樣本方差,t
/
2(n+m-2),
且它們的方差相同(這兩種儀器的測(cè)量精度相同).例4
用甲、乙兩種儀器測(cè)量?jī)蓽y(cè)地站A,B之間的直線距離(單位:
米).用儀器甲獨(dú)立地測(cè)量
m
=10次,得測(cè)量值的平均值試求這兩種儀器的平均測(cè)量之差的置信水平為
0.99
的置信區(qū)間.解設(shè)X~
N(
1
,12),Y~
N(
2
,22),查
t
分布表得─y
=
45479.
398,假定這兩種儀器的測(cè)量值都服從正態(tài)分布,所以1-2
的置信區(qū)間(-0.009,0.075).
/2
=0.
005,m
+
n-2=23,
t
0.005(23)=
2.
8073,將條件代入分別得
─
x=
45479.
431,用儀器乙獨(dú)立地測(cè)量
n=15次,得測(cè)量值的平均值設(shè)同上,求參數(shù)
12/22的置信水平為
1-的置信區(qū)間.
即得12/22的置信區(qū)間(二)
兩個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法(2)未知1
,2
時(shí)~
F(m-1,n-1),對(duì)給定的置信度
1-
,查
F
分布表可得上側(cè)分位數(shù)由抽樣分布定理知2.方差比12/22的置信區(qū)間F
/
2(m-1,n-1),
F1-
/
2(m-1,n-1),求兩總體方差比12/22的置信水平為
0.90
的置信區(qū)間.稱重后所的樣本方差分別為sx2=
0.0125,sy2=
0.01,假定所裝番茄醬的重量
X
與
Y分別服從正態(tài)分布N(
1
,12)和
N(
2
,22),解由于
/2
=0.
05
,查
F
分布表得例5
某廠用兩條流水線生產(chǎn)番茄醬小包裝,現(xiàn)從兩條流水線上各隨機(jī)抽取樣本容量分別為
m=6
,n=7
的樣本,將條件代入得12/22
的置信區(qū)間為(
0.
2847
,
6.
1875
).自由度m-1=5,n-1=
6,主要根據(jù)抽樣分布Th(二)兩個(gè)總體
^②由
的概率分布和置信水平
1-,確定其相應(yīng)的分位數(shù)x
/2;小結(jié)——正態(tài)總體置信區(qū)間的求法(一)單個(gè)總體均值
方差2均值差
1-
2
方差12,22方差2未知方差2解得所求的置信區(qū)間
^①根據(jù)未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量,確定其某個(gè)估計(jì)量
;③由不等式
均值未知均值
未知方差12,22方差比12/22均值1,2未知均值
1,2
但相等!X1,…,Xn是取自
X
的樣本,─那么稱隨機(jī)區(qū)間(-,)為的置信水平為1-的單側(cè)置信區(qū)間,但有些實(shí)際問(wèn)題,人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.這時(shí),可將置信上限取為+∞,而只著眼于置信下限,上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的,例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō),平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒什么問(wèn)題,過(guò)短就有問(wèn)題了.三、單側(cè)置信區(qū)間定義
滿足這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.對(duì)給定值
0
<
<
1,滿足設(shè)
是總體X的待估參數(shù),稱
為單側(cè)置信下限;
─那么稱隨機(jī)區(qū)間(,+)為的置信水平為1-的單側(cè)置信區(qū)間,─
─
稱
為單側(cè)置信上限.假設(shè)統(tǒng)計(jì)量假設(shè)統(tǒng)計(jì)量求單側(cè)置信區(qū)間的思路完全同于雙側(cè)的情形記錄其磨壞時(shí)所行駛路程(單位:公里),問(wèn)該種輪胎平均行駛路程至少是多少(
=0.
05
)?解由于2未知,
查
t
分布表可得滿足條件的上側(cè)分位數(shù)例6
從一批汽車輪胎中隨機(jī)地取16只作磨損試驗(yàn),
─算得樣本均值x
=
41116
,即得置信度為
0.
95的單側(cè)置信下限
t
0.05
(15)=
1.
7531,
─將x
=
41116,s=
6346代入得
設(shè)此樣本來(lái)自正態(tài)總體
N(
,
2),
,均未知,~
t(n-1),由抽樣分布定理知隨機(jī)變量樣本標(biāo)準(zhǔn)差
s=
6346
.=38334,故該種輪胎平均行駛路程不少于38334公里,其置信概率為0.
95.
P241例22,請(qǐng)自讀.P243附表——隨機(jī)變量一、自由度為n的2分布Y
~
2(n)
所服從的分布(諸
X
i
獨(dú)立且都服從N(0,1)
)20+30假設(shè)Y~2(n),那么EY=n,DY=2n;
設(shè)X1,…,Xn相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布N(,2),那么當(dāng)n充分大時(shí),近似服從
N(0,1).40
2分布的上側(cè)
分位數(shù)n
45時(shí),n
>
45時(shí),10可加性——設(shè)Y1
~
2(m),Y2
~
2(n),且
Y1
,
Y2
獨(dú)立,即
n
充分大時(shí),t
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