數(shù)理統(tǒng)計學(xué)完整課件-4

復(fù)習(xí)極大似然估計的求法估計量的幾個評選標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間估計——選擇參數(shù)的估計量,使實驗結(jié)果具有最大概率無偏性有效性一致性

^——E()=

——方差更小的無偏估計量.?

樣本原點(diǎn)矩是總體原點(diǎn)矩的無偏估計量;

?

樣本方差是總體方差的無偏估計量;?無偏估計量的函數(shù)未必是無偏估計量─

?在的所有線性無偏估計量中,樣本均值

X

是最有效的.

——置信區(qū)間假設(shè)我們根據(jù)一個實際樣本得到魚數(shù)N的極大似然估計為1000條.假設(shè)我們能給出一個區(qū)間,在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中,這樣對魚數(shù)的估計就有把握多了.但實際上,N的真值可能大于1000條,也可能小于1000條.§4單個正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間也就是說,我們希望確定一個盡可能小的區(qū)間,使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說的“可靠程度〞是用概率來度量的,稱為置信概率，置信度或置信水平.習(xí)慣上把置信水平記作1-,這里是一個很小的正數(shù).譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中,?根據(jù)置信水平1-,可以找到一個正數(shù),例如,通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等等.根據(jù)一個實際樣本,由給定的置信水平1-,我們求出一個的區(qū)間,使置信水平的大小是根據(jù)實際需要選定的.如何尋找這種區(qū)間？使得

^我們選取未知參數(shù)的某個估計量,

^只要知道的概率分布就可以確定.下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義,并通過例子說明求置信區(qū)間的方法.由不等式可以解出：這個不等式就是我們所求的置信區(qū)間

代入樣本值所得的普通區(qū)間稱為置信區(qū)間的實現(xiàn).作區(qū)間估計,就是要設(shè)法找出兩個只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計量)即要求區(qū)間置信的長度盡可能短,或能表達(dá)該要求的其它準(zhǔn)那么.X1,X2,…,Xn是取自總體

X

的樣本,對給定值

0

<

<

1,滿足定義4

設(shè)

是總體X的待估參數(shù),分別稱為置信下限和置信上限.一、置信區(qū)間的概念那么稱隨機(jī)區(qū)間為

的置信水平為

1-

的雙側(cè)置信區(qū)間

.假設(shè)統(tǒng)計量和

估計的精度要盡可能的高.要求以很大的可能被包含在置信區(qū)間內(nèi),

─P(

<<)=1-要盡可能大.

─即要求估計盡量可靠.

置信水平為0.95

是指100組樣本值所得置信區(qū)間的實現(xiàn)中,就是說,概率置信度置信概率是隨機(jī)區(qū)間,而不是說一個實現(xiàn)以0.95的概率覆蓋了.約有95個能覆蓋,

置信水平的概率意義;并非一個實現(xiàn)以1-的概率覆蓋了.即要求置信區(qū)間的長度盡可能短.

估計的精度要盡可能的高.估計要盡量可靠,

─即P(

<<

)=

1-要盡可能大.

─可靠度與精度是一對矛盾,一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.將樣本值代入所得的普通區(qū)間稱為置信區(qū)間的實現(xiàn).

^只要知道的概率分布就可以確定

.如何根據(jù)實際樣本,由給定的置信水平1-,求出一個區(qū)間,使根據(jù)置信水平1-,可以找到一個正數(shù),二、置信區(qū)間的求法(一)

單個正態(tài)總體1.均值

(1)方差21.均值

1-

2

(1)方差12,22(二)兩個正態(tài)總體2.方差2(2)

未知方差2使得

^我們選取未知參數(shù)的某個估計量,由不等式可以解出：這個不等式就是我們所求的置信區(qū)間分布的分位數(shù)①②③(1)均值(2)

未知均值

(2)

未知方差12,222.方差

12/22(1)均值1,2(2)

未知均值

1,2

,但相等!對于給定的置信水平,根據(jù)估計量U的分布,確定一個區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.

─X,S

2分別是其樣本均值和樣本方差,

─

X

~

N(,

2/n),求參數(shù)

、2的置信水平為1-的置信區(qū)間.設(shè)X1,

…,Xn

是總體

X

~

N(

,

2)的樣本,①確定未知參數(shù)的估計量及其函數(shù)的分布

是

的無偏估計量,

②由分布求分位數(shù)

即得置信區(qū)間(一)

單個正態(tài)總體置信區(qū)間的求法(1)方差2時

─故可用X作為EX的一個估計量,

~

N(0,

1),對給定的置信度1-

,按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)

分位數(shù)的定義查正態(tài)分布表可得u

/

2,③由u

/

2確定置信區(qū)間有了分布就可求出U取值于任意區(qū)間的概率P66簡記為由抽樣分布定理知1.均值的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平1-是多少?^1.尋找未知參數(shù)

的一個良好的點(diǎn)估計量

(X1,X2,…,Xn);

^確定待估參數(shù)估計量函數(shù)

U(

)

的分布;求置信區(qū)間首先要明確問題：2.對于給定的置信水平1-,由概率

─(

,

)就是的

100(1-

)％的置信區(qū)間.

─

一般步驟如下:

─3.由分位數(shù)|U|

x確定置信區(qū)間

(

,

).

─

查表求出分布的分位數(shù)x

,

總體分布的形式是否,是怎樣的類型,至關(guān)重要.某鄉(xiāng)農(nóng)民在聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制前人均純收入

X(單位:元),求

的置信水平為

0.95

的置信區(qū)間.推行聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制后,在該鄉(xiāng)抽得n

=16的樣本,且X

~

N(300

,

252).解由于

=0.05

,查正態(tài)分布表得例1─得x=325元,假設(shè)

2=

25

2

沒有變化,

即得置信區(qū)間(

312.

75,337.

25

).同一置信水平下的置信區(qū)間不唯一,如在上例中取=

0.

01

+0.

04

,由正態(tài)分布上側(cè)分位數(shù)定義知查表知u0.025=

1.

96,當(dāng)然區(qū)間長度越短的估計,精度就越高.其長度也不相等.區(qū)間長度為24.

25長度為25.

5誰是精度最高的？由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形是單峰且對稱的,在保持面積不變的條件下,以對稱區(qū)間的長度為最短!!但的長度是最短的,l與n,的關(guān)系：可知,置信區(qū)間的長度l為:由置信區(qū)間公式l隨著的減小而增大;

20假設(shè)給定,l隨著n的增大而減小;同一置信水平下的置信區(qū)間不唯一.其長度也不相等.故我們總?cè)∷鳛橹眯潘綖?-的置信區(qū)間.假設(shè)給定n,且由于l與成反比,減小的速度并不快,例如,n由100增至400時,l才能減小一半.那么u/2越大,l就越大,這時就越小.10(u

/

2)就越大,一般地,在概率密度為單峰且對稱的情形下,a=-b對應(yīng)的置信區(qū)間的長度為最短.故不能采用方差的均值估計方法由于與

有關(guān),但其解決的思路一致.由于

S

2是

2

的無偏估計量,查t分布表確定上側(cè)

/2

分位數(shù)令

T

=(2)未知方差——用分布的分位數(shù)求的置信區(qū)間.故可用

S

替代

的估計量:S~

t(n-1),即為

的置信度為

1-的區(qū)間估計.2時由抽樣分布定理知——實用價值更大!!t

/

2(n

-1),測定總體服從正態(tài)分布,求總體均值

的置信水平為

0.95

的置信區(qū)間.解由于

/2

=0.

025

,查

t

分布表得例2

為確定某種溶液中甲醛濃度,

─且其

4

個獨(dú)立測量值的平均值x

=

8.

34%,樣本標(biāo)準(zhǔn)差

s=

0.

03%,即得置信區(qū)間自由度n-1=

3,t

0.025

=

3.

182,

─將x

=

8.

34

%代入得

(2)

未知時所以

2的置信水平為1-的區(qū)間估計為因為2的無偏估計為S

2,

2.方差

2的置信區(qū)間的求法由抽樣分布定理知

2=由確定

2分布的上側(cè)

/2

分位數(shù)找一個含與S,但不含,且分布的統(tǒng)計量為了計算簡單,在概率密度不對稱的情形下,如

2分布,F分布,習(xí)慣上仍取對稱的分位點(diǎn)來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間.并不是最短的置信區(qū)間/2/2測定總體服從正態(tài)分布,求總體均值

的置信水平為

0.95

的置信區(qū)間.解由于

/2

=0.

025

,查

2分布表得例3

為確定某種溶液中甲醛濃度,

─且其

4

個獨(dú)立測量值的平均值x

=

8.

34%,樣本標(biāo)準(zhǔn)差

s=

0.

03%,故

2的置信區(qū)間為自由度n-1=

3,得將s

2=

0.

0009代入求總體方差2和標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為

0.95

的置信區(qū)間.故

的置信區(qū)間為設(shè)X1,

…,Xm分別是總體X~

N(

1

,12)的樣本,Y1,

…,Yn分別是總體Y~

N(

2

,22)的樣本,──X,Y分別是總體

X

和

Y

的樣本均值,求參數(shù)

1-

2

和

12/22的置信水平為

1-的置信區(qū)間.

──由于X,Y分別是1,

2

的無偏估計量,

即得置信區(qū)間(二)

兩個正態(tài)總體(1)方差12,22時

─

─故可用X

-Y作為1-

2

的一個估計量,

~

N(0,

1),對給定的置信度1-

,查正態(tài)分布表可得u

/

2,由抽樣分布定理知1.均值1-

2

的置信區(qū)間SX2,SY2分別是總體

X

和

Y

的樣本方差,置信區(qū)間的求法設(shè)X1,

…,Xm分別是總體X~

N(

1

,12)的樣本,Y1,

…,Yn分別是總體Y~

N(

2

,22)的樣本,──X,Y分別是總體

X

和

Y

的樣本均值,求參數(shù)

1-

2

和

12/22的置信水平為

1-的置信區(qū)間.

即得置信區(qū)間(二)

兩個正態(tài)總體置信區(qū)間的求法(2)未知方差12,22,但12=22=

2時

─

─仍用X

-

Y作為1-

2

的一個估計量,~

t(n+m-2),對給定的置信度1-

,查t分布表可得由抽樣分布定理知1.均值差1-

2

的置信區(qū)間SX2,SY2分別是總體

X

和

Y

的樣本方差,t

/

2(n+m-2),

且它們的方差相同(這兩種儀器的測量精度相同).例4

用甲、乙兩種儀器測量兩測地站A,B之間的直線距離(單位:

米).用儀器甲獨(dú)立地測量

m

=10次,得測量值的平均值試求這兩種儀器的平均測量之差的置信水平為

0.99

的置信區(qū)間.解設(shè)X~

N(

1

,12),Y~

N(

2

,22),查

t

分布表得─y

=

45479.

398,假定這兩種儀器的測量值都服從正態(tài)分布,所以1-2

的置信區(qū)間(-0.009,0.075).

/2

=0.

005,m

+

n-2=23,

t

0.005(23)=

2.

8073,將條件代入分別得

─

x=

45479.

431,用儀器乙獨(dú)立地測量

n=15次,得測量值的平均值設(shè)同上,求參數(shù)

12/22的置信水平為

1-的置信區(qū)間.

即得12/22的置信區(qū)間(二)

兩個正態(tài)總體置信區(qū)間的求法(2)未知1

,2

時~

F(m-1,n-1),對給定的置信度

1-

,查

F

分布表可得上側(cè)分位數(shù)由抽樣分布定理知2.方差比12/22的置信區(qū)間F

/

2(m-1,n-1),

F1-

/

2(m-1,n-1),求兩總體方差比12/22的置信水平為

0.90

的置信區(qū)間.稱重后所的樣本方差分別為sx2=

0.0125,sy2=

0.01,假定所裝番茄醬的重量

X

與

Y分別服從正態(tài)分布N(

1

,12)和

N(

2

,22),解由于

/2

=0.

05

,查

F

分布表得例5

某廠用兩條流水線生產(chǎn)番茄醬小包裝,現(xiàn)從兩條流水線上各隨機(jī)抽取樣本容量分別為

m=6

,n=7

的樣本,將條件代入得12/22

的置信區(qū)間為(

0.

2847

,

6.

1875

).自由度m-1=5,n-1=

6,主要根據(jù)抽樣分布Th(二)兩個總體

^②由

的概率分布和置信水平

1-,確定其相應(yīng)的分位數(shù)x

/2;小結(jié)——正態(tài)總體置信區(qū)間的求法(一)單個總體均值

方差2均值差

1-

2

方差12,22方差2未知方差2解得所求的置信區(qū)間

^①根據(jù)未知參數(shù)的無偏估計量,確定其某個估計量

;③由不等式

均值未知均值

未知方差12,22方差比12/22均值1,2未知均值

1,2

但相等!X1,…,Xn是取自

X

的樣本,─那么稱隨機(jī)區(qū)間(-,)為的置信水平為1-的單側(cè)置信區(qū)間,但有些實際問題,人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個方向的界限.這時,可將置信上限取為+∞,而只著眼于置信下限,上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的,例如對于設(shè)備、元件的使用壽命來說,平均壽命過長沒什么問題,過短就有問題了.三、單側(cè)置信區(qū)間定義

滿足這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.對給定值

0

<

<

1,滿足設(shè)

是總體X的待估參數(shù),稱

為單側(cè)置信下限;

─那么稱隨機(jī)區(qū)間(,+)為的置信水平為1-的單側(cè)置信區(qū)間,─

─

稱

為單側(cè)置信上限.假設(shè)統(tǒng)計量假設(shè)統(tǒng)計量求單側(cè)置信區(qū)間的思路完全同于雙側(cè)的情形記錄其磨壞時所行駛路程(單位:公里),問該種輪胎平均行駛路程至少是多少(

=0.

05

)？解由于2未知,

查

t

分布表可得滿足條件的上側(cè)分位數(shù)例6

從一批汽車輪胎中隨機(jī)地取16只作磨損試驗,

─算得樣本均值x

=

41116

,即得置信度為

0.

95的單側(cè)置信下限

t

0.05

(15)=

1.

7531,

─將x

=

41116,s=

6346代入得

設(shè)此樣本來自正態(tài)總體

N(

,

2),

,均未知,~

t(n-1),由抽樣分布定理知隨機(jī)變量樣本標(biāo)準(zhǔn)差

s=

6346

.=38334,故該種輪胎平均行駛路程不少于38334公里,其置信概率為0.

95.

P241例22,請自讀.P243附表——隨機(jī)變量一、自由度為n的2分布Y

~

2(n)

所服從的分布(諸

X

i

獨(dú)立且都服從N(0,1)

)20+30假設(shè)Y~2(n),那么EY=n,DY=2n;

設(shè)X1,…,Xn相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布N(,2),那么當(dāng)n充分大時,近似服從

N(0,1).40

2分布的上側(cè)

分位數(shù)n

45時,n

>

45時，10可加性——設(shè)Y1

~

2(m),Y2

~

2(n),且

Y1

,

Y2

獨(dú)立,即

n

充分大時,t