驕子之路教師用書

第六章平面向量及其應(yīng)用6．1平面向量的概念|掌握幾個(gè)要點(diǎn)|1．注意2個(gè)特殊向量零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無窮多個(gè)，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)形成一個(gè)單位圓．2．把握1個(gè)方法利用向量關(guān)系證明或判斷線段平行或相等的方法(1)證明或判斷線段相等，只需證明或判斷相應(yīng)向量的長度(模)相等．(2)證明線段平行，先證明相應(yīng)的向量共線，再說明線段不共線．3．牢記2個(gè)結(jié)論常用的兩個(gè)結(jié)論：①若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且A，B，C，D四點(diǎn)不共線，則四邊形ABCD為平行四邊形；若四邊形ABCD為平行四邊形，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線；若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．|題點(diǎn)知識鞏固|eq\a\vs4\al(知識點(diǎn)一向量的概念)1．下列說法正確的是()A．零向量是沒有方向的向量B．零向量的長度為0C．任意兩個(gè)單位向量的方向相同D．同向的兩個(gè)向量可以比較大小解析：選B零向量的長度為0，方向是任意的，故A錯(cuò)誤，B正確；任意兩個(gè)單位向量的長度相等，但方向不一定相同，故C錯(cuò)誤；不管是同向的向量還是不同向的向量，都不能比較大小，故D錯(cuò)誤．2．下列不是向量的是()A．力 B．速度C．質(zhì)量 D．加速度解析：選C質(zhì)量只有大小，沒有方向，不是向量．3．汽車以大小為120km/h的速度向西走了2h，摩托車以大小為45km/h的速度向東北方向走了2h，則下列命題中正確的是()A．汽車的速度大于摩托車的速度B．汽車的位移大于摩托車的位移C．汽車走的路程大于摩托車走的路程D．以上都不對解析：選C由向量不能比較大小，可知選C.eq\a\vs4\al(知識點(diǎn)二向量的模)4．下列命題正確的是()A．|a|＝|b|?a＝b B．|a|>|b|?a>bC．a(chǎn)∥b?a＝b D．|a|＝0?a＝0解析：選D對于A，兩個(gè)向量的模相等，但是方向不一定相同，所以錯(cuò)誤；對于B，兩個(gè)向量不能比較大小，所以錯(cuò)誤；對于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，所以錯(cuò)誤；對于D，如果一個(gè)向量的模等于0，則這個(gè)向量是0，所以正確．5．若a為任一非零向量，b的模為1，給出下列各式：①|(zhì)a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1.其中正確的是()A．①④ B．③C．①②③ D．②③解析：選B①中，|a|的大小不能確定，故①錯(cuò)誤；②中，兩個(gè)非零向量的方向不確定，故②錯(cuò)誤；④中，向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，故④錯(cuò)誤；③正確．故選B.6．如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，若eq\o(AC,\s\up6(→))的模為2，eq\o(BC,\s\up6(→))的模為3，eq\o(AD,\s\up6(→))的模為1，則eq\o(DB,\s\up6(→))的模為________．解析：如圖，延長CD，過點(diǎn)A作BC的平行線交CD的延長線于點(diǎn)E.因?yàn)椤螦CD＝∠BCD＝∠AED，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|.因?yàn)椤鰽DE∽△BDC，所以eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))|,|\o(DB,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AE,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)，故|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)eq\a\vs4\al(知識點(diǎn)三相等向量與共線向量)7．(多選)下列說法正確的是()A．長度相等的向量是相等向量B．若a＝b，b＝c，則a＝cC．共線向量是在一條直線上的向量D．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線是A，B，C，D四點(diǎn)共線的必要不充分條件解析：選BD相等向量不僅要求長度相等，還要求方向相同，故A說法錯(cuò)誤；B說法顯然正確；共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故C說法錯(cuò)誤；A，B，C，D四點(diǎn)共線?向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，反之不成立，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線是A，B，C，D四點(diǎn)共線的必要不充分條件，故D說法正確．8．如圖，在圓O中，向量eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))是()A．有相同起點(diǎn)的向量B．共線向量C．模相等的向量D．相等向量解析：選C由圖可知eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))是模相等的向量，其模均等于圓O的半徑，故選C.9.如圖，已知在四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))，求證：eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).證明：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且AB∥DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|且DA∥CB.又eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相同，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→)).因?yàn)閨eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|，|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(NA,\s\up6(→))|，所以|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DN,\s\up6(→))|，又eq\o(DN,\s\up6(→))與eq\o(MB,\s\up6(→))的方向相同，所以eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).|提能達(dá)標(biāo)過關(guān)|1．(2020·江西上饒玉山一中高一期中考試)有下列四個(gè)命題，其中是真命題的是()A．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不共線B．“a＝b”的充要條件是“|a|＝|b|且a∥b”C．若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線D．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量解析：選D對于A，有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量可能共線，故A為假命題；對于B，“a＝b”的充要條件是“|a|＝|b|且a，b方向相同”，故B為假命題；對于C，若b＝0，則a與c不一定共線，故C為假命題；對于D，若a與b中有一個(gè)是零向量，則a與b共線，故a與b都是非零向量，故D為真命題．2．(多選)如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則下列關(guān)系正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))B．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|C．eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(DC,\s\up6(→))D．eq\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))解析：選BD|eq\o(AB,\s\up6(→))|與|eq\o(DC,\s\up6(→))|表示等腰梯形兩腰的長度，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|；等腰梯形的上底BC與下底AD平行，所以eq\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，故選BD.3．下列說法正確的是()A．有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))表示同一向量B．兩條有公共終點(diǎn)的有向線段表示的向量是平行向量C．零向量與單位向量是平行向量D．對任一向量a，eq\f(a,|a|)是一個(gè)單位向量解析：選C向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))方向相反，不是同一向量；有公共終點(diǎn)的有向線段的方向不一定相同或相反；當(dāng)a＝0時(shí)，eq\f(a,|a|)無意義，故A、B、D錯(cuò)誤．零向量與任意向量都是平行向量，故C正確．4.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作MN∥AB，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中，相等向量有()A．1對 B．2對C．3對 D．4對解析：選B相等向量有eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(NO,\s\up6(→))，eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))，共2對．5．給出下列四個(gè)命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若a∥b，則|a|＝|b|.其中正確的命題有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：選A①忽略了0與0的區(qū)別，a＝0；②混淆了兩個(gè)向量的模相等和兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，兩個(gè)向量的模相等只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；③兩個(gè)向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必可以得出它們的模相等．6．(一題兩空)如圖，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形，則與向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量為________；與向量eq\o(OA,\s\up6(→))共線的向量為________．解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，又∵四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形，易知四邊形AOCD和四邊形AOBE均為菱形，∴與eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(OC,\s\up6(→))；與eq\o(OA,\s\up6(→))共線的向量為eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→)).答案：eq\o(OC,\s\up6(→))eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))7．給出下列命題：①若a＝b，b＝c，則a＝c；②若a＝b，則a∥b；③若a∥b，則a＝b.其中正確命題的序號是________．解析：對于①，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，由b＝0得c＝0，故a＝c；當(dāng)a＝b≠0時(shí)，由向量相等的定義知a與b同向，同理b與c同向，從而a與c同向，且它們的模相等，故a＝c；對于②，a＝b，則a與b同向，故a∥b；對于③，a與b的模不一定相等，方向也不一定相同，故a＝b不一定成立．答案：①②8．設(shè)點(diǎn)O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，則O是△ABC的________心．解析：由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，可得點(diǎn)O到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)O是△ABC的外心．答案：外9．如圖所示的方格紙是由若干個(gè)邊長為1的小正方形拼在一起組成的，方格紙中有A，B兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).(1)作出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值與最小值．解：(1)作出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))，如圖所示．(2)由(1)所畫的圖知，①當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)C1或C2時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值，為eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；②當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)C5或C6時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最大值，為eq\r(42＋52)＝eq\r(41).所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值為eq\r(41)，最小值為eq\r(5).10.如圖，半圓的直徑AB＝6，C是半圓上的一點(diǎn)，D，E分別是AB，BC上的點(diǎn)，且AD＝1，BE＝4，DE＝3.(1)求證：eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AC,\s\up6(→))|.解：(1)證明：由題意知，在△DEB中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，∴DE2＋BE2＝BD2，∴△DEB是直角三角形，∴∠DEB＝90°.又∵AB為直徑，點(diǎn)C為半圓上一點(diǎn)，∴∠ACB＝90°.∴AC∥DE，故eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→)).(2)由AC∥DE知△ABC∽△DBE.∴eq\f(AC,DE)＝eq\f(AB,BD)，即eq\f(AC,3)＝eq\f(6,5).∴AC＝eq\f(18,5)，即|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(18,5).建模探究提能(2020·遼寧鞍山高一期中)已知飛機(jī)從甲地沿北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)乙地，再從乙地沿南偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)丙地，再從丙地沿西南方向飛行1000eq\r(2)km到達(dá)丁地，求丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多遠(yuǎn)？解：如圖，用A，B，C，D分別表示甲地、乙地、丙地、丁地，依題意知△ABC為正三角形．∴AC＝2000km.又∵∠ACD＝45°，CD＝1000eq\r(2)km，∴△ACD為等腰直角三角形，則AD＝1000eq\r(2)km，∠CAD＝45°.∴丁地在甲地的東南方向，且距甲地1000eq\r(2)km.6．2平面向量的運(yùn)算6．2.1向量的加法運(yùn)算|掌握幾個(gè)要點(diǎn)|1．把握向量求和的2個(gè)法則三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的．當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)常選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共始點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則．2．牢記向量加法的2個(gè)運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).3．掌握3個(gè)重要結(jié)論(1)當(dāng)向量a，b不共線時(shí)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則a＋b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.(2)當(dāng)a與b同向共線或a，b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)當(dāng)a與b反向共線時(shí)，||a|－|b||＝|a＋b|.|題點(diǎn)知識鞏固|eq\a\vs4\al(知識點(diǎn)一向量的加法運(yùn)算)1．如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝()A.eq\o(OH,\s\up6(→)) B．eq\o(OG,\s\up6(→))C．eq\o(FO,\s\up6(→)) D．eq\o(EO,\s\up6(→))解析：選C設(shè)a＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，以O(shè)P，OQ為鄰邊作平行四邊形，則OP與OQ之間的對角線對應(yīng)的向量即向量a＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，由a和eq\o(FO,\s\up6(→))長度相等，方向相同，得a＝eq\o(FO,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→)).2．(2020·浙江衢州高一教學(xué)質(zhì)檢)如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝()A．0 B．0C．eq\o(AE,\s\up6(→)) D．eq\o(EA,\s\up6(→))解析：選A連接OB.由正六邊形的性質(zhì)，可知△OAB與△OBC都是等邊三角形，∴OA＝AB＝BC＝OC，∴四邊形OABC是平行四邊形，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝0，故選A.3．如圖，已知向量a，b，c不共線，作向量a＋b＋c.解：解法一：如圖(1)，在平面內(nèi)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b；再作eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c.解法二：如圖(2)，在平面內(nèi)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b；再作eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以O(shè)D與OC為鄰邊作平行四邊形ODEC，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝a＋b＋c.eq\a\vs4\al(知識點(diǎn)二向量加法的運(yùn)算律)4．(2020·陜西渭南尚德中學(xué)高一期末)向量eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝()A．eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(AM,\s\up6(→))解析：選A向量eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.5．(2020·四川成都七中高一(下)月考)已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列等式中不正確的是()A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)) B．eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝0C．eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→)) D．eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))解析：選D由向量加法的平行四邊形法則，可知eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))≠eq\o(FD,\s\up6(→)).6．化簡：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.eq\a\vs4\al(知識點(diǎn)三向量加法的應(yīng)用)7．雨滴在下落一定時(shí)間后是勻速運(yùn)動的，無風(fēng)時(shí)雨滴下落的速度為2eq\r(3)m/s，現(xiàn)有東風(fēng)且風(fēng)速為2m/s，那么雨滴將以多大的速度著地？這個(gè)速度的方向怎樣？解：如圖，eq\o(AB,\s\up6(→))表示無風(fēng)時(shí)雨滴的下落速度，eq\o(AD,\s\up6(→))表示東風(fēng)的風(fēng)速．由向量加法的平行四邊形法則，知有東風(fēng)時(shí)雨滴的下落速度為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)m/s，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2m/s，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(（2\r(3)）2＋22)＝4(m/s)，∠BCA＝60°.故雨滴沿向下偏西，與地面成60°角的方向，以4m/s的速度著地．|提能達(dá)標(biāo)過關(guān)|1．(多選)(2020·山東淄博七中高一(下)期中考試)在?ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝d，則下列等式中成立的是()A．a(chǎn)＋b＝c B．a(chǎn)＋d＝bC．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|解析：選ABD根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知A、D成立，由三角形法則知B成立．故選ABD.2．已知向量a，b均為非零向量，則下列說法不正確的個(gè)數(shù)是()①向量a與b反向，且|a|>|b|，則向量a＋b與a的方向相同；②向量a與b反向，且|a|<|b|，則向量a＋b與a的方向相同；③向量a與b同向，則向量a＋b與a的方向相同．A．0 B．1C．2 D．3解析：選B對于②，向量a＋b與b的方向相同，故②說法不正確．分析知①③說法正確．3．(多選)給出下面四個(gè)命題，其中是真命題的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝0解析：選AB對于C，由向量加法的平行四邊形法則，知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))，所以錯(cuò)誤；對于D，0＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以錯(cuò)誤．故選AB.4．(2020·浙江省諸暨中學(xué)檢測)在邊長為1的正方形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝()A．2 B．eq\r(2)C．1 D．2eq\r(2)解析：選B在邊長為1的正方形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(2).5．如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝()A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)解析：選B|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，故選B.6．(一題兩空)若a表示向東走8km，b表示向北走8km，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：|a＋b|＝8eq\r(2)，a＋b的方向是北偏東45°.答案：8eq\r(2)km北偏東45°7．在菱形ABCD中，若∠DAB＝60°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，則|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝________．解析：如圖所示，設(shè)菱形ABCD的對角線的交點(diǎn)為O.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).∵∠DAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形．又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，AO＝eq\r(AB2－OB2)＝eq\r(3)，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．(2020·安徽省蚌埠市檢測)如圖所示，若P為△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，則∠ACB＝________．解析：因?yàn)镻為△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因?yàn)閑q\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，由向量加法的幾何意義可得四邊形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.答案：120°9．O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.判斷O是△ABC的什么心？解：O是△ABC的重心．如圖，延長CO至D，使|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，交AB于點(diǎn)M.連接AD，BD.下面證明點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)．事實(shí)上，由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可知點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)．也就是說，CM為△ABC的中線．同理可證：AO、BO所在直線分別過△ABC相應(yīng)邊的中點(diǎn)．從而O是△ABC的重心．10．如圖，小船要從A處沿垂直河岸AC的方向到達(dá)對岸B處，此時(shí)水流的速度為6km/h，測得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行駛，求小船在靜水中速度的大小及方向．解：如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))表示小船垂直于河岸行駛的速度，eq\o(AC,\s\up6(→))表示水流的速度，連接BC，過點(diǎn)B作AC的平行線，過點(diǎn)A作BC的平行線，兩條直線交于點(diǎn)D，則四邊形ACBD為平行四邊形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))就是小船在靜水中的速度．在Rt△BAC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8km/h，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝6km/h，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up7(,|\o(AB),\s\do5(\s\up6(→))|2＋|\o(AC,\s\up6(→))|2)))＝10(km/h).∵∠DAB＝∠ABC，∴tan∠DAB＝tan∠ABC＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，∴小船在靜水中的速度的大小為10km/h，方向與水流方向的夾角為eq\f(π,2)＋∠DAB，其中tan∠DAB＝eq\f(3,4)，∠DAB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).建模探究提能三人奪球的游戲規(guī)則：在小球上均勻裝上三條繩子，由三人在一水平面上分別拉繩，要求每兩人與球連接夾角相等，得到小球者為勝．現(xiàn)有甲、乙、丙三人玩此游戲，若甲、乙兩人的力量相同，均為aN，則丙需要多少力量才能使小球靜止？若甲、乙兩人的力量不等，則小球有可能靜止嗎？解：設(shè)甲、乙、丙三人作用于小球的力分別為a、b、c，根據(jù)題意，可知a、b、c三個(gè)向量兩兩夾角為120°，可先計(jì)算a＋b，由于|a|＝|b|，易求|a＋b|＝|c|，且a＋b平分a、b所成的角即方向與c相反，要使小球不動，則c＝－(a＋b)，所以丙需要與甲、乙相同的力量，小球就會靜止．若甲、乙兩人力量不等，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，a＋b的方向不可能與c相反，也就是說a＋b與c不可能是相反向量，所以小球不可能靜止．6．2.2向量的減法運(yùn)算|掌握幾個(gè)要點(diǎn)|1．牢記1個(gè)運(yùn)算法則向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算．利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法．即減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b).2．辨明1個(gè)易混點(diǎn)在用三角形法則作向量減法時(shí)，要注意“差向量連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減數(shù)”．解題時(shí)要結(jié)合圖形，準(zhǔn)確判斷，防止混淆．3．掌握1個(gè)常用結(jié)論以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB、AD分別表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則兩條對角線表示的向量為eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并記?。畖題點(diǎn)知識鞏固|eq\a\vs4\al(知識點(diǎn)一向量的減法運(yùn)算)1．如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))等于()A．eq\o(FD,\s\up6(→)) B．eq\o(FC,\s\up6(→))C．eq\o(FE,\s\up6(→)) D．eq\o(BE,\s\up6(→))解析：選Deq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，故選D.2．如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于O點(diǎn)，則eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________．解析：eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→)).答案：eq\o(CA,\s\up6(→))3．如圖，已知正方形ABCD的邊長等于1，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，求作下列向量：(1)a－b＋c，并求|a－b＋c|；(2)a－b－c，并求|a－b－c|.解：(1)如圖所示，依題知eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，作eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，故eq\o(DF,\s\up6(→))＝a－b＋c，且由平面幾何知識知，|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|a|＝2，即|a－b＋c|＝2.(2)∵eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，過D作eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝a－b－c，且由平面幾何知識知，|eq\o(EB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|b|＝2，∴|a－b－c|＝2.eq\a\vs4\al(知識點(diǎn)二向量減法的運(yùn)算律)4．化簡下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))；②eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；④eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→)).其中結(jié)果為0的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D①eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.②eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.③eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.④eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝0.以上各式化簡后結(jié)果均為0，故選D.5．(多選)(2020·福建福州高一(下)期末聯(lián)考)下列四個(gè)式子中一定能化簡為eq\o(AD,\s\up6(→))的是()A．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))B．(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))C．(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(BM,\s\up6(→))D．(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))解析：選ABD對于A，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；對于B，(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AD,\s\up6(→))；對于C，(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；對于D，(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故選ABD.6.如圖，解答下列各題：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up6(→)).解：由題意知，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，eq\o(DE,\s\up6(→))＝d，eq\o(EA,\s\up6(→))＝e，則(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋d＋e.(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝－c－d.eq\a\vs4\al(知識點(diǎn)三向量減法的實(shí)際應(yīng)用)7．某人在靜水中游泳，速度為2eq\r(3)千米/時(shí)，他在水流速度為2千米/時(shí)的河中游泳．(1)若他垂直游向河對岸，則他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？(2)他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？解：(1)如圖(1)，設(shè)此人游泳的速度為eq\o(OB,\s\up6(→))，水流的速度為eq\o(OA,\s\up6(→))，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作?OACB，則此人的實(shí)際速度為eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).由勾股定理知|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝4，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿與河岸成60°的夾角順著水流的方向前進(jìn)，速度大小為4千米/時(shí)．(2)如圖(2)，設(shè)此人的實(shí)際速度為eq\o(OD,\s\up6(→))，水流速度為eq\o(OA,\s\up6(→))，則此人的游速為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)).在Rt△AOD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，則|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，cos∠DAO＝eq\f(\r(3),3).故此人沿向量eq\o(AD,\s\up6(→))的方向游即逆著水流且與河岸所成夾角的余弦值為eq\f(\r(3),3)，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)，實(shí)際前進(jìn)的速度大小為2eq\r(2)千米/時(shí)．|提能達(dá)標(biāo)過關(guān)|1．已知O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，則()A．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0 B．a(chǎn)－b＋c－d＝0C．a(chǎn)＋b－c－d＝0 D．a(chǎn)－b－c＋d＝0解析：選B如圖，a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，c－d＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，又四邊形ABCD為平行四邊形，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，即a－b＋c－d＝0.故選B.2．(多選)對于菱形ABCD，給出下列各式，其中結(jié)論正確的為()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|C．|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|D．|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|解析：選BCD易知向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以B結(jié)論正確，A結(jié)論錯(cuò)誤；因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|，|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以C結(jié)論正確；因?yàn)閨eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，|eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，所以D結(jié)論正確．3．(2020·安徽宿州高一期末)在平行四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝d，則下列等式中不正確的是()A．a(chǎn)＋b＝c B．a(chǎn)－b＝dC．b－a＝d D．c－a＝b解析：選B在平行四邊形ABCD中，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝d，∴a－b＝eq\o(DB,\s\up6(→))＝－d，故B不正確，故選B.4．在平面上有A，B，C三個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，若m與n的長度恰好相等，則有()A．A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上B．△ABC必為等腰三角形且B為頂角C．△ABC必為直角三角形且B為直角D．△ABC必為等腰直角三角形解析：選C以eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形ABCD，則m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→)).由m，n的長度相等，可知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，因此平行四邊形ABCD是矩形，故選C.5．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，則下列結(jié)論正確的是()A．點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部B．點(diǎn)P在△ABC的邊AB上C．點(diǎn)P在AB邊所在的直線上D．點(diǎn)P在△ABC的外部解析：選D由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，可得eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴四邊形PBCA為平行四邊形，∴點(diǎn)P在△ABC的外部．故選D.6．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD的形狀為________．解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以四邊形ABCD為平行四邊形．因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，即平行四邊形ABCD的對角線相等，所以四邊形ABCD為矩形．答案：矩形7．已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝9，則|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|的取值范圍是________．解析：∵||eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(AD,\s\up6(→))||≤|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝9，∴3≤|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|≤15，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|的取值范圍是[3，15].答案：[3，15]8．(一題兩空)(2020·重慶巴蜀中學(xué)高一月考)已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)).若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則四邊形ABCD的形狀為________，eq\f(S△EAB,S△BCD)的值為________．解析：∵向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形．∵E為AC的中點(diǎn)，∴E為對角線AC與BD的交點(diǎn)，∴S△EAB＝S△ECB＝S△ADE＝S△DCE，則eq\f(S△EAB,S△BCD)＝eq\f(1,2).答案：平行四邊形eq\f(1,2)9.如圖，在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.(1)當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，a＋b與a－b所在的直線互相垂直？(2)a＋b與a－b有可能為相等向量嗎？為什么？解：(1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b.若a＋b與a－b所在的直線互相垂直，則AC⊥BD.因?yàn)楫?dāng)|a|＝|b|時(shí)，四邊形ABCD為菱形，此時(shí)AC⊥BD，所以當(dāng)a，b滿足|a|＝|b|時(shí)，a＋b與a－b所在的直線互相垂直．(2)不可能．因?yàn)?ABCD的兩對角線不可能平行，所以a＋b與a－b不可能為共線向量，更不可能為相等向量．10．(2020·安徽省淮北師大附中檢測)已知向量a，b滿足|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.解：如圖，作eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，并作平行四邊形ABCD，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－b.∵|a＋b|＝|a－b|，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．∴|a－b|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(62＋82)＝10.建模探究提能如圖所示，已知在矩形ABCD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8.設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，求|a－b－c|.解：如圖，分別延長AD，AB到D′，B′，并使|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DD′,\s\up6(→))|，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BB′,\s\up6(→))|，可得b＋c＝eq\o(BD′,\s\up6(→))，∴a－b－c＝a－(b＋c)＝a－eq\o(BD′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))－eq\o(BD′,\s\up6(→))＝eq\o(D′B′,\s\up6(→))，則|a－b－c|＝|eq\o(D′B′,\s\up6(→))|＝eq\r(（2×4\r(3)）2＋（2×8）2)＝8eq\r(7).6．2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算|掌握幾個(gè)要點(diǎn)|1．掌握1個(gè)定義(1)實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如λ＋a，λ－a是沒有意義的．(2)λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的|λ|倍．當(dāng)a≠0時(shí)，向量eq\f(a,|a|)表示與向量a同向的單位向量．2．記牢3個(gè)運(yùn)算律設(shè)λ，μ是實(shí)數(shù)，a，b是向量，則(1)結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.3．辨明3個(gè)注意點(diǎn)向量共線定理的理解注意點(diǎn)及主要應(yīng)用(1)定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實(shí)數(shù)λ可以是任意實(shí)數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.(2)這個(gè)定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實(shí)數(shù)t，s，使ta＋sb＝0，則a與b共線；若兩個(gè)非零向量a與b不共線，且ta＋sb＝0，則必有t＝s＝0.(3)向量共線定理主要用來證明兩條直線平行、三點(diǎn)共線等問題，通過定理把兩條直線平行、三點(diǎn)共線這樣的幾何問題轉(zhuǎn)化為尋找實(shí)數(shù)λ的代數(shù)問題即可．|題點(diǎn)知識鞏固|eq\a\vs4\al(知識點(diǎn)一向量的線性運(yùn)算)1．下列說法中正確的是()A．λa與a的方向不是相同就是相反B．若a，b共線，則b＝λaC．若|b|＝2|a|，則b＝±2aD．若b＝±2a，則|b|＝2|a|解析：選D顯然當(dāng)b＝±2a時(shí)，必有|b|＝2|a|.2．(多選)已知實(shí)數(shù)m，n和向量a，b，下列說法中正確的是()A．m(a－b)＝ma－mbB．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，則a＝bD．若ma＝na(a≠0)，則m＝n解析：選ABD易知A和B正確；C中，當(dāng)m＝0時(shí)，ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故C不正確；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因?yàn)閍≠0，所以m＝n，故D正確．3．(2020·廣西欽州高一期末考試)在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在AB上，且eq\o(MB,\s\up6(→))＋3eq\o(MA,\s\up6(→))＝0，則向量eq\o(OM,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(1,4)a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bC．－eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)b D．eq\f(3,4)a＋eq\f(1,2)b解析：選A如圖，∵eq\o(MB,\s\up6(→))＋3eq\o(MA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MB,\s\up6(→))＝－3eq\o(MA,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).又eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a－eq\f(1,2)b.故選A.4．如圖，在平行四邊形OADB中，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，試用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).解：因?yàn)閑q\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))