專題10.1 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例（精講）-2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)與練（原卷版）

第=page77頁，總=sectionpages2121頁專題10.1統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例【考綱要求】1.抽樣(1)簡單隨機(jī)抽樣通過實(shí)例，了解簡單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨機(jī)抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．會計(jì)算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系．(2)分層隨機(jī)抽樣通過實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差．(3)抽樣方法的選擇在簡單的實(shí)際情境中，能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題．2.統(tǒng)計(jì)圖表能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性．3.用樣本估計(jì)總體(1)結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．(2)結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．(3)結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.4.成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性(1)結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．(2)結(jié)合實(shí)例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性．5.一元線性回歸模型(1)結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法．(2)針對實(shí)際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測．6.2×2列聯(lián)表(1)通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義．(2)通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.【知識清單】知識點(diǎn)一．隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體1．簡單隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機(jī)樣本．(2)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．分層抽樣(1)在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．3．頻率分布直方圖(1)縱軸表示eq\f(頻率,組距)，即小長方形的高＝eq\f(頻率,組距)；(2)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率；(3)各個(gè)小方形的面積總和等于1.4．頻率分布表的畫法第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．5．條形圖、折線圖及扇形圖(1)條形圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個(gè)樣本(或某個(gè)范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫出長短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為條形圖．(2)折線圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為折線圖．(3)扇形圖：用一個(gè)圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個(gè)扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為扇形圖．6．中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義(1)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(2)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(3)平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．7．樣本的數(shù)字特征如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個(gè)數(shù)的(1)標(biāo)準(zhǔn)差.(2)方差．[常用結(jié)論]1．頻率分布直方圖中的常見結(jié)論(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)．(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的．2．平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，則mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x)＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.知識點(diǎn)二．變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例1．變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．eq\x(體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系.)(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．2．兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，(3)通過求eq\a\vs4\al(Q＝\i\su(i＝1,n,)yi－bxi－a2)的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．(4)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個(gè)變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2(也可表示為χ2)的觀測值(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷．[常用結(jié)論]1．求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．2．根據(jù)K2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大．3．根據(jù)回歸方程計(jì)算的eq\o(y,\s\up6(^))值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值．【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與圖表在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例1】（2017·全國高考真題（理））某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【典例2】（2018·全國高考真題（文））某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍．實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例．得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半【規(guī)律方法】條形圖、折線圖及扇形圖(1)條形圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個(gè)樣本(或某個(gè)范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫出長短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為條形圖．(2)折線圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為折線圖．(3)扇形圖：用一個(gè)圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個(gè)扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為扇形圖．【變式探究】1.（2020·西城·北京鐵路二中高三期中）我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，給出下列四個(gè)結(jié)論：①第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%；②這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；③第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；④第1天至第3天復(fù)工指數(shù)的方差大于第2天至第4天復(fù)工指數(shù)的方差．其中所有正確結(jié)論的序號是____________________．2．(多選)(2019·貴州省適應(yīng)性考試)2018年12月1日，貴陽市地鐵1號線全線開通，在一定程度上緩解了市內(nèi)交通的擁堵狀況．為了了解市民對地鐵1號線開通的關(guān)注情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)在地鐵開通后的某兩天抽取了部分乘坐地鐵的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如下等高條形圖：根據(jù)圖中(35歲以上含35歲)的信息，下列結(jié)論中一定正確的是()A．樣本中男性比女性更關(guān)注地鐵1號線全線開通B．樣本中多數(shù)女性是35歲以上C．樣本中35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多D．樣本中35歲以上的人對地鐵1號線的開通關(guān)注度更高考點(diǎn)二抽樣方法【典例3】（2020·橫峰中學(xué)高三其他（理））某中學(xué)高二年級共有學(xué)生2400人，為了解他們的身體狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高二年級共有女生（）A．1260 B．1230 C．1200 D．1140【典例4】（2019·山東省泰安實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一開學(xué)考試）總體由編號為01，02，，29，30的30個(gè)個(gè)體組成，現(xiàn)從中9抽取一個(gè)容量為6的樣本，請以隨機(jī)數(shù)表第1行第3列開始，向右讀取，則選出來的第6個(gè)個(gè)體的編號為（）70291712134033123826138951035662183735968350877597125593A．12 B．13 C．03 D．40【總結(jié)提升】1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的．2.分層抽樣的前提和遵循的兩條原則(1)前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小，每層中所抽取的個(gè)體數(shù)可按各層個(gè)體數(shù)在總體的個(gè)體數(shù)中所占比例抽?。?2)遵循的兩條原則：①將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；②分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比．3.兩種抽樣方法的特點(diǎn)、聯(lián)系及適用范圍類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣①抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等；②每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體個(gè)數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)，采用簡單隨機(jī)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成【變式探究】1.（2019·綏德中學(xué)高二月考（文））高二年級有男生560人，女生420人，為了解學(xué)生職業(yè)規(guī)劃，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為280人的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為()A．120 B．160 C．280 D．4002.下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)為()①從無限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本．②盒子里共有80個(gè)零件，從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．在抽樣操作時(shí)，從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里．③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．④某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽．A．0B．1C．2 D．3【易錯提醒】1．應(yīng)用簡單隨機(jī)抽樣應(yīng)注意的問題(1)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法．(2)在使用隨機(jī)數(shù)法時(shí)，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去．2．分層抽樣問題的類型及解題思路(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．(3)分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個(gè)體數(shù)量)”．考點(diǎn)三頻率分布直方圖的應(yīng)用【典例5】（2020·天津高考真題）從一批零件中抽取80個(gè)，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為（）

A．10 B．18 C．20 D．36【典例6】（2019·全國高考真題（理））為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.【規(guī)律方法】(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所有小長方形的面積的和等于1；(2)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率；(3)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)【變式探究】1.（2020·海南高三期中）為了評估某家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，某評估小組進(jìn)行了客戶滿意度調(diào)查，從該公司參與調(diào)查的客戶中隨機(jī)抽取500名客戶的評分，評分均在區(qū)間上，分組為，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定評分在60分以下表示對該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意，則這500名客戶中對該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶的人數(shù)為（）

A．15 B．16 C．17 D．182.（2017北京，文17）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)；（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)學(xué).科網(wǎng)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．【易錯提醒】頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率考點(diǎn)四用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【典例7】（2020·全國高考真題（理））在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A． B．C． D．【典例8】（2019年高考全國Ⅱ卷文）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表．的分組企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（精確到0.01）附：．【總結(jié)提升】(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．【變式探究】1.（2019·全國高考真題（理））演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評分.7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差2.（2020·全國高考真題（文））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10【總結(jié)提升】1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大?。?2)方差的簡化計(jì)算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\x\to(x)2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．2.主要命題角度：（1）樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖交匯（2）樣本的數(shù)字特征與莖葉圖交匯=1\*GB3①在使用莖葉圖時(shí)，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個(gè)圖中數(shù)字的特點(diǎn)，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．=2\*GB3②莖葉圖既可以表示兩組數(shù)據(jù)，也可以表示一組數(shù)據(jù)，用它表示的數(shù)據(jù)是完整的數(shù)據(jù)，因此可以從莖葉圖中看出數(shù)據(jù)的眾數(shù)(數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù))、中位數(shù)(中間位置的一個(gè)數(shù)，或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))等．（3）樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題交匯：利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)=1\*GB3①平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．=2\*GB3②用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．考點(diǎn)五相關(guān)關(guān)系的判斷【典例9】對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖如圖①，對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖如圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)【典例10】（2020·云南師大附中高二期中）已知變量和滿足關(guān)系，變量與負(fù)相關(guān)．下列結(jié)論正確的是（）A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān) B．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān) D．與正相關(guān)，與正相關(guān)【總結(jié)提升】判斷相關(guān)關(guān)系的2種方法(1)散點(diǎn)圖法：如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).【變式探究】(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計(jì)表如下：月份123456人均銷售額658347利潤率(%)12.610.418.53.08.116.3根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()A．利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系B．利潤率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系C．利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系D．利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系考點(diǎn)六線性回歸方程、回歸分析【典例11】（2018·全國高考真題（文））下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：．（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．【典例12】（2020·全國高考真題（理））某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.【總結(jié)提升】一、線性回歸分析問題的類型及解題方法1．求線性回歸方程(1)利用公式，求出回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^)).(2)待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)．2．利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．3．利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)，決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^)).二、模型擬合效果的判斷(1)殘差平方和越小，模型的擬合效果越好．(2)相關(guān)指數(shù)R2越大，模型的擬合效果越好．(3)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．【變式探究】1.（2017·山東高考真題（理））為了研究某班學(xué)生的腳長（單位厘米）和身高（單位厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為．已知，，．該班某學(xué)生的腳長為，據(jù)此估計(jì)其身高為（）A． B． C． D．2.（2020·河南鄭州一中高三期中（文））新型冠狀病毒肺炎COVID-19疫情發(fā)生以來，在世界各地逐漸蔓延.在全國人民的共同努力和各級部門的嚴(yán)格管控下，我國的疫情已經(jīng)得到了很好的控制.然而，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)國家在疫情發(fā)生的初期，由于認(rèn)識不足和措施不到位，感染人數(shù)都會出現(xiàn)快速的增長.下表是小王同學(xué)記錄的某國連續(xù)8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù).日期代碼x12345678累計(jì)確診人數(shù)y.481631517197122為了分析該國累計(jì)感染人數(shù)的變化趨勢，小王同學(xué)分別用兩桿模型：①，②對變量x和y的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如下(注：殘差)：經(jīng)過計(jì)算得，，，，其中，.（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型?并簡要說明理由；（2）根據(jù)（1）問選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程(系數(shù)均保留兩位小數(shù))；（3）由于時(shí)差，該國截止第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)尚未公布.小王同學(xué)認(rèn)為，如果防疫形勢沒有得到明顯改善，在數(shù)據(jù)公布之前可以根據(jù)他在（2）問求出的回歸方程來對感染人數(shù)做出預(yù)測，那么估計(jì)該地區(qū)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)是多少?附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，【總結(jié)提升】一般地，建立回歸模型的基本步驟為：(1)確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量．(2)畫出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程)．(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)回歸方程中的參數(shù)．(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．考點(diǎn)七獨(dú)立性檢驗(yàn)【典例13】（2019·全國高考真題（文））某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4