彈性力學(xué)有限元法詳解

彈性力學(xué)有限元法當(dāng)前1頁，總共40頁。第三章彈性力學(xué)有限元法3.1有限元法求解問題的基本步驟3.2連續(xù)體離散化3.3單元分析3.4整體分析

3.5邊界約束條件處理

3.6求解、計(jì)算結(jié)果的整理和有限元后處理當(dāng)前2頁，總共40頁。3.1有限元法求解問題的基本步驟工程結(jié)構(gòu)的幾何簡(jiǎn)化載荷簡(jiǎn)化邊界條件的簡(jiǎn)化建立力學(xué)模型連續(xù)體離散化

用合適的單元將連續(xù)體劃分為有限個(gè)具有規(guī)則形狀的的單元集合，單元的選取應(yīng)視所分析問題的性質(zhì)、規(guī)模和精度要求而定。當(dāng)前3頁，總共40頁。3.1有限元法求解問題的基本步驟單元分析位移模式(位移函數(shù)、插值函數(shù)）選取單元分析

單元的位移模式一般采用多項(xiàng)式，因?yàn)槎囗?xiàng)式計(jì)算簡(jiǎn)便，并且隨著項(xiàng)數(shù)的增加，可以逼近任何一段光滑的函數(shù)曲線。

建立單元?jiǎng)偠染仃嚱卧?jié)點(diǎn)力列陣彈性力學(xué)幾何方程和物理方程

靜力等效原則當(dāng)前4頁，總共40頁。3.1有限元法求解問題的基本步驟整體分析和有限元方程求解建立整體剛度矩陣建立整體節(jié)點(diǎn)力列陣代入邊界條件選擇適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方程求解高斯消元法三角分解法波前法雅克比迭代法當(dāng)前5頁，總共40頁。3.1有限元法求解問題的基本步驟結(jié)果后處理和分析應(yīng)力誤差的減小結(jié)果輸出方式結(jié)果分析當(dāng)前6頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化桿狀單元平面桿單元只能承受軸向的拉壓載荷，平面桿單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度。

空間桿單元只能承受軸向的拉壓載荷，平面桿單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度。軸力單元當(dāng)前7頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化梁?jiǎn)卧矫媪簡(jiǎn)卧矫媪簡(jiǎn)卧總€(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，兩個(gè)線位移一個(gè)角位移，可承受平面內(nèi)的體力，集中力、分布力和垂直平面的彎矩的作用。

空間梁?jiǎn)卧臻g梁?jiǎn)卧總€(gè)節(jié)點(diǎn)有六個(gè)自由度，三個(gè)線位移三個(gè)角位移，可承受各個(gè)方向的體力，集中力、分布力和彎矩的作用。

桿狀單元當(dāng)前8頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化平面單元平面單元屬于二維單元，只能承受單元平面內(nèi)的分布力和集中力，不能承受面外載荷

。

三節(jié)點(diǎn)三角形單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度，因此只能采用線性模式，應(yīng)變值為常量，也稱為常應(yīng)變單元或常應(yīng)力單元。當(dāng)前9頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化四節(jié)點(diǎn)四邊形單元四邊形單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)也有兩個(gè)自由度，采用雙線性位移模式，計(jì)算精度較高。平面單元當(dāng)前10頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化薄板彎曲單元和薄板單元

薄板彎曲單元四邊形彎曲單元四邊形單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，主要承受橫向載荷和繞水平軸的彎矩。當(dāng)前11頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化薄板彎曲單元三角形彎曲單元三角形單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，主要承受橫向載荷和繞水平軸的彎矩。薄板彎曲單元和薄板單元

當(dāng)前12頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化薄板彎曲單元和薄板單元

薄板單元四邊形薄板單元四邊形薄板單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有五個(gè)自由度，可承受各個(gè)方向的載荷和繞水平軸的彎矩。當(dāng)前13頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化薄板彎曲單元和薄板單元

薄板單元三角形薄板單元三角形單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有五個(gè)自由度，可承受各個(gè)方向的載荷和繞水平軸的彎矩。當(dāng)前14頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化多面體單元

四面體單元四面體單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度。當(dāng)前15頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化六面體單元六面體單元有八個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度。多面體單元

當(dāng)前16頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化等參單元

求解實(shí)際問題時(shí)人們總希望用最少的單元實(shí)現(xiàn)比較高的計(jì)算精度，而且所選用的單元對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)也有比較好的適應(yīng)性。計(jì)算期望：手段：?jiǎn)卧螤畹淖兓蛦卧獌?nèi)位移函數(shù)的變化用相同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)和相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換。

四邊形四節(jié)點(diǎn)等參元當(dāng)前17頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化四邊形四節(jié)點(diǎn)等參元插值函數(shù)注意:

總體坐標(biāo)系適用于整體結(jié)構(gòu)，局部坐標(biāo)系只適用于具體某個(gè)單元。

常用的對(duì)于平面問題還有八節(jié)點(diǎn)等參元，空間問題有八節(jié)點(diǎn)空間等參元，二十節(jié)點(diǎn)等參元等。等參單元

當(dāng)前18頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化軸對(duì)稱單元

對(duì)于回轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，如果約束條件和載荷都對(duì)稱于回轉(zhuǎn)軸，其應(yīng)力、應(yīng)變和位移也都對(duì)稱于回轉(zhuǎn)軸線，這類應(yīng)力應(yīng)變問題稱為軸對(duì)稱問題，通常用柱坐標(biāo)來描述應(yīng)力、應(yīng)變和位移，單元為實(shí)心圓環(huán)體，僅截面不同三角形環(huán)單元當(dāng)前19頁，總共40頁。3.2連續(xù)體離散化四邊形環(huán)單元回轉(zhuǎn)圓錐薄殼單元軸對(duì)稱單元當(dāng)前20頁，總共40頁。3.3單元分析單元的插值函數(shù)（各種多項(xiàng)式）

當(dāng)前21頁，總共40頁。3.3單元分析單元的插值函數(shù)（各種多項(xiàng)式）

四節(jié)點(diǎn)矩形單元的插值多項(xiàng)式

當(dāng)前22頁，總共40頁。

3.3單元分析單元的插值函數(shù)（各種多項(xiàng)式）

令：矩陣形式：

當(dāng)前23頁，總共40頁。3.3單元分析單元的插值函數(shù)（各種多項(xiàng)式）

形函數(shù)特點(diǎn)：本點(diǎn)為1，他點(diǎn)為0在單元內(nèi)任一點(diǎn)各形函數(shù)之和等于1單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊兩端節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，而與其他節(jié)點(diǎn)無關(guān)當(dāng)前24頁，總共40頁。3.3單元分析單元的插值函數(shù)（各種多項(xiàng)式）

單元形函數(shù)必須滿足的條件：位移模式在單元內(nèi)連續(xù)，在單元的公共邊界處協(xié)調(diào).位移模式必須包括單元的剛體位移.位移模式還必須包括單元的常應(yīng)變狀態(tài).當(dāng)前25頁，總共40頁。3.3單元分析單元分析

彈性力學(xué)平面問題的幾何方程：B稱為應(yīng)變矩陣，其分塊子矩陣為：當(dāng)前26頁，總共40頁。3.3單元分析單元分析

代入無量剛插值函數(shù)，應(yīng)變矩陣為：令：由平面問題物理方程單元內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力可表示為S為應(yīng)力矩陣當(dāng)前27頁，總共40頁。3.3單元分析單元分析

D為彈性矩陣其表達(dá)式為：E是楊氏模量，是泊松比

應(yīng)力矩陣S的分塊子矩陣為當(dāng)前28頁，總共40頁。3.3單元分析單元分析

代入無量剛插值函數(shù)，應(yīng)力矩陣為：對(duì)于平面應(yīng)變問題：

當(dāng)前29頁，總共40頁。3.3單元分析單元分析

由虛功原理得：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚳煞謮K表示為：對(duì)于平面應(yīng)力問題每一個(gè)子快為：當(dāng)前30頁，總共40頁。3.3單元分析單元分析

其中：r和p遍歷i、j、l和m得到單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)于平面應(yīng)變問題：當(dāng)前31頁，總共40頁。3.3單元分析單元分析

單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：(1)單元?jiǎng)偠染仃嚺c所選單元的位移模式，幾何形狀、大小及單元的材料性質(zhì)有關(guān)(2)單元?jiǎng)偠染仃嚲哂袑?duì)稱性(3)單元?jiǎng)偠染仃囀侵髟銥檎钠娈惥仃嚕磫卧仃嚊]有逆矩陣且當(dāng)前32頁，總共40頁。3.3單元分析載荷移置

(1)集中力由虛功原理得到或設(shè)在矩形單元體上：體力分布面力集中力當(dāng)前33頁，總共40頁。3.3單元分析載荷移置

(3)分布面力由虛功原理得到或s為單元上作用有外載荷的邊(2)體力由虛功原理得到或當(dāng)前34頁，總共40頁。3.3單元分析整體分析

位移節(jié)點(diǎn)位移按總體編碼由小到大排列起來得到

其中：節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)位移按總體編碼由小到大排列起來得到其中：當(dāng)前35頁，總共40頁。3.4整體分析剛度矩陣

單個(gè)單元的擴(kuò)充當(dāng)前36頁，總共40頁。N個(gè)單元進(jìn)行疊加求和

3.4整體分析當(dāng)前37頁，總共40頁。單元分析整體分析

是的子矩陣，按下式計(jì)算整體剛度K矩陣具有以下性質(zhì)：(1)整體剛度矩陣是對(duì)稱的稀疏矩陣

(2)整體剛度矩陣的主對(duì)角線元素必然大于零(3)未經(jīng)約束條件處理的剛度矩陣是奇異矩陣

當(dāng)前38頁，總共40頁。邊界約束條件處理劃行劃列法對(duì)角線元素置