高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)53誘導(dǎo)公式公式二公式三和公式四第一冊(cè)數(shù)學(xué)教案

第1課時(shí)公式二、公式三和公式四學(xué)習(xí)目標(biāo)核心修養(yǎng)認(rèn)識(shí)公式二、公式三和公式四的推導(dǎo)方法．2．能夠正確記憶公式二、公式三和公式

1.借助公式進(jìn)行運(yùn)算，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算修養(yǎng)．四．(要點(diǎn)、易混點(diǎn)

)

2．經(jīng)過(guò)公式的變形進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明，

提高邏3．掌握公式二、公式三和公式四，并能靈巧

輯推理修養(yǎng)

.應(yīng)用．

(難點(diǎn))1．公式二角π＋α與角α的終邊對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱．如下圖．公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．公式三角－α與角α的終邊對(duì)于x軸對(duì)稱．如下圖．公式：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.3．公式四角π－α與角α的終邊對(duì)于y軸對(duì)稱．如下圖．公式：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.思慮：(1)引誘公式中角α只好是銳角嗎？引誘公式一～四改變函數(shù)的名稱嗎？提示：(1)

引誘公式中角

α能夠是隨意角，要注意正切函數(shù)中要求

α≠kπ＋

π2，k∈Z.引誘公式一～四都不改變函數(shù)名稱．1．假如

α，β知足

α＋β＝π，那么以下式子中正確的個(gè)數(shù)是

(

)①sin

α＝sin

β；②sin

α＝－sin

β；③cos

α＝－cos

β；④cos

α＝cos

β；⑤tanα＝－tanβ.A．1

B．2

C．3

D．4C[因?yàn)?/p>

α＋β＝π，因此

sin

α＝sin(

π－

β)＝sin

β，故①正確，②錯(cuò)誤；cosα＝cos(π－β)＝－cosβ，故③正確，④錯(cuò)誤；tanα＝tan(π－β)＝－tanβ，⑤正確．應(yīng)選C.]2．tan－4π等于()333A．－3B.3C．－3D.34π－2π＋2π2πC[tan－3＝tan3＝tan3ππ＝tanπ－3＝－tan3＝－3.]3．已知tanα＝3，則tan(π＋α)＝________.3[tan(π＋α)＝tanα＝3.]2π4．求值：(1)sin3＝________.(2)cos7π－＝________.6332ππ(1)2(2)－2[(1)sin3＝sinπ－33sin3＝2.7π7πππ3(2)cos－6＝cos6＝cosπ＋6＝－cos6＝－2.]給角求值問(wèn)題【例1】求以下各三角函數(shù)值：(1)sin1320°；(2)cos31π；(3)tan(－945°)．－6[解](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)3＝－sin60°＝－.2法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)3＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－2.(2)法一：cos－31π＝cos31π667πππ3＝cos4π＋6＝cosπ＋6＝－cos6＝－2.31π5π法二：cos－＝cos－6π＋66ππ3cosπ－6＝－cos＝－.26(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.利用引誘公式求隨意角三角函數(shù)值的步驟“負(fù)化正”——用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)變；2“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；3“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)變?yōu)殇J角；4“銳求值”——獲得銳角的三角函數(shù)后求值.π2π3π4π1．計(jì)算：(1)cos5＋cos5＋cos5＋cos5；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．[解](1)原式＝π4π＋cos2π3πcos＋cos＋cos5555ππ2π2π＝cos5＋cosπ－5＋cos5＋cosπ－5＝cosπ－cosπ＋cos2π－cos2π＝0.5555(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°114°]tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)sin66°－sin66°＝0.給值(式)求值問(wèn)題【例2】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，則sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()22A.m－1m＋12B.222C.1－mD．－m＋1221(2)已知cos(α－75°)＝－3，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[思路點(diǎn)撥](1)化簡(jiǎn)已知和所求三角函數(shù)式→依據(jù)sinα±cosα，sinαcosα的關(guān)系求值105°＋α－α－75°＝180°(2)1→cosα－75°＝－3，α為第四象限角求sin

α－75°

→用sin180°＋α

＝－sin

α求值(1)A[sin(α－360°)－cos(180°－

α)sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosαsin22α＋cosα－1m－1＝2＝2.]1[解]∵cos(α－75°)＝－3＜0，且α為第四象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°222＝－1－－3＝－3，sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]2＝－sin(α－75°)＝3.1．例2(2)條件不變，求cos(255°－α)的值．[解]cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]1＝－cos(α－75°)＝3.12．將例2(2)的條件“cos(α－75°)＝－3”改為“tan(α－75°)＝－5”，其余條件不變，結(jié)果又怎樣？[解]因?yàn)閠an(α－75°)＝－5＜0，且α為第四象限角，因此α－75°是第四象限角．sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，由sinα－75°cosα－75°＝－5，26sinα－75°＝－26，解得26cosα－75°＝26sin526α－75°＝，26或(舍)α26cos－75°＝－26.因此sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]26＝－sin(α－75°)＝26.解決條件求值問(wèn)題的兩技巧找尋差別：解決條件求值問(wèn)題，第一要認(rèn)真察看條件與所求式之間的角、函數(shù)名及相關(guān)運(yùn)算之間的差別及聯(lián)系.2轉(zhuǎn)變：能夠?qū)⒁阎竭M(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)變，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)變.提示：想法除去已知式與所求式之間的各種差別是解決問(wèn)題的要點(diǎn).利用引誘公式化簡(jiǎn)問(wèn)題[研究問(wèn)題]1．利用引誘公式化簡(jiǎn)sin(kπ＋α)(此中k∈Z)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果與k能否相關(guān)？提示：相關(guān)．因?yàn)閗是奇數(shù)仍是偶數(shù)不確立．當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，即k＝2(∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.nn2．利用引誘公式化簡(jiǎn)tan(kπ＋α)(此中k∈Z)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果與k能否相關(guān)？提示：沒(méi)關(guān)．依據(jù)公式tan(π＋α)＝tanα可知tan(kπ＋α)＝tanα.(此中k∈Z)【例3】設(shè)k為整數(shù)，化簡(jiǎn)：sinkπ－αcos[k－1π－α].[思路點(diǎn)撥]此題常用的解決方法有兩種：①為了便于運(yùn)用引誘公式，一定把k分紅偶數(shù)和奇數(shù)兩種狀況議論；②察看式子構(gòu)造，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用副角法．[解]法一：(分類議論)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2m(m∈Z)，則原式＝sin2mπ－αcos[2m－1π－α]sin－αcosπ＋α－sinα－cosα＝－1；sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α＝sinπ＋αcosα＝－sinαcosα當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(副角法)因?yàn)閗π－α＋π＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2π，kk故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．因此原式＝－sinkπ＋α[－coskπ＋α]－sin＝－1.kπ＋αcoskπ＋α三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法1合理轉(zhuǎn)變：①將角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依照所給式子合理選用引誘公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榻铅恋娜呛瘮?shù).2切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橄液瘮?shù).提示：注意分類議論思想的應(yīng)用.tan2π－αsin－2π－αcos6π－α2．化簡(jiǎn)：(1)；cosα－πsin5π－αsin1440°＋α·cos1080°－α(2)cos－180°－α·sin－α－180°.[解](1)原式＝－tanαsin－αcos－α＝tanα·sinα·cosα＝－tancosπ－αsinπ－α－cosα·sinαα.原式sin4×360°＋α·cos3×360°－αcos180°＋α·[－sin180°＋α]sinα·cos－α＝－cosα·sinαcosα＝－cosα＝－1.1．引誘公式一～四可簡(jiǎn)要?dú)w納為“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α當(dāng)作銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)”．或許簡(jiǎn)述為“函數(shù)同名，象限制號(hào)”．2．利用公式一～四能夠把隨意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)殇J角三角函數(shù)，一般可按下邊步驟進(jìn)行：隨意負(fù)角的用公式隨意正角的用公式一――→――→三角函數(shù)三角函數(shù)三或一0～2π的角用公式銳角的三的三角函數(shù)――→角函數(shù)二或四1．思慮辨析(1)公式二～四對(duì)隨意角α都建立．( )(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．()(3)在△中，sin(＋)＝sin．()ABCABC[提示](1)錯(cuò)誤，對(duì)于正切的三個(gè)公式中α≠kπ＋π，k∈Z.2由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正確的．因?yàn)锳＋B＋C＝π，因此A＋B＝π－C，因此sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.[答案](1)×(2)×(3)√32．已知sin(π＋α)＝5，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是( )4443A.5B．－5C．±5D.5B[因?yàn)閟in(π＋α)＝－sin33α＝，因此sinα＝－.55又α是第四象限角，因此cosα＝45，4因此cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－5.]cos－585°3.sin495°＋sin－570°的值等于________．cos360°＋225°2－2[原式＝sin360°＋135°－sin360°＋210°cos180°＋45°sin180°－45°－s