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有關(guān)解析幾何的經(jīng)典結(jié)論一、橢圓點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角,那么焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓,除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.假設(shè)在橢圓上,那么過(guò)的橢圓的切線方程是.假設(shè)在橢圓外,那么過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,那么切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.橢圓(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn),那么橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.橢圓〔a>b>0〕的焦半徑公式:,(,).設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn),A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn),那么MF⊥NF.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn),A1P和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和A1Q交于點(diǎn)N,那么MF⊥NF.AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦,M為AB的中點(diǎn),那么,即。假設(shè)在橢圓內(nèi),那么被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.假設(shè)在橢圓內(nèi),那么過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.二、雙曲線點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角,那么焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓,除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.〔內(nèi)切:P在右支;外切:P在左支〕假設(shè)在雙曲線〔a>0,b>0〕上,那么過(guò)的雙曲線的切線方程是.假設(shè)在雙曲線〔a>0,b>0〕外,那么過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,那么切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.雙曲線〔a>0,b>o〕的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn),那么雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.雙曲線〔a>0,b>o〕的焦半徑公式:(,當(dāng)在右支上時(shí),,.當(dāng)在左支上時(shí),,設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn),A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn),那么MF⊥NF.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),A1P和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和A1Q交于點(diǎn)N,那么MF⊥NF.AB是雙曲線〔a>0,b>0〕的不平行于對(duì)稱軸的弦,M為AB的中點(diǎn),那么,即。假設(shè)在雙曲線〔a>0,b>0〕內(nèi),那么被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.假設(shè)在雙曲線〔a>0,b>0〕內(nèi),那么過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)--〔會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論〕橢圓橢圓〔a>b>o〕的兩個(gè)頂點(diǎn)為,,與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.過(guò)橢圓(a>0,b>0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn),那么直線BC有定向且〔常數(shù)〕.假設(shè)P為橢圓〔a>b>0〕上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,,那么.設(shè)橢圓〔a>b>0〕的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P〔異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)〕為橢圓上任意一點(diǎn),在△PF1F2中,記,,,那么有.假設(shè)橢圓〔a>b>0〕的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),那么當(dāng)0<e≤時(shí),可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).P為橢圓〔a>b>0〕上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn),A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),那么,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立.橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.已知橢圓〔a>b>0〕,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn),且.〔1〕;〔2〕|OP|2+|OQ|2的最大值為;〔3〕的最小值是.過(guò)橢圓〔a>b>0〕的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn),弦MN的垂直平分線交*軸于P,那么.已知橢圓〔a>b>0〕 ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與*軸相交于點(diǎn),那么.設(shè)P點(diǎn)是橢圓〔a>b>0〕上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記,那么(1).(2).設(shè)A、B是橢圓〔a>b>0〕的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn),P是橢圓上的一點(diǎn),,,,c、e分別是橢圓的半焦距離心率,那么有(1).(2).(3).已知橢圓〔a>b>0〕的右準(zhǔn)線與*軸相交于點(diǎn),過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上,且軸,那么直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線,與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交,那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).〔注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).〕橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).雙曲線雙曲線〔a>0,b>0〕的兩個(gè)頂點(diǎn)為,,與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.過(guò)雙曲線〔a>0,b>o〕上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn),那么直線BC有定向且〔常數(shù)〕.假設(shè)P為雙曲線〔a>0,b>0〕右〔或左〕支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,,那么〔或〕.設(shè)雙曲線〔a>0,b>0〕的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P〔異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)〕為雙曲線上任意一點(diǎn),在△PF1F2中,記,,,那么有.假設(shè)雙曲線〔a>0,b>0〕的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),那么當(dāng)1<e≤時(shí),可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).P為雙曲線〔a>0,b>0〕上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn),A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn),那么,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí),等號(hào)成立.雙曲線〔a>0,b>0〕與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.已知雙曲線〔b>a>0〕,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn),且.〔1〕;〔2〕|OP|2+|OQ|2的最小值為;〔3〕的最小值是.過(guò)雙曲線〔a>0,b>0〕的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn),弦MN的垂直平分線交*軸于P,那么.已知雙曲線〔a>0,b>0〕,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與*軸相交于點(diǎn),那么或.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線〔a>0,b>0〕上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記,那么(1).(2).設(shè)A、B是雙曲線〔a>0,b>0〕的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn),P是雙曲線上的一點(diǎn),,,,c、e分別是雙曲線的半焦距離心率,那么有(1).(2).(3).已知雙曲線〔a>0,b>0〕的右準(zhǔn)線與*軸相交于點(diǎn),過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上,且軸,那么直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線,與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交,那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).其他常用公式:1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦,利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng),常用的弦長(zhǎng)公式:2、直線的一般式方程:任何直線均可寫(xiě)成(A,B不同時(shí)為0)的形式。3、知直線橫截距,常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線間的距離為。5、假設(shè)直線與直線平行那么〔斜率〕且〔在軸上截距〕〔充要條件〕6、圓的一般方程:,特別提醒:只有當(dāng)時(shí),方程才表示圓心為,半徑為的圓。二元二
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