解析幾何教學(xué)中幾個層面

平面解析幾何的教學(xué)探討教學(xué)準備層面教學(xué)過程層面教學(xué)提升層面教學(xué)準備層面1、解析幾何學(xué)問網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建2、解析幾何涉及到的數(shù)學(xué)思想與方法3、學(xué)科地位:以空間形式為探討對象,以坐標法為核心,以數(shù)形結(jié)合為指導(dǎo),用代數(shù)方法探討幾何問題,與函數(shù)學(xué)問親密聯(lián)系,融中學(xué)代數(shù).幾何.三角為一體的綜合性課程,是初等數(shù)學(xué)通向高等數(shù)學(xué)的橋梁.曲線與方程圓錐曲線曲線與方程定義軌跡的求法兩曲線位置關(guān)系干脆法代入法(相關(guān)點法)參數(shù)法判別式,圖形,方程組解定義標準方程幾何性質(zhì)直線與圓錐曲線相交相切相離弦長問題定分比問題范圍問題與最值問題軌跡問題()

中點弦方程弦中點軌跡解析幾何直線圓1.學(xué)問網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)與方程思想分類探討思想整體代換法轉(zhuǎn)化化歸思想定義法待定系數(shù)法點差法換元法設(shè)而不求法交軌法代換法(相關(guān)點法)探究分析法基本思想方法2.

教學(xué)過程層面2、課堂教學(xué)形式多樣化增加教學(xué)的敏捷性3、留意加強通性通法的教學(xué)1、依據(jù)學(xué)情和教材特點創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景4、強化數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)解析幾何本質(zhì)①多媒體協(xié)助教學(xué)；②問題教學(xué)法；③變式教學(xué)法；④類比互動與探究。附：一個問題的探究實例數(shù)學(xué)其次冊(上)(人民教化出版社)中關(guān)于拋物線過焦點的弦有這樣兩個結(jié)果:①經(jīng)過拋物線y2=2px的焦點F，作一條直線垂直于它的對稱軸，和拋物線相交于P1,P2兩點，線段P1P2叫做拋物線的通徑，則通徑的長是2p.②過拋物線y2=2px的焦點一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標為yA,yB，求證.yAyB=－p2.1.1細心設(shè)計情境，幫助學(xué)生感知和發(fā)覺問題老師:同學(xué)們，題①、題②分別是關(guān)于通徑的長度;過焦點的弦(稱之為焦點弦)兩端點坐標與參數(shù)p之間的關(guān)系.現(xiàn)在請你們思索哪些元素可確定一條焦點弦?老師呈現(xiàn)上述兩個結(jié)果作為探究情境，把學(xué)生引入情景，增加學(xué)生的探究欲望。學(xué)生眾:焦點弦兩個端點的坐標(xA,,yA),(xB,yB);或焦點弦|AB|的長度及它與x軸所成的傾斜角θ.老師:在這些量中，能建立一些什么關(guān)系呢?學(xué)生A:tanθ，|AB|都能用坐標表達。老師:既然兩者都與坐標有關(guān)，那么|AB|與θ能否建立干脆的關(guān)系呢?你能從題①的結(jié)論中受到啟示嗎?請大家分組探討.老師向?qū)W生布置任務(wù)，在情景中催發(fā)思索。1.2緊緊圍繞目標，激勵學(xué)生大膽猜想和假設(shè)老師引導(dǎo)學(xué)生擅長運用直覺思維，大膽揣測，主動假設(shè)。學(xué)生B:當AB在通徑的位置時，由于θ=900,|AB|=2P,因此猜測:(1)

sinθ=或者(2)

sinθ=老師在邊上作適時引導(dǎo)：兩式右邊具備什么特征，兩式會同時成立嗎？對此，有一部分同學(xué)發(fā)表了看法.認為結(jié)論(1)是錯誤的，因為對于(1),隨著焦點弦圍著焦點向右旋轉(zhuǎn)，視察到θ越來越小，而|AB|越來越大，特殊當θ=00時，|AB|的長為無限長，看來情形(2)可能是正確的.老師:很好，同學(xué)們依據(jù)特殊情形猜出了一個結(jié)論,而猜想不確定正確.接下去請同學(xué)們著手找尋證明(或證偽)的依據(jù)，從哪些角度人手呢?同學(xué)們接著探討……老師激勵同學(xué)大膽嘗試1.3引導(dǎo)方案設(shè)計，激勵學(xué)生參與分析和探討老師讓學(xué)生自由探討。（需5分鐘時間）

某小組的一位學(xué)生C代表小組表達了他們思考的結(jié)果。學(xué)生C:從拋物線的定義出發(fā)，由于|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p直線方程和拋物線方程聯(lián)立，由韋達定理得到

|AB|=xA+xB+p=2(1+)p=當然，在上述的推導(dǎo)過程中，要留意k≠0，并且k要存在。特殊當k不存在，即θ=９00,AB恰為通徑，此時，|AB|=2p,上述公式仍舊成立.老師:同學(xué)們從特殊狀況人手，猜想了公式，并經(jīng)過修正得出了正確結(jié)論，充分體驗了數(shù)學(xué)發(fā)覺的過程.你們剛才所經(jīng)驗的也就是數(shù)學(xué)家們探究問題所經(jīng)驗的.希望大家平常要多留意一些看似簡潔的問題，以培育自己的視察、思索實力.受到了老師的鼓勵，學(xué)生D也爭著把自己在探索中碰到的障礙向大家反映了出來:對于剛才的問題，由于有角度θ，我想到了面積，從而作△AOB，而且求得S△AOB＝|OF||AB|sinθ若能求出面積，則|AB|與θ的關(guān)系也解決了。到了這里以后，就繼續(xù)不下去了.因為我不知道該怎樣轉(zhuǎn)換掉此時老師沒有回避學(xué)生的質(zhì)疑，先在看法上賜予激勵，也沒有干脆指出學(xué)生的錯誤。而是用贊許的語氣說：明顯你引用了yAyB=－p2這個結(jié)論很好，這個結(jié)論還說明一個什么問題呢?學(xué)生D終于想到：yAyB＝－p2＜0。

于是大家動手求得（｜yA|+|yB|）2=(y2A－2yAyB+y2B)=2p(xA+xB)＋2p2=4p2（＋1）＝S△AOB＝|OF|(|yA|+|yB|)＝，從而｜AB|＝而S△AOB＝|OF|(|yA|+|yB|)(3)

對(3)式兩邊平方得（｜yA|+|yB|）2=(y2A+2yA

yB+y2B)=2p(xA+xB)-2p2下面同他們的解法相同，利用韋達定理可得：（｜yA|+|yB|）2=4p2對(3)式兩邊平方得（｜yA|+|yB|）2=(y2A+2yA

yB+y2B)=2p(xA+xB)-2p2下面同他們的解法相同，利用韋達定理可得：（｜yA|+|yB|）2=4p21.4構(gòu)建學(xué)問網(wǎng)絡(luò)，促進實力內(nèi)化和提升老師:很好，同學(xué)D從另外的角度得到焦點弦長的計算公式，而且不經(jīng)意間還求出了焦點弦與原點所構(gòu)成三角形面積的計算公式.從上述兩個公式中大家還有其它可發(fā)覺嗎?教學(xué)進行到此時，問題似乎已圓滿解決。但是老師沒有讓教學(xué)活動停止，而是適時提問引導(dǎo)，將探究活動引向高潮，學(xué)生的思維火花再一次被點燃，他們細致思索，深度剖析，用簡潔的語言概括出下列結(jié)論。學(xué)生E:說明|AB|和θ的值隨θ變更而變更.明顯，當θ＝90０時｜AB｜取到最小值，此時S△AOB也取到最小值.因而有結(jié)論:通徑是全部焦點弦中長為最短的;通徑與原點所構(gòu)成的三角形是全部焦點弦與原點所構(gòu)成的三角形中面積最小的.老師:同學(xué)們在剛才的探究過程中，不僅得到了一些數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是通過探究駕馭了數(shù)學(xué)思維方法，培育了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實力，也享受到了成功的喜悅.望同學(xué)們多留意這樣的例題、習(xí)題，它是你們進行再創(chuàng)建的好素材.同學(xué)們有沒有愛好在課外對此問題接著深化探討？如有新的發(fā)覺，可別忘了告知老師哦！縱向剖析，即分析例題涉及到哪些學(xué)問點？重點、難點和疑點在哪里？解題所涉及的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是什么等等．

教學(xué)提升層面

一、挖掘解幾內(nèi)容中的數(shù)學(xué)本質(zhì)問題和一般規(guī)律八、高考探討：欣賞，改編，重組，本源創(chuàng)作九、解幾中的數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新二.加強解題方法教學(xué)提升學(xué)生解題實力四、多角度、多層次培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維實力三、探究性問題，開放題五、留意解幾的基本思想方法的教學(xué)七、突出數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)六、“代數(shù)運算”的實施與策略一.梳理解幾教學(xué)中本源性學(xué)問解幾特點：通過代數(shù)運算，解決幾何問題。即：形——數(shù)——形。1.代數(shù)運算性特點：計算公式（代數(shù)公式、解幾圓錐曲線中的a,b,c關(guān)系及e）向量工具兩點間距離公式中點公式（定比分點坐標公式不要求記但要會用向量學(xué)問推出）斜率公式點線距離公式弦長公式韋達定理關(guān)鍵：如何通過分析幾何特點，轉(zhuǎn)化到可利用解幾基本公式來計算。實施幾何問題數(shù)字化—————建立坐標系（坐標法.說明法）2.方程組探討法幾何圖形方程化（點→坐標、直線、曲線→方程）交點相關(guān)問題——公共點、公共解幾何量相等問題——列方程方程有解的探討（代數(shù)形式、數(shù)形結(jié)合）例1.09浙江理21．（本題滿分15分）已知橢圓的右頂為，過的焦點且垂直長軸的弦長為1．（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點在拋物線上，在點處的切線與交于點．當線段的中點與的中點的橫坐標相等時，求的最小值．解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（II）不妨設(shè)則拋物線在點P處的切線斜率為

，

直線MN的方程為，

將上式代入橢圓的方程中，得，

即因為直線MN與橢圓有兩個不同的交點，

所以有，設(shè)線段MN的中點的橫坐標是，則設(shè)線段PA的中點的橫坐標是，

則，

由題意得，

即有，

其中的或；當時有，因此不等式不成立；

因此，當時代入方程得將代入不等式成立，因此的最小值為1．二.加強解題方法教學(xué)提升學(xué)生解題實力2.數(shù)形結(jié)合法；3.整體代換法；4.設(shè)而不求法；5.點差法；1.定義法；6.方程組法.例2：浙江省2009年考試說明編寫前的測試卷（理21題，文22題，滿分15分）ABMXY（設(shè)而不求法----韋達定理應(yīng)用，方程組法）注：角的計算用平面對量說明：如何設(shè)計構(gòu)造如：09浙江理21．（本題滿分15分）已知橢圓的右頂為，過的焦點且垂直長軸的弦長為1．（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點在拋物線上，在點處的切線與交于點．當線段的中點與的中點的橫坐標相等時，求的最小值．（用“點差法”求解）線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等………………①①三、探究性問題，開放題3、類比推理探究2、歸納推理探究1、探求式探究例4：已知橢圓，在橢圓上是否存在兩個不同的點關(guān)于直線對稱?若存在，求出的和直線：取值范圍；若不存在，請說明理由.存在（寧波市十校聯(lián)考題）例6：已知橢圓的右準線為L，過右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，經(jīng)過點B與x軸平行的直線交右準線于C點，則直線AC是否經(jīng)過確定點，并證明你的結(jié)論.ABOFXYCABOFXYC此題可類比得到雙曲線和拋物線的相應(yīng)命題。四、多角度、多層次培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維實力1、一題多變；2、一題多解；3、多題一解.設(shè)直線過焦點F與拋物線相于A()，B()兩點，直線AB的傾斜角為θ.(1)求證：；(2)求證：；(3)若AB⊥x軸，則線段AB叫通徑，求證：|AB|=2p；(4)求證焦點弦長|AB|=(5)求證：(6)求證：以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；(7)求證：；如:對前面的“一個問題的探究實例”可給出如下變式：CMNED(8)求證：(9)求證：(10)求證：A,O,D三點共線;C,O,B三點共線;(11)求證：直線NA和NA與拋物線都相切；(12)求證:MN平行拋物線的軸；(13)過準線上隨意點N引拋物線的兩條切線NA和NB.求證：直線AB恒過定點；(14)求證：直線AD恒過定點(此問可類比推廣到橢圓和雙曲線中得到相應(yīng)的命題）；(15)若，求的面積.CMNED(8)求證：(9)求證：(10)求證：A,O,D三點共線;C,O,B三點共線;(11)求證：直線NA和NA與拋物線都相切；(12)求證:MN平行拋物線的軸；(13)過準線上任意點N引拋物線的兩條切線NA和NB.求證：直線AB恒過定點；(14)求證：直線AD恒過定點(此問可類比推廣到橢圓和雙曲線中得到相應(yīng)的命題）；(15)若，求的面積.例7.拋物線y2=x上的動弦AB的長度為3,兩個端點在拋物線y2=x上移動,求動弦AB中點M到y(tǒng)軸的最短距離.多題一解在解幾中用好了可達到事半功倍之效。1、依據(jù)已知條件，建立平面曲線的方程（求軌跡）。2、通過方程，探討平面曲線的性質(zhì)（解析法，坐標法）用坐標法解決幾何問題時，先用坐標和方程表示相應(yīng)的幾何對象，然后對坐標和方程進行代數(shù)探討，最終再把代表運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論，這就是用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”。關(guān)鍵詞：選系、運算、數(shù)形結(jié)合