立體幾何基本定理與公式

立幾基本公式空間直線。1?？臻g直線位置分三種:相交、平行、異面.相交直線—共面有且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線-共面沒有公共點(diǎn);異面直線—不同在任一平面內(nèi)2直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）3..4等（如下圖。（二面角的取值范圍 121201801212（

090）(斜線與平面成角

00）（直線與平面所成角

0,90）方向相同 方向不相同 (向量與向量所成角[0,180]),(或直角等.5.兩異面直線的距離:公垂線的長(zhǎng)度。一、直線與平面平行、直線與平面垂直.1?？臻g直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2。直線與平面平行判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行.(“線線平行,線面平行”）3面相交，那么這條直線和交線平行“線面平行，線線平行）POaPOaAPA⊥aAO，得aPO(三垂線定理得不出PO。因?yàn)閍POPOOA.三垂線定理的逆定理亦成立。直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面。(“線線垂直，線面垂直"）這個(gè)平面。推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。5等的兩條斜線段相等,射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短。⑵射影定理推論:如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射0影在這個(gè)角的平分線上一、 平面平行與平面垂直.1?？臻g兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行。2。平面平行判定定理:.“線面平行，面面平行）注：一平面間的任一直線平行于另一平面。.“面面平行，線線平行）..)注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒有什么關(guān)系.5。兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 P推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平. 五、 棱錐、棱柱. B MA1。棱柱。 O⑴①直棱柱側(cè)面積：SCh（C為底面周長(zhǎng)，h是高） θSCl（Cl)1 1⑵｛四棱柱｝｛｛｛｛{正方體。{直四棱柱}｛平行六面體｝={直平行六面體｝.底面是四棱柱平行四邊形

側(cè)棱垂直平行六面體 底面

底面直平行六面體 矩形

底面是長(zhǎng)方體 正方

正四棱柱 側(cè)面與 正方底面邊長(zhǎng)相等⑶棱柱具有的性質(zhì):①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是。②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的多邊形。③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。（直棱柱定義）:棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直。⑷平行六面體:定理一：.［注.定理二:長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和。[注]：①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形。②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐;所以V棱柱

3V 。棱柱正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心。［注]：i。正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形。(不是等邊三角形）ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等1iii。正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（等；底面為正多邊形。1S⑵棱錐具有的性質(zhì)：

Ch'（底面周長(zhǎng)為C，斜高為h')2①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高).②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形。3.球：⑴球的截面是一個(gè)圓面.①球的表面積公:S2. ②球的體積公式：V②圓錐體積：V1r2h（rh為高)3③錐形體積：V1Sh（Sh為高)3

R3.434六?？臻g向量。1（1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.共線向量定理:對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b0)，a ∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)(具有一性，使ab.共面向量：若向量a使之平行于平面a在內(nèi)，則a與,記作a∥。ab不共線，則向量P與向量abxyPxayb.②空間，則OPxOAyOBzOC(xyz)是ABC四點(diǎn)共面的充要條件。（OPyz)OAyOBzOCAPyABzACP、A、B、C四點(diǎn)共面)注:是證明四點(diǎn)共面的常用方法.2?？臻g向量基本定理：如果bcP，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使pxaybzc.推論:設(shè)O、ABC是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P、z使OPxOAyOBzOC這里隱含+y+z≠。AGAGDBMC注：設(shè)四面體ABCD的三條棱,ABb,ACc,ADd,其中Q是△BCDAQ1(abcAQAMMQ.33.（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（軸是縱軸（為縱軸，z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)。①令a=（aa

),b(b,b,b),則1 2

1 2 3 ab(ab,ab,ab) a(a,,)(R) abababab1 1 2 2 3 3 1 2 3 11 2 2 3 3 a∥ba1

b,a1

b2

,ab3

(R)a1b1

a2b2

a3 ababab1122b31122

ab03 3aaaaaaa2a 2a21 2

（用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：

aaaa2aaaaaa

abab

abcosa,b |

b a||b|112233a2a2112233a2a2a2 b2b2b212 312 3(x x)2(y y)2(z z)22 12 12 1:若向量a所在直線垂直于平面，記作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量。用向量的常用方法：①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中A，則點(diǎn)B到平面的距離為|ABn|.|n|②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)n,n 分別是二面角l中平面,的法向量，1 2則n,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大（n,n 方向相同，則為補(bǔ)角,n1 2 1 2 1 2反方，則為其