-高中數(shù)學第二章統(tǒng)計2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征課件新人教A版必修

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征必備知識·自主學習1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做_____.(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按_____________________的順序排列，處在_____位置的數(shù)(或中間兩個數(shù)的_______).(3)平均數(shù)：如果n個數(shù)為x1，x2，…，xn，那么=________________.導思1.如何定義平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的概念？2.如何計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差？眾數(shù)從小到大(或從大到小)中間平均數(shù)【思考】(1)在一組數(shù)據(jù)中，一定存在眾數(shù)且眾數(shù)只有一個，對嗎？提示：不對.如果有兩個或兩個以上數(shù)據(jù)出現(xiàn)的最多且出現(xiàn)的次數(shù)相等，那么這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；如果一組數(shù)據(jù)中，所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都相等，那么認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).(2)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的嗎？提示：是的.(3)當一組數(shù)據(jù)中的某個數(shù)據(jù)變化時，平均數(shù)會隨之變化嗎？提示：由平均數(shù)的計算公式可以發(fā)現(xiàn)，任何一個數(shù)據(jù)發(fā)生變化，都會影響平均數(shù)的結果.2.標準差、方差(1)標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s=.(2)標準差的平方s2叫做方差.s2=.【思考】在方差、標準差計算公式中，xi(i=1，2，…，n)、n、分別表示什么？提示：xi(i=1，2，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù).【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)中位數(shù)一定是數(shù)據(jù)按從小到大順序排列后正中間的數(shù). (

)(2)利用頻率分布直方圖計算出的樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是樣本的真實數(shù)據(jù). (

)(3)標準差越大，樣本數(shù)據(jù)越集中. (

)提示：(1)×.也可能是中間兩個數(shù)的平均數(shù).(2)×.是估計值，不是真實數(shù)據(jù).(3)×.標準差越大，樣本數(shù)據(jù)越分散.2.已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關系是 (

)A.平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)B.平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)D.眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)【解析】選D.眾數(shù)為50，平均數(shù)=(20+30+40+50+50+60+70+80)=50，中位數(shù)為(50+50)=50.3.(教材二次開發(fā)：例題改編)已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是______.

【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1，故s2=[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]=0.1.答案：0.1關鍵能力·合作學習類型一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算)【題組訓練】1.某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個，命中個數(shù)的莖葉圖如圖，則下面結論中錯誤的是 (

)

A.甲的極差是29 B.乙的眾數(shù)是21C.甲罰球命中率比乙高 D.甲的中位數(shù)是242.已知10名工人生產同一零件，生產的件數(shù)分別是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有 (

)A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a3.某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？【解析】1.選D.由莖葉圖知，甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29，故A正確；乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21，所以B正確，甲的命中個數(shù)集中在20，而乙的命中個數(shù)集中在10和20，所以甲罰球命中率大，故C正確；甲中間的兩個數(shù)為22，24，所以甲的中位數(shù)為(22+24)=23，故D不正確.故結論中錯誤的只有D.2.選D.由題意得a=(16+18+15+11+16+18+18+17+15+13)==15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b=16，c=18，所以c>b>a.3.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為=15(歲)，中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為=15(歲)，中位數(shù)為5.5歲，眾數(shù)為6歲.由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差.【解題策略】三種數(shù)字特征的比較名稱優(yōu)點缺點眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點；②容易計算①它只能表達樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息；②無法客觀地反映總體的特征中位數(shù)①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響；②容易計算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對極端值不敏感名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的量.一般情況下，可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大【補償訓練】為了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個男孩，平均身高1.60m；從南方抽取了200個男孩，平均身高為1.50m.由此可推斷我國13歲男孩的平均身高為 (

)

A.1.57m B.1.56mC.1.55m D.1.54m【解析】選B.因為從北方抽取了300個男孩，平均身高1.60m，從南方抽取了200個男孩，平均身高1.50m，所以這500個13歲男孩的平均身高是=1.56，所以由此可推斷我國13歲男孩的平均身高為1.56m.類型二方差、標準差的計算與應用(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算)【典例】甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定.步驟內容理解題意條件：甲，乙兩個機床加工的零件數(shù)據(jù).結論：(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定.思路探求(1)利用公式計算；(2)根據(jù)方差的大小作出判斷.步驟內容書寫表達(1)(99+100+98+100+100+103)=100，

(99+100+102+99+100+100)=100.[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=，

[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又，所以乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定.步驟內容題后反思(1)標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，標準差的大小不會超過極差.(2)標準差、方差的取值范圍：[0，+∞).標準差、方差為0時，樣本各數(shù)據(jù)相等，說明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性.【解題策略】1.用樣本的標準差、方差估計總體的方法用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似.實際應用中，當所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時，需先分析平均水平，再計算標準差(方差)分析穩(wěn)定情況.2.標準差(方差)的作用在實際應用中，常常把平均數(shù)與標準差結合起來進行決策.在平均數(shù)相等的情況下，比較方差或標準差以確定穩(wěn)定性.【跟蹤訓練】如圖所示莖葉圖是甲、乙兩組各5名學生的數(shù)學競賽成績(70分～99分)，若甲、乙兩組的平均成績一樣，則a=______；甲、乙兩組成績中相對整齊的是______.

【解析】由莖葉圖知75+88+89+98+(90+a)=76+85+89+98+97，解得a=5，平均成績均為89，甲的方差為=62.8，乙的方差=66，由于<，因此甲組成績相對整齊.答案：5甲組【補償訓練】五個數(shù)1，2，3，4，a的平均數(shù)是3，則這五個數(shù)的標準差是______.

【解析】由=3，得a=5；由s2=[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2，得標準差s=.答案：

類型三頻率分布直方圖與數(shù)字特征的綜合問題(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算)

角度1利用頻率分布直方圖計算眾數(shù)、中位數(shù)

【典例】某中學舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一兩個班參賽學生的成績進行整理后分成5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的第一、第二、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05，則參賽的選手成績的眾數(shù)和中位數(shù)可能是 (

)A.65，65 B.70，65 C.65，50 D.70，50【思路導引】根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)、中位數(shù)的求解方法計算.【解析】選A.眾數(shù)為第二組中間值65.設中位數(shù)為x，則0.03×10+(x-60)×0.04=0.5，解得x=65.【變式探究】本題主要考查利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征，突出考查了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).本題若把頻率分布直方圖換為如圖，試估計原數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù).【解析】由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).在直方圖中高度最高的小長方形的底邊中點的橫坐標即為所求，所以眾數(shù)應為75.由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等.因此在頻率分布直方圖中將所有小矩形的面積一分為二的垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標所對應的成績即為所求.因為0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，所以前三個小矩形面積的和為0.3.而第四個小矩形面積為0.03×10=0.3，0.3+0.3>0.5，所以中位數(shù)應位于第四個小矩形內.設其底邊為x，高為0.03，所以令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位數(shù)應約為70+6.7=76.7.角度2利用頻率分布直方圖計算平均數(shù)

【典例】樣本容量為100的頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)樣本頻率分布直方圖，則平均數(shù)為______.

【思路導引】利用頻率分布直方圖求平均數(shù).【解析】平均數(shù)=10×0.06+12×0.2+14×0.4+16×0.24+18×0.1=14.24.答案：14.24【解題策略】1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布表、頻率分布直方圖的關系(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標.(2)中位數(shù)：在頻率分布表中，中位數(shù)是累計頻率(樣本數(shù)據(jù)小于某一數(shù)值的頻率叫做該數(shù)值點的累計頻率)為0.5時所對應的樣本數(shù)據(jù)的值，而在樣本中有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此在頻率分布直方圖中中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等.2.加權平均數(shù)一般地，若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均數(shù)為

=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn(其中p1+p2+…+pn=1).像這樣運用頻率計算的平均值稱為加權平均數(shù).【題組訓練】1.從高三年級抽出50名學生參加數(shù)學競賽，由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.由于一些數(shù)據(jù)丟失，試利用頻率分布直方圖估計：(1)這50名學生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；(2)這50名學生的平均成績.【解析】(1)最高矩形的高是0.03，其底邊中點是=75，則這50名學生成績的眾數(shù)估計是75分.頻率分布直方圖中，從左到右前3個和前4個矩形的面積和分別是(0.004+0.006+0.02)×10=0.3<0.5，(0.004+0.006+0.02+0.03)×10=0.6>0.5，設中位數(shù)是m，則70<m<80，則0.3+(m-70)×0.03=0.5，解得m≈76.7(分)，即這50名學生成績的中位數(shù)約是76.7分.(2)每個小矩形的面積乘以其底邊中點的橫坐標的和為0.004×10×+0.006×10×+0.02×10×+0.03×10×+0.021×10×+0.016×10×=73.65.即這50名學生的平均成績約是73.65分.2.今年西南一地區(qū)遭遇嚴重干旱，某鄉(xiāng)計劃向上級申請支援，為上報需水量，鄉(xiāng)長事先抽樣調查了100戶村民的月均用水量，得到這100戶村民月均用水量的頻率分布表如表所示：(月均用水量的單位：噸)月均用水量分組頻數(shù)頻率[0.5，2.5)12[2.5，4.5)[4.5，6.5)40[6.5，8.5)0.18[8.5，10.5]6合計1001(1)請完成該頻率分布表，并畫出相對應的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.(2)估計樣本的中位數(shù)是多少？(3)已知上級將按每戶月均用水量向該鄉(xiāng)調水，若該鄉(xiāng)共有1200戶，請估計上級支援該鄉(xiāng)的月調水量是多少噸？【解析】(1)頻率分布表與相應的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如下：月均用水量分組頻數(shù)頻率[0.5，2.5)120.12[2.5，4.5)240.24[4.5，6.5)400.40[6.5，8.5)180.18[8.5，10.5]60.06合計1001(2)設中位數(shù)為x，因為月均用水量在[0.5，4.5)內的頻率是(0.06+0.12)×2=0.36，月均用水量在[0.5，6.5)內的頻率是(0.06+0.12+0.20)×2=0.76，所以x∈[4.5，6.5)，則(x-4.5)×0.20=0.5-0.36，解得x=5.2.故樣本的中位數(shù)是5.2.(3)該鄉(xiāng)每戶月均用水量估計為1.5×0.12+3.5×0.24+5.5×0.40+7.5×0.18+9.5×0.06=5.14(噸).5.14×1200=6168(噸).所以估計上級支援該鄉(xiāng)的月調水量是6168噸.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.在如圖所示的莖葉圖表示的數(shù)