第4章控制系統(tǒng)的頻域分析

第4章

控制系統(tǒng)的頻域分析頻域分析方法的優(yōu)點

(1)系統(tǒng)頻率特性的物理意義明確。(2)可以通過實驗方法得到頻率特性。

(3)便于使用圖形分析，直觀，計算量小，信息量大。判穩(wěn)定時能給出穩(wěn)定裕量。只適合于線性定常系統(tǒng)，主要用于SISO系統(tǒng)。不容易得到精確的時域響應(yīng)特性。

局限性4.1系統(tǒng)的頻率特性

幅頻特性

相頻特性

頻率特性可以由傳遞函數(shù)得到頻率特性測試(ω從0→∞)4.2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

Cauchy幅角原理

(零點個數(shù)考慮重根數(shù)，N>0順時針，N<0逆時針。)對于復(fù)變函數(shù)F(s)

在s平面上封閉曲線C域內(nèi)共有n個極點和m個零點，且封閉曲線C不穿過F(s)的任一個極點和零點。當s順時針沿封閉曲線C變化一周時，在F(s)平面上對應(yīng)的映射封閉曲線CF順時針包圍原點

N=m–n

周。

Cauchy幅角原理在s平面上封閉曲線C域內(nèi)有3個零點1個極點，當s順時針沿封閉曲線C變化一周時，封閉曲線CF按順時針方向包圍原點:

Cauchy幅角原理復(fù)變函數(shù)映射概念例：Nyquist圍線和Nyquist圖閉環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)分母

為閉環(huán)特征多項式。為開環(huán)特征多項式。

Nyquist圍線和Nyquist圖1，設(shè)s平面上有沿虛軸由—j∞到＋j∞方向的封閉曲線。稱其為Nyquist圍線。Nyquist圍線和Nyquist圖2，設(shè)映射函數(shù)為

Nyquist圍線映射到F(s)平面上的有向閉曲線稱為Nyquist圖。

s平面上的當n>m時（多數(shù)情況），當s從0到＋

j∞變化時,G0(s)趨于0,F(s)=1+G0(s)趨于實軸上的1Nyquist圍線和Nyquist圖3，由關(guān)系式，稱F(s)平面的虛軸向右移動單位距離后的平面為G0(s)平面。

Nyquist圍線在G0(s)平面上的映射就是系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線G0(jω)

。F(s)平面的原點即G0(s)平面的點

(-1，j

0)。Nyquist圍線和Nyquist圖按Cauchy幅角原理的結(jié)論，對于復(fù)變函數(shù)，當s在s平面上沿Nyuist圍線順時針變化一周時，則在平面上映射的Nyuist圖順時針包圍點N=m—n周。

n為在右半平面的極點數(shù)，G0(s)極點數(shù)。m為在右半平面的零點數(shù)，系統(tǒng)特征方程的根在右半s平面上的個數(shù)。

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1，若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Nyquist圖不包圍(-1，j0)點。

2，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Nyquist圖包圍周數(shù)為N=－n。

推論：若Nyquist圖順時針包圍(-1，j0)點，則系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。

（N=m－n=0，n=0，故m=0)(N=m－n=－n所以m=0)(N=m－n,若N≥1，n不會為負值，則必有m≥1)繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例例4.1(1)畫系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性極坐標圖。

繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例①特殊點②分析變化趨勢

ω從0到∞變化

從k到0，單調(diào)遞減。

從00到－1800，單調(diào)遞減。

繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例(2)由Nyquist判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性(已知N,n求m)

N＝

0(由Nyquist圖)n=0(由G0(s)表達式)

由N

＝

m

－

n，得m=0，故系統(tǒng)穩(wěn)定。

繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例s=tf('s');g=10/((s+1)*(2*s+1));nyquist(g)用matlab繪制Nyquist圖繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例例4.2①特殊點

②變化趨勢

單調(diào)遞減變化

與實軸有交點，為－7.9(1)

開環(huán)頻率特性極坐標圖。

N＝2，n=0N=m－n，故m=2。有兩個極點在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例(2)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

Nyquist判據(jù)可能穩(wěn)定不穩(wěn)定繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例例4.3T1>0、T2>0

(1)

特殊點

(2)

變化趨勢

從1到

從1到

繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例例4.4(1)

開環(huán)頻率特性極坐標圖。

①特殊點

②趨勢分析

從∞到0單調(diào)遞減。從－900到－1800單調(diào)遞減。

問題：N＝?n=?繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例(2)

改造后的Nyquist圖。

在原點附近令當從時繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例S平面G0(s)平面①A對應(yīng)A′②B對應(yīng)B′

③C對應(yīng)C′

N

＝0，n=0所以m=0系統(tǒng)穩(wěn)定在無窮遠處順時針繞行1800繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例例4.5積分環(huán)節(jié)r=2①特殊點

②趨勢

從∞到0單調(diào)遞減。從－1800到－2700單調(diào)遞減。

在無窮遠處順時針繞行3600S平面上繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例N=2，n=0，所以m=2系統(tǒng)不穩(wěn)定小結(jié)：積分環(huán)節(jié)數(shù)r=1在無窮遠處順時針繞行1800

r=2在無窮遠處順時針繞行3600

r=3在無窮遠處順時針繞行5400繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例例4.6k、T1、T2

、T3>0①特殊點

②趨勢分析

不一定是單調(diào)變化。繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例即相角為450前后變化最快。在時，繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例①T3<T1＋T2

系統(tǒng)不穩(wěn)定。

繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例②T3>T1＋T2

ω較小時

ω較大時

故Nyquist圖與負實軸有交點，其值需要計算確定。

除ω＝0外

繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。

繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例例4.7已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性極坐標圖，開環(huán)極點數(shù)

n=0，積分環(huán)節(jié)數(shù)r=3，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

繪制Nyquist圖和應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)的示例N=2－2＝0由題意已知n=0，因為N=m–n=0，所以m=0系統(tǒng)穩(wěn)定。4.3對數(shù)頻率特性法

為什么要用對數(shù)頻率特性?(1)相乘環(huán)節(jié)變?yōu)橄嗉?2)典型環(huán)節(jié)可用直線或折線表示Bode圖開環(huán)對數(shù)頻率特性開環(huán)幅頻特性開環(huán)相頻特性對數(shù)幅頻特性定義單位：分貝dB,1貝爾＝20分貝4.3對數(shù)頻率特性法典型環(huán)節(jié)的Bode圖1，比例環(huán)節(jié)若k=10G(s)=k,

（k>0）G(jω)=k

典型環(huán)節(jié)的Bode圖2，積分環(huán)節(jié)

典型環(huán)節(jié)的Bode圖3，慣性環(huán)節(jié)

討論為轉(zhuǎn)折頻率典型環(huán)節(jié)的Bode圖用漸近線表示典型環(huán)節(jié)的Bode圖4，2階振蕩環(huán)節(jié)

平方項4次方項討論典型環(huán)節(jié)的Bode圖典型環(huán)節(jié)的Bode圖典型環(huán)節(jié)的Bode圖計算2階環(huán)節(jié)的頻率特性的峰值

典型環(huán)節(jié)的Bode圖系統(tǒng)Bode圖的合成

例4.8

(3)慣性環(huán)節(jié)

(4)比例微分環(huán)節(jié)

(5)2階振蕩環(huán)節(jié)

(2)積分環(huán)節(jié)

穿越0dB線

(1)比例環(huán)節(jié)

－20dB/dec+20dB/dec－40dB/dec系統(tǒng)Bode圖的合成(3)慣性環(huán)節(jié)

(4)比例微分環(huán)節(jié)

(5)2階振蕩環(huán)節(jié)

(2)積分環(huán)節(jié)

穿越0dB線

(1)比例環(huán)節(jié)

－20dB/dec+20dB/dec－40dB/dec－20dB/dec幅頻特性合成系統(tǒng)Bode圖的合成幅頻特性合成系統(tǒng)Bode圖的合成相頻特性合成對數(shù)幅頻特性漸近線分段作圖法

1，確定低頻段Bode圖位置。

斜率由積分環(huán)節(jié)決定r=00dB/decr=1-20dB/decr=2-40dB/dec2，依次繪制慣性環(huán)節(jié)、2階振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率以后的Bode圖的漸近線。根據(jù)每個環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率后的斜率對各頻段的斜率進行增減。對數(shù)幅頻特性漸近線分段作圖法例4.8

相頻特性草圖分段作圖法

慣性環(huán)節(jié)的相頻特性1，確定系統(tǒng)相頻特性的漸近線。

2，根據(jù)相頻特性的漸近線繪制相頻特性曲線的草圖。

相頻特性草圖分段作圖法例4.8

最小相位系統(tǒng)

如果一個系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部零極點都位于s平面的左半平面或虛軸上，則稱為最小相位系統(tǒng)。

最小相位幅頻特性和相頻特性一一對應(yīng)。

例4.9

T2>T1>0最小相位系統(tǒng)4.4穩(wěn)定裕量

幅值裕量和相角裕量

幅值穿越頻率ωc

相位穿越頻率ωg

幅值裕量和相角裕量相角裕量

幅值裕量

穩(wěn)定不穩(wěn)定為滿足動態(tài)性能要求，相角裕量應(yīng)在300～700。

為滿足動態(tài)性能要求，幅值裕量應(yīng)在5～15dB。

穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定裕量與穩(wěn)定性

Nyquist圖上單位園對應(yīng)Bode圖幅頻特性上0dB線；Nyquist圖上負實軸對應(yīng)Bode圖相頻特性上－1800線。

穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定裕量與穩(wěn)定性1，若L(ω)穿越0dB線時，Φ(ωc)>－1800，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。穩(wěn)定不穩(wěn)定2，若Φ(ω)穿越－1800線時，L(ωg)<0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。穩(wěn)定裕量與穩(wěn)定性

最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，隨頻率增加相位角也增加，到－1800時就成為正反饋。幅值裕量和相角裕量計算示例例4.10k=5和k=20(1)繪制Bode圖①低頻段

ω＝1L(ω)=20lg5=14dBk=5k=20L(ω)=20lg20=26dB－20dB/dec②轉(zhuǎn)折頻率

ω1＝1－20dB/decω2＝10－20dB/dec幅值裕量和相角裕量計算示例(2)計算相角裕量①k=5系統(tǒng)穩(wěn)定。

幅值裕量和相角裕量計算示例②k=20系統(tǒng)不穩(wěn)定

幅值裕量和相角裕量計算示例(3)計算幅值裕量設(shè)ωg

＝3.2，Φ(3.2)=–180.40

設(shè)ωg＝3，Φ(3)=–1780設(shè)ωg＝3.3，Φ(3.3)=–181.40試探法

取

ωg

＝3.2（準確值為ωg

＝3.16）

幅值裕量和相角裕量計算示例幅值裕量和相角裕量計算示例例4.11①低頻段

②轉(zhuǎn)折頻率

相頻特性低頻段為－1800，高頻段為－2700。

幅值裕量和相角裕量計算示例計算相角裕量

系統(tǒng)不穩(wěn)定

幅值裕量和相角裕量計算示例例4.12幅頻特性

幅頻特性

相角裕量

最小相位系統(tǒng)的幅頻特性

1，最小相位系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性L(ω)能唯一確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

例4.13(1)由幅頻特性寫傳遞函數(shù)。

(2)求時間常數(shù)。

(3)求k。

得

k=8最小相位系統(tǒng)的幅頻特性最小相位系統(tǒng)的幅頻特性

例4.14(1)寫開環(huán)傳遞函數(shù)表達式。

(2)時間常數(shù)。

(3)