2022-2023學(xué)年山西省太原市校高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山西省太原市校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)橢圓，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決即可.【詳解】由題知，橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)都在軸上，且焦點(diǎn)相同，所以，解得（經(jīng)檢驗(yàn)，都符合題意），故選：C.2．若函數(shù)可導(dǎo)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義得，根據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】．故選：C.3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，虛軸長(zhǎng)為2，則該雙曲線的焦距為（

）A．2 B．4 C．2或 D．4或【答案】D【分析】分焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況，根據(jù)漸近線求得a,b的關(guān)系，根據(jù)虛軸長(zhǎng)求得b的值，進(jìn)而得到a的值，然后利用a,b,c的平方關(guān)系求得c的值，進(jìn)而得到焦距2c的值.【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的方程為,漸近線方程為，∵已知雙曲線的一條漸近線方程為，∴，又∵虛軸長(zhǎng)，∴，，∴，∴焦距；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),雙曲線的方程為,漸近線方程為，∵已知雙曲線的一條漸近線方程為，∴，又∵虛軸長(zhǎng)，∴，，∴，∴焦距.故選:.4．已知是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知條件求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入面積公式求解即可．【詳解】已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，又，故，故，，故選：C5．設(shè)是雙曲線的右支上的點(diǎn)，則代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè),所求式表示,利用雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，利用距離三角不等式即可求得最小值.【詳解】，設(shè),上式表示,由于雙曲線的左焦點(diǎn)為,雙曲線的實(shí)軸,,,,當(dāng)在的延長(zhǎng)線與雙曲線右支的交點(diǎn)處時(shí)取到等號(hào)，所以的最小值為.故選：B6．已知橢圓，點(diǎn)是橢圓第一象限上的點(diǎn)，直線是橢圓在點(diǎn)處的切線，直線分別交兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)．則面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，，得直線方程為，由直線與橢圓相切可得的關(guān)系，由基本不等式求得的最小值，即得面積的最小值．【詳解】設(shè)，，，直線方程為，由，得，∵直線與橢圓相切，所以，化簡(jiǎn)得，由橢圓方程知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以取得最小值2.故選：A．7．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量數(shù)量積為0的條件，判定，結(jié)合已知條件得到，設(shè)出，表示出直角三角形的其余邊，結(jié)合雙曲線的定義表示出，利用建立方程求得，進(jìn)而求得，然后利用勾股定理求得，從而得到，從而得到離心率的值.【詳解】如圖，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨設(shè)，則，由勾股定理得，又由雙曲線的定義可得，，根據(jù)可得，解得，所以，在Rt中，，可得，故雙曲線的離心率為.故選：B.8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)C是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)D在直線上，且滿足，．若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)得在的角平分線上，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義以及切線長(zhǎng)性質(zhì)可判斷為的內(nèi)心，結(jié)合重心的向量表示以及重心的性質(zhì)，即可得，進(jìn)而由離心率公式即可求解.【詳解】由于點(diǎn)D在直線上，且滿足，可知在的角平分線上，設(shè)的內(nèi)切圓分別與邊相切于點(diǎn),（如圖1）則有切線長(zhǎng)定理可得,結(jié)合雙曲線的定義可得,所以的內(nèi)心在直線上，故為的內(nèi)心，由得,由于是的中點(diǎn),所以,因此,分別延長(zhǎng)至,使得,如圖2故，因此是的重心，設(shè)由是的重心，所以，又，同理即，故由于為的內(nèi)心，故到三條邊的距離相等，可得,因此為直角三角形，所以，因此離心率,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)心，重心的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng).對(duì)于離心率問題，要充分挖掘幾何性質(zhì)和圖形中體現(xiàn)的等量關(guān)系，建立出的關(guān)系系，從而求解離心率.二、多選題9．已知曲線C的方程為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線為圓B．當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為C．當(dāng)時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在軸上的橢圓D．存在實(shí)數(shù)使得曲線C為雙曲線，其離心率為【答案】AD【分析】對(duì)于AB，代入曲線C的方程，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，結(jié)合選項(xiàng)B的分析舉反例即可排除；對(duì)于D，先由曲線為雙曲線求得的范圍，再由離心率為求得，分類討論與兩種況情，從而求得，據(jù)此判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程可化為，即，所以曲線是圓，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程可化為，所以曲線為雙曲線，其漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，不妨令，由選項(xiàng)B可知曲線為雙曲線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得曲線C為雙曲線，其離心率為，因?yàn)榍€C為雙曲線，所以，解得或，因?yàn)殡p曲線離心率為，即，結(jié)合，易得，當(dāng)時(shí)，曲線C：，則，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，曲線C：，則，解得，滿足題意；綜上：存在滿足題意，故D正確.故選：AD.10．已知橢圓，、分別為它的左、右焦點(diǎn)，、分別為它的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下面結(jié)論中正確的有（

）A．的最小值為B．的最小值為C．若，則的面積為D．直線與直線斜率乘積為定值【答案】ABC【分析】設(shè)點(diǎn)，則，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式可判斷A選項(xiàng)；利用余弦定理結(jié)合橢圓定義、基本不等式可判斷B選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷C選項(xiàng)；利用斜率公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，且，、，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，，其中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，可得，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可知，則，D錯(cuò).故選：ABC.11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，N為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的有（

）A．若，則MN的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為B．若MN與平面ABCD所成的角為，則N的軌跡為圓C．若N到直線與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線D．若與AB所成的角為，則N的軌跡為雙曲線【答案】BCD【分析】設(shè)MN中點(diǎn)為H，DM中點(diǎn)為Q，連接PQ，計(jì)算出PQ可知P的軌跡為圓可判斷A；根據(jù)已知算出DN，可判斷B；根據(jù)拋物線定義可判斷C；以DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，利用向量的夾角公式計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)MN中點(diǎn)為H，DM中點(diǎn)為Q，連接HQ，則，且，如圖，若，則所以，，則，所以點(diǎn)H的軌跡是以Q為圓心，半徑為的圓，面積，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則，所以N的軌跡是以D為圓心，半徑為的圓，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)N到直線的距離為BN，所以點(diǎn)N到定點(diǎn)B和直線DC的距離相等，且B點(diǎn)不在直線DC上，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故C正確；對(duì)于D，如圖，以DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，，，化簡(jiǎn)得，即，所以的軌跡為雙曲線，故D正確；故選：BCD.12．已知拋物線C：與圓O：交于A，B兩點(diǎn)，且，直線過C的焦點(diǎn)F，且與C交于M，N兩點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．若直線的斜率為，則B．的最小值為C．若以MF為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為D．若點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為【答案】BC【分析】首先求出拋物線的解析式，設(shè)出MN坐標(biāo)聯(lián)立進(jìn)行求解當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；再根據(jù)韋達(dá)定理和不等式求最小值后進(jìn)行判斷選項(xiàng)B；畫出大致圖像過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交y軸于，結(jié)合拋物線定義判斷選項(xiàng)C；過G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H，結(jié)合的周長(zhǎng)為進(jìn)而進(jìn)行判斷選項(xiàng)D即可．【詳解】解：由題意得點(diǎn)在拋物線C：上，所以，解得，所以C：，則，設(shè)直線：，與聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確；如圖，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交y軸于，取MF的中點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為，則，是梯形的中位線，由拋物線的定義可得，所以，所以以MF為直徑的圓與y軸相切，所以為圓與y軸的切點(diǎn)，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，又D為MF的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，又點(diǎn)M在拋物線上，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，故C項(xiàng)正確；過G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選:BC．三、填空題13．雙曲線，設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為_____．【答案】，【分析】所有與共漸近線的雙曲線可表示為：，代入點(diǎn)，即得解【詳解】由題意，雙曲線與共漸近線，所有與共漸近線的雙曲線可表示為：由于過點(diǎn)，代入得到，即故答案為：14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則______.【答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)的，即可計(jì)算解出.【詳解】，則，，解得，故答案為：.15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，且，則橢圓的短軸長(zhǎng)為_________________________．【答案】【分析】連接,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知為矩形，根據(jù)已知條件，利用橢圓的定義求得，利用勾股定理，結(jié)合已知三角形的面積，求得b的值，進(jìn)而得解.【詳解】連接,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知為矩形，由,得,由,結(jié)合，求得,∴,∴橢圓的短軸長(zhǎng)為,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是利用對(duì)稱性，連接,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知為矩形，注意熟練掌握橢圓的定義是關(guān)鍵.16．在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，為母線的中點(diǎn)；根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個(gè)命題，正確的序號(hào)為______.①圓的面積為；②橢圓的長(zhǎng)軸為；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為④拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.【答案】①②【分析】①根據(jù)點(diǎn)是母線的中點(diǎn)，易得截面的半徑求解判斷；②利用余弦定理求解判斷；③在與底面、平面的垂直且過點(diǎn)的平面內(nèi)，以M為右頂點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，易得雙曲線與底面的交點(diǎn)為C，將其代入雙曲線方程求解判斷；④以M為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，易得拋物線與底面的交點(diǎn)為C，將其代入拋物線方程求解判斷；【詳解】①點(diǎn)是母線的中點(diǎn)，截面的半徑，因此面積，故①正確；②因?yàn)樵趫A錐中，高，底面圓的半徑為4，所以，由余弦定理得，所以橢圓的長(zhǎng)軸為，故②正確；③在與底面、平面的垂直且過點(diǎn)的平面內(nèi)，以M為右頂點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即，易知雙曲線與底面的交點(diǎn)為C，將其代入雙曲線方程可得，解得，設(shè)雙曲線兩漸近線的夾角為，，③不正確；④以M為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由②易知拋物線與底面的交點(diǎn)為C，將其代入拋物線方程可得，解得，拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，④不正確，故答案為：①②四、解答題17．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，；（3）因?yàn)椋苫境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則可得，；（4）因?yàn)?，所以化?jiǎn)可得，.【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；考查運(yùn)算求解能力；熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.18．設(shè)函數(shù)（為常數(shù)），.曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)；(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，在定義域內(nèi)研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以，所以.（2），定義域?yàn)?，，令，得，?dāng)變化時(shí)，和的變化如下表：1－0＋增0減由上表可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，19．如圖，已知拋物線C：的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2.(1)求p的值；(2)設(shè)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△AOB的面積為S，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.【答案】(1)2(2)或【分析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)可得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線間的距離為，根據(jù)已知即可得到的值；（2）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理可三角形面積公式得到關(guān)于的表達(dá)式，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求得關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)已知得到關(guān)于的方程，求解后即得直線的方程.【詳解】（1）拋物線C：焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線間的距離為，由已知得拋物線C：的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2，∴；（2）由（1）可得拋物線的方程為，焦點(diǎn),顯然直線的斜率不可能為零，故可設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程整理得，設(shè)，則，，由，得，解得,∴直線l的方程為或.20．已知雙曲線的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓和直線相切．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，試問在軸上是否存在一定點(diǎn)，過點(diǎn)任意作一條直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，定值為1，【分析】(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式求得的只，再根據(jù)焦距，求得即可求解；(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，先在直線垂直于軸時(shí)，求得定值，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，分析驗(yàn)證直線不垂直于軸時(shí)，求得此定值的情況，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）原點(diǎn)到直線的距離，，，雙曲線的方程為；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，①當(dāng)直線方程為時(shí)，則，；②當(dāng)直線方程不是時(shí)，可設(shè)直線，代入整理得，由得，設(shè)方程的兩個(gè)根為，，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為定值1，解得，不滿足對(duì)任意，，不合題意，舍去．而且滿足；綜上得：過定點(diǎn)任意作一條直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，使為定值1．21．已知橢圓上有點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)Q為橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓上有異于Q的兩點(diǎn)滿足，求證：直線恒過定點(diǎn)．【答案】(1).(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意可求得的值，即得答案.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程并和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合化簡(jiǎn)可得參數(shù)的關(guān)系式，從而化簡(jiǎn)直線方程，可得定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可同理推得直線過該定點(diǎn).【詳解】（1）根據(jù)橢圓定義得，，即，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)，當(dāng)直線斜率存在